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1、“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,1、割圆术：,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,一、概念的引入,1、割圆术：,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而
2、无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,2、截杖问题：,“一尺之棰，日截其半，万世不竭”,二、序列(数列)的定义,例如,定义：按自然数1,2,3编号依次排列的一列数,称为无穷数列，简称数列，记做,注意：,1.数列对应着数
3、轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取,2.数列是定义在自然数集上的函数,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,问题:,当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?,问题:,“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻画它.,通过上面演示实验的观察:,定义,如果对于任意给定的正数,e,(,不论它多么,小,),总存在正数,N,使得对于,时的一切,不等式,都成立,那末就称常数,l,是数列,的极限,或者称数列,收
4、敛于,记为,如果数列没有极限,就说数列是发散的.,注意：,l,几何解释:,例1 1，0.1，1，0.01，1 ， 0.001, ,当=0.5时，无论如何取N,当nN时， 都不能使,成立,亦不能使,成立.,且,注意：,数列极限的定义未给出求极限的方法.,故,例,证,所以,说明:常数列的极限等于同一常数.,注意:,用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 寻找N,但不必要求最小的N.,例,证,例,证,所以,例,证,例,解,由夹逼定理得,子数列的收敛性,例如，,定理5 数列收敛的充分必要条件使所有子列 都收敛，且所有极限与原数列相同.,定理5的应用： 经常用两个子序列收敛于不同的值来证明原序列发散,因此，原数列发散,例1 1，0.1，1，0.01，1 ， 0.001,由均值不等式(几何均值不超过算术均值)，有,因此 yn 单调且有界，lim yn 存在，记极限值为 e ，即:,证明数列发散的方法：,1.利用定理5，找一个子数列不收敛，或找两个子数列收敛于不同值,证明数列收敛的方法：,1.定义,2.(实数域的完备性)单调有界数列必有极限,3.夹逼定理（比较定理）,4.重要极限,
