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1、数学建模,微分与模糊专题,2,专题板块系列,3,模糊方法及微分方程专题,模糊微分,4,part1：微分方程,5,在研究实际问题时, 我们常常不能直接得出变量之间的关系，但却能容易得出包含变量导数在内的关系式，这就是微分方程. 在现实社会中，又有许多变量是离散变化的，如人口数、生产周期与商品价格等, 而且离散的运算具有可操作性, 差分正是联系连续与离散变量的一座桥梁.,6,不管是微分方程还是差分方程模型，有时无法得到其解析解 (必要时，可以利用计算机求其数值解 )，既使得到其解析解，尚有未知参数需要估计 (这时可利用第二章参数估计方法). 而在实际问题中，讨论问题的解的变化趋势很重要，因此，以下
2、只对其平衡点的稳定性加以讨论.,7,一维微分方程模型平衡点的稳定性,8,一阶微分方程模型平衡点的稳定性,9,易知 x0也是方程(4-2)的平衡点. (4-2)的通解为,关于x0是否稳定有以下结论：,这个结论对于(4-1)也是成立的.,一阶微分方程模型平衡点的稳定性,10,微分方程组的平衡点的稳定性,11,如果,则称平衡点P0是稳定的.,微分方程组的平衡点的稳定性,12,下面给出判别平衡点P0是否稳定的判别准则. 设,则当p0且q0时，平衡点P0是稳定的； 当p0或q0时，平衡点P0是不稳定的.,微分方程组的平衡点的稳定性,13,稳定性模型,建模目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势 平衡状态是
3、否稳定。,不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。,14,再生资源（渔业、林业等）与非再生资源（矿业等）,再生资源应适度开发在持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益。,问题及 分析,在捕捞量稳定的条件下，如何控制捕捞使产量最大或效益最佳。,如果使捕捞量等于自然增长量，渔场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定。,背景,实例： 捕鱼业的持续收获,15,假设,无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic规律,单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比,建模,捕捞情况下渔场鱼量满足,r固有增长率, N最大鱼量,h(x)=Ex, E捕捞强度,x(t) 渔场鱼量，,产量模型,16,稳定性判断,x0 稳定,
4、可得到稳定产量,x1 稳定, 渔场干枯,E捕捞强度,r固有增长率,产量模型,17,图解法,P的横坐标 x0平衡点,P的纵坐标 h产量,产量最大,控制渔场鱼量为最大鱼量的一半,产量模型最大产量,18,效益模型,假设,鱼销售价格p,单位捕捞强度费用c,单位时间利润,稳定平衡点,求E使R(E)最大,渔场鱼量,收入 T = ph(x) = pEx,支出 S = cE,19,对于k阶差分方程,F( n; xn, xn+1, , xn+k ) = 0 (4-6),若有xn = x (n), 满足,F(n; x(n), x(n + 1) , , x(n + k ) = 0,则称xn = x (n)是差分方程
5、(4-6)的解, 包含k个任意常数的解称为(4-6)的通解, x0, x1, , xk-1为已知时称为(4-6)的初始条件,通解中的任意常数都由初始条件确定后的解称为(4-6)的特解.,差分方程模型,20,若x0, x1, , xk1已知，则形如 xn+k = g(n; xn, xn+1, , xn+k-1 ) 的差分方程的解可以在计算机上实现.,若有常数a是差分方程(4-6)的解，即,F (n; a, a, , a ) = 0, 则称 a是差分方程(4-6)的平衡点. 又对差分方程(4-6)的任意由初始条件确定的解 xn= x(n)都有 xna (n), 则称这个平衡点a是稳定的.,差分方程
