第18讲：高频考点分析之命题、逻辑推理和程序框图探讨

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1、【备战 2013 高考数学专题讲座】第 18 讲：高频考点分析之命题、逻辑推理和程序框图探讨12 讲，我们对客观性试题解法进行了探讨，38 讲，对数学思想方法进行了探讨，912 讲对数学解题方法进行了探讨，从第 13 讲开始我们对高频考点进行探讨。结合中学数学的知识，高考中命题、逻辑推理和程序框图问题主要有以下几种：1. 四种命题的判定；2. 真假命题的判定；3. 充分必要条件的判定；4. 逻辑推理；5. 程序框图。结合 2012 年全国各地高考的实例，我们从以上五方面探讨命题和简易逻辑问题的求解。一 、 四种命题的判定：典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】例 1. （2012 年安徽

2、省文 5 分）命题“存在实数 ,，使 ”的否定是【 】x1对任意实数 , 都有 不存在实数 ，使()Ax1()Bx对任意实数 , 都有 存在实数 ，使CD【答案】 。【考点】否命题。【解析】如 果 两 个 命 题 中 一 个 命题的 条 件 和 结 论 分 别 是 另 一 个 命 题 的 条 件 和 结 论 的 否 定 ， 则 这 两 个 命题 称 互 为 否 命 题 。 因 此 ， 命题“存在实数 ,，使 ”的否定是：对任意实数 , 都有 。故选 。x1x1C例 2. （2012 年湖北省理 5 分）命题“ ”的否定是【 】300RCQA B 300,RxCQ,xC D 300R【答案】D。

3、【考点】命题的否定。【解析】根据特称命题“ xA，p（A） ”的否定是“xA ，非 p（A） ”，结合已知中命题，即可得到答案：命题“ ”是特称命题，而特称命题的否定是全称命题，300,RxCQ“ ”的否定是“ ”。故选 D。300,RxCQ例 3. （2012 年湖北省文 5 分）命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是【】A.任意一个有理数，它的平方是有理数 B.任意一个无理数，它的平方不是有理数 C.存在一个有理数，它的平方是有理数 D.存在一个无理数，它的平方不是有理数 【答案】B。【考点】命题的否定。【解析】根据特称命题的否定，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命

4、题的否定为“任意一个无理数,它的平方不是有理数”。故选 B。例 4. （2012 年湖南省理 5 分）命题“若 ，则 ”的逆否命题是【 】4tan1A.若 ，则 B. 若 ，则4tan1C. 若 ，则 D. 若 ，则t4tan14【答案】C 。【考点】四种命题。【解析】因为“若 ，则 ”的逆否命题为 “若 ，则 ”，所以 “若 ，则 ”的逆否命题是 pqpq4tan1“若 ，则 ”。 故选 C。tan14例 5. （2012 年辽宁省理 5 分）已知命题 p： x1，x 2 R，(f(x 2) f(x1)(x2 x1)0，则 p 是【 】(A) x1，x 2 R，(f( x2) f(x1)(x

5、2 x1)0 【版权归锦元数学工作室，不得转载】 (B) x1，x 2 R，(f(x 2) f(x1)(x2 x1)0(C) x1，x 2 R，(f(x 2) f(x1)(x2 x1)a0nxn对于两个正整数 、 ，当 为偶数时 ；当 为奇数时 ，ab+=2bab+1=2ab不论 是偶数还是奇数，有 。+1a 和 都是整数，nxa 。121=11=222nnnnnaaaaxxxxx 又当 时， ，=1 ， 成立。23+04aa1xa当 时， 。故正确。1n1nx对于，当 时， ， ，即 。1k2kkx02kkx0kax ，即 ，解得 。0kkax0kaxkxa由 ， 。 。故正确。1nkab又

6、 ， 。故正确。21+=对于，不妨设 ，由 得 ， 。ab3|13a31+ab 为正实数， 。,ab31+1aba 。故正确。322221=+b|ab立的充分条件是 。故选 D。2例 4. （2012 年天津市理 5 分）设 ，则“ ”是“ 为偶函数”的【 】R=0()cos+)fx(xR（A）充分而不必要条件 （）必要而不充分条件（）充分必要条件 （）既不充分也不必要条件【答案】A。【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，函数奇偶性的判断。【分析】 为偶函数，成立；=0()cos+)fx(xR为偶函数 ，推不出 。f =kZ或=0“ ”是“ 为偶函数 ”的充分而不必要条件。故选 A。()

7、cs)fx(x例 5. （2012 年天津市文 5 分）设 ，则“ ”是“ ”的【 】R2112x（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】A。【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，一元二次不等式的解。【分析】不等式 的解集为 或 ，“ ”是“ ”成立的充分012x21x21x012x不必要条件。故选 A。例 6. （2012 年安徽省理 5 分）设平面 与平面 相交于直线 ，直线 在平面 内，直线 在 平面mab内，且 ， 则“ ”是“ ”的【 】bmab充分不必要条件 必要不充分条件 ()A()B充要条件 即不充分不必要条件C

