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1、概念的引入 二. 数列极限的概念 三. 数列极限的性质,数列的极限,1. 如何用渐近的方法求圆的面积A？ 用圆内接正多边形的面积近似圆的面积A.,A1,A2,A3,A1表示圆内接正6边形面积,A2表示圆内接正12边形面积,A3表示圆内接正24边形面积,An表示圆内接正62n-1边形面积, ,显然n越大, An越接近于A.,因此, 需要考虑当n时, An的变化趋势.,一、概念的引入,刘徽割圆术： “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 刘徽,2. 曲边三角形的面积问题：,与割圆问题 同样的是 曲边 三角形的 面积 A 如何计算？,1,1,o,x,y,可以看到，随着
2、 n 的不断增大，不足近似 不断增加，过剩近似不断减少，越来越接 近于所要求的曲边三角形面积 A 的真值。,3. 截杖问题：,“一尺之棰，日截其半，万世不竭”,例如,数列,注意：,数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取,问 题,当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?,问题:,当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?,问题:,“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.,二. 数列极限的定义,如果数列没有极限,就说数列是发散的.,几何解释:,其中,例1,证,所以,用定义证数列极限存在时,关键是对任意给定 的 寻找N,但不必要求
3、最小的N.,例2,证,例3,证,注意：,3. 改变或去掉数列的有限项, 不影响数列的收敛性和极限. 重排不改变数列敛散性.,三. 数列极限的性质,1、有界性,例如,有界,无界,定理1 收敛的数列必定有界.,证,由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件.,推论 无界数列必定发散.,2、唯一性,定理2 收敛的数列极限唯一。,证,由定义,故收敛数列极限唯一.,定理2 收敛的数列极限唯一。,证 法二,3#、子数列的收敛性,注意：,例如，,定理3 收敛数列的任一子数列也收敛，且极限相同。,证明从略。,其实这个结论就是 从一般到特殊的必然。,例4,证,小结,数列:研究其取值规律，变化趋势。,数列极限:极限思想、精确定义、几何意义;,收敛数列的性质: 有界性、唯一性、子数列的收敛性.,练 习 题,