6、模型,21,一阶常系数线性差分方程 xn+1 + axn= b, (其中a, b为常数，且a -1, 0)的通解为 xn=C(- a) n + b/(a + 1) 易知b/(a+1)是其平衡点，由上式知，当且仅当|a|1时，b/(a +1)是稳定的平衡点.,差分方程模型,22,二阶常系数线性差分方程 xn+2 + axn+1 + bxn = r, 其中a, b, r为常数.,当r = 0时，它有一特解x* = 0； 当r 0，且a + b + 1 0时，它有一特解 x*=r/( a + b +1). 不管是哪种情形，x*是其平衡点. 设其特征方程2 + a + b = 0 的两个根分别为 =1
7、, =2.,差分方程模型,23, 当1, 2 是两个不同实根时，二阶常系数线性差分方程的通解为 xn= x*+ C1(1)n + C2(2)n ; 当1, 2=是两个相同实根时，二阶常系数线性差分方程的通解为 xn= x* + (C1 + C2 n)n;,则,差分方程模型,24, 当1, 2= (cos + i sin ) 是一对共轭复根时，二阶常系数线性差分方程的通解为 xn = x*+ n (C1cosn + C2sinn ). 易知，当且仅当特征方程的任一特征根 |i |1时, 平衡点x*是稳定的.,差分方程模型,25,对于一阶非线性差分方程 xn+1 = f (xn ),其平衡点x*由
8、代数方程x = f (x)解出. 为分析平衡点x*的稳定性, 将上述差分方程近似为一阶常系数线性差分方程,差分方程模型,26,问 题,供大于求,现 象,商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定,当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定,描述商品数量与价格的变化规律,数量与价格在振荡,市场经济中的蛛网模型,27,xk第k时段商品数量；yk第k时段商品价格,消费者的需求关系,生产者的供应关系,f与g的交点P0(x0,y0) 平衡点,一旦xk=x0，则yk=y0,xk+1,xk+2,=x0, yk+1,yk+2, =y0,模型建立,28,设x1偏离x0,P0是稳定平衡点,P0是不稳定平衡点,蛛 网
9、模 型,稳定性分析,29,x1,曲线斜率,稳定性分析,30,在P0点附近用直线近似曲线,P0稳定,P0不稳定,方 程 模 型,方程模型与蛛网模型的一致,稳定性分析,31, 商品数量减少1单位, 价格上涨幅度, 价格上涨1单位, (下时段)供应的增量, 消费者对需求的敏感程度, 生产者对价格的敏感程度,小, 有利于经济稳定, 小, 有利于经济稳定,xk第k时段商品数量；yk第k时段商品价格,结果解释,32,1. 使 尽量小，如 =0,以行政手段控制价格不变,2. 使 尽量小，如 =0,靠经济实力控制数量不变,结果解释政府干预,33,生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。,生产者管
10、理水平提高,设供应函数为,需求函数不变,二阶线性常系数差分方程,模型的推广,34,方程通解,(c1, c2由初始条件确定),1, 2特征根，即方程 的根,平衡点稳定的条件:,平衡点稳定条件,比原来的条件 放宽了,x0为平衡点,研究平衡点稳定，即k, xkx0的条件,模型的推广,35,模糊综合评判,四,模糊线性规划,Part2: 模糊数学,36,一、经典集合与特征函数,论域U中的每个对象u称为U的元素。,模糊集合及其运算,37,其中,函数 称为集合A的特征函数。,模糊集合及其运算,38,罗素（Russell）悖论：在一个孤岛上唯一的一个理发师，其工作是“专门替那些不给自己刮胡子的人刮胡子”，现问