8、D【答案】 。A【考点】充分和必要条件，两直线垂直的判定和性质。【解析】 ，“ ”是“ ”的充分条件。,bmbaab如果 ，则 与 条件相同，“ ”是“ ”的不必要条件。/a故选 。A例 7.（2012 年山东省理 5 分） 设 ，则 “函数 在 R 上是减函数 ”，是“函数a01或 xfa在 R 上是增函数 ”的【 】3gx2aA 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件【答案】A。【考点】充分必要条件的判断，指数函数和幂函数的性质。【解析】p：“函数 在 R 上是减函数 ”等价于 ，xfa0a1a10a2又由条件 的限制，可分析得出 时， 恒负。x(,

9、4)fg0 -或 x(,4) -fx就需要在这个范围内有得正数的可能，即4 应该比 两根中小的那个大。12或由 得 ，2m=31当 时， ，解得交集为空集，舍去。,0 34C=a （无解） 。a11。ttt+1t+1c下面证明 是最大值。2+1t若不然，则存在一个数表 A S（2，2t+1 ） ，使得 。2t+1KA=x由 的定义知 的每一列两个数之和的绝对值都不小于 ，而两个绝对值不超过KA1 的数的和，其绝对值不超过 2，故 的每一列两个数之和的绝对值都在区间 中. 由于 ，故x2或x1的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于 。A x1设 中有 列的列和为正，有 列的列和为

10、负，由对称性不妨设 ，则Aghgh0rfxxr.求 的最小值；01rfx（II）试用（1）的结果证明如下命题：设 为正有理数，若 ，则12120,ab12+=b；1212+baab（III）请将（ 2）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题。注：当 为正有理数时，有求导公式 -1=x【答案】解：（） 11()()rrfx，令 ()0fx，解得 1x。当 0时， 0f，所以 在 ,内是减函数；【版权归锦元数学工作室，不当 1x 时， ()fx，所以 ()fx在 1,)内是增函数。函数 f在 处取得最小值 0。 （）由（）知，当 (0,)时，有 ()f，即 (1)rxr 。若 1

11、a， 2中有一个为 0，则 1212baab成立；若 ， 均不为 0，又 ，可得 1。于是在中令 12xa， 1rb，可得 1122()()ba，即 121()ba，亦即 11。综上，对 20,， 1， 2为正有理数且 2b，总有 1212baab 。（） （）中命题的推广形式为：设 12,na 为非负实数， 12,nb 为正有理数. 若 b ，则 12naaba . 用数学归纳法证明如下：（1）当 n时， 1b，有 1a，成立。（2）假设当 k时，成立，即若 12,ka 为非负实数， 12,kb 为正有理数，且 121kb ，则 1212kbb kaab 。 当 n时，已知 11,a 为非负

12、实数， 121,kb 为正有理数，且 121k ，此时 10k，即 0k。 1 11212()k kbbbbaa =12111()kkkkbbbaa。 2111kkk ，由归纳假设可得1211kkkbbaa 2111kkkbbaa 21kaba， 112kbb121kbk。又 1()kk，由得 1121kbkaba 12111()kkkkababa12k， 112kbb 21kkb .故当 n时，成立。由（1） （2）可知，对一切正整数 n，所推广的命题成立，【考点】利用导数求函数的最值，数学归纳法的应用。【解析】 （）应用导数求函数的最值。（）由（）的结论，分 1a， 2中有一个为 0 和

13、1a， 2均不为 0 讨论即可。（）应用数学归纳法证明。五 、 程序框图：典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】例 1. （2012 年全国课标卷理 5 分）如果执行下边的程序框图，输入正整数 (2)N和实数 12,.na，输出 ，则【 】,AB为 12,.na的和 ()2AB为 12,.na的算术平均数()和 分别是 ,a中最大的数和最小的数C和 分别是 12.n中最小的数和最大的数()D【答案】 。C【考点】程序框图的结构。【解析】根据程序框图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是：和 分别是 12,.na中最大的数和最小的数。故选 。ABC例 2. （2

14、012 年北京市理 5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为【 】A. 2 B .4 C.8 D. 16【答案】C。【考点】程序框图。【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用，程序的运行过程中各变量值变化如下表：是否继续循环 S k循环前 1 0第一圈 是 2 1第二圈 是 4 2第三圈 是 8 3第四圈 否 输出 8最终输出结果 k=4。故选 C。例 3. （2012 年天津市理 5 分）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，当输入 的值为 时，输出x25的值为【 】x（A） （） （） （）1139【答案】C。【考点】程序框图。【分析】根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中各变量值变化如下表：是否继续循环 x循环前 25