11、理发师本人该不该给自己刮胡子？,问题：显然理发师 ，那么理发师是否属于A？,模糊集合及其运算,39,二、模糊集合及其运算,模糊集合及其运算,40,1、模糊子集,模糊集合及其运算,41,模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有：,（1）Zadeh表示法,这里 表示 对模糊集A的隶属度是 。,如“将一1,2,3,4组成一个小数的集合”可表示为,可省略,模糊集合及其运算,42,（3）向量表示法,（2）序偶表示法,若论域U为无限集，其上的模糊集表示为：,模糊集合及其运算,43,2、模糊集的运算,定义：设A，B是论域U的两个模糊子集，定义,相等：,包含：,并：,交：,余：,模糊集合及其运算,44,几个常用的
12、算子：,（1）Zadeh算子,（2）取大、乘积算子,（3）环和、乘积算子,模糊集合及其运算,45,（4）有界和、取小算子,（5）有界和、乘积算子,（6）Einstain算子,模糊集合及其运算,46,3、模糊矩阵,（1）模糊矩阵间的关系及运算,定义：设 都是模糊矩阵，定义,相等：,包含：,模糊集合及其运算,47,并：,交：,余：,例：,模糊集合及其运算,48,（2）模糊矩阵的合成,例：,模糊集合及其运算,49,（3）模糊矩阵的转置,（4）模糊矩阵的 截矩阵,模糊集合及其运算,50,例：,模糊集合及其运算,51,三、隶属函数的确定,1、模糊统计法,模糊统计试验的四个要素：,模糊集合及其运算,52,
13、特点：在各次试验中， 是固定的，而 在随机变动。,模糊统计试验过程：,（1）做n次试验，计算出,模糊集合及其运算,53,2、指派方法,3、其它方法,模糊集合及其运算,54,模糊聚类分析,一、基本概念及定理,55,模糊聚类分析,56,例：设对于模糊等价矩阵,模糊聚类分析,57,模糊聚类分析,58,例：设有模糊相似矩阵,模糊聚类分析,59,二、模糊聚类的一般步骤,、建立数据矩阵,模糊聚类分析,60,（1）标准差标准化,模糊聚类分析,61,（2）极差正规化,（3）极差标准化,模糊聚类分析,62,、建立模糊相似矩阵,（1）相似系数法,夹角余弦法,相关系数法,模糊聚类分析,63,（2）距离法,Hammi
14、ng距离,Euclid距离,Chebyshev距离,模糊聚类分析,64,（3）贴近度法,最大最小法,算术平均最小法,几何平均最小法,模糊聚类分析,65,3、聚类并画出动态聚类图,（1）模糊传递闭包法,步骤：,模糊聚类分析,66,模糊聚类分析,67,解：,由题设知特性指标矩阵为,采用最大值规格化法将数据规格化为,模糊聚类分析,68,用最大最小法构造 模糊相似矩阵得到,用平方法合 成传递闭包,模糊聚类分析,69,取 ，得,模糊聚类分析,70,取 ，得,取 ，得,模糊聚类分析,71,取 ，得,取 ，得,模糊聚类分析,72,画出动态聚类图如下：,模糊聚类分析,73,模糊聚类分析的简要流程:,74,模糊
15、模式识别,75,一最大隶属原则,最大隶属原则：,最大隶属原则：,模糊模式识别,76,模糊模式识别,77,模糊模式识别,78,模糊模式识别,79,阈值原则：,模糊模式识别,80,二、择近原则,1、贴近度,表示两个模糊集A，B之间的贴近程度。,模糊模式识别,81,C =,C =,故B比A更贴近于.,模糊模式识别,82,模糊模式识别,83,模糊模式识别,84,2、择近原则,模糊模式识别,85,模糊模式识别,86,模糊模式识别,87,模糊综合评判,一、一级模糊综合评判,88,模糊综合评判,89,根据运算的不同定义，可得到以下不同模型：,模糊综合评判,90,模糊综合评判,91,模糊综合评判,92,其中：
16、,模糊综合评判,93,模糊综合评判,94,模糊综合评判,95,模糊综合评判,96,二、多级模糊综合评判（以二级为例）,问题：对高等学校的评估可以考虑如下方面,模糊综合评判,97,二级模糊综合评判的步骤：,模糊综合评判,98,模糊综合评判,99,模糊综合评判,100,模糊综合评判,101,模糊综合评判,102,模糊综合评判,103,模糊综合评判,104,模糊综合评判,105,模糊线性规划,106,模糊线性规划,107,解模糊线性规划的基思想：化为普通线性规划。,请注意模糊线性规划（2）与普通线性规划（3） 的区别与联系。,模糊线性规划,108,模糊线性规划,109,模糊线性规划,110,模糊线性规划,
