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1、1,利用直角坐标系计算二重积分,小结,利用极坐标系计算二重积分,double integral,二重积分的换元法,第二节 二重积分的计算法,第九章 重积分,2,本节介绍计算二重积分的方法:,二重积分化为,累次积分(即两次定积分).,3,一、利用直角坐标系计算二重积分,(1) 积分区域为：,其中函数,在区间 上连续.,4,计算截面面积,( 红色部分即A(x0) ),以D为底,以曲面,为顶的曲顶柱体的体积.,应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法.,是区间,为曲边的曲边梯形.,为底,曲线,5,是区间 为底,曲线 为曲边 的曲边梯形.,有:,称为,先对y后对x的二次积分(累次积分),6,(
2、2) 积分区域为：,先对x后对y的二次积分,也即,其中函数,在区间,上连续.,7,特殊地,注,D为矩形域:,则,axb,cyd,8,穿过区域且平行于y轴的直线,穿过区域且平行于x轴的直线,计算结果一样.,又是Y型:,(3)积分区域D既是X型:,X型区域的特点:,Y型区域的特点:,与区域边界相交不多于两个交点.,与区域边界相交不多于两个交点.,但可作出适当选择.,9,(4) 若区域如图,在分割后的三个区域上分别使用积分公式.,(用积分区域的可加性质),则必须分割.,10,例,解,积分域既是X型又是Y型,法一,所围平面闭区域.,两曲线的交点,11,？,先对x后对y的积分,法二,12,例,siny2
3、 对y的积分,而它对x的积分,交换积分次序的方法是:,改写D为:,分析,所以将二次积分先,将所给的积分域,(1),(2),画出积分域的草图,(3),计算二次积分,不能用基本积分法算出,可用基本积分法算出.,交换积分次序.,用联立不等式表示 D:,13,14,例,交换积分次序：,解,积分区域:,原式=,15,交换积分次序的步骤,(1) 将已给的二次积分的积分限得出相应的二重积分的积分区域,(2) 按相反顺序写出相应的二次积分.,并画出草图;,16,1990 年研究生考题, 填空, 3分,解,练习,交换积分次序,17,又是能否进行计算的问题.,计算二重积分时,恰当的选取积分次序,十分重要,它不仅涉
4、及到计算繁简问题,而且,凡遇如下形式积分:,等等,一定要放在,后面积分.,18,例 求证,左边的累次积分中,积分域,可表为,提示,定积分与积分变量的记法无关,不能具体计算.,所以,是y的抽象函数,证毕.,先交换积分次序.,19,例 求两个底圆半径为R,且这两个圆柱面的方程分别为 及,解,求所围成的,立体的体积.,?,还有别的做法吗,20,2002 年研究生考题, 7分,练习,计算二重积分,其中,解,设,21,解,计算积分,不能用初等函数表示,先交换积分次序.,练习,22,23,24,25,26,例,则,提示: 如图 ，,A,设有平面闭区域,27,例. 有一个平面薄片, 在 平面上占有区域 其面
5、密度为 ，求该薄片的质量M。,由于积分区域 关于 轴， 轴都对称，且 被积函 数关于 都是偶函数，根据得,解：根据二重积分的物理意义，,28,例. 计算,其中D 由,所围成.,解: 令,(如图所示),显然,机动 目录 上页 下页 返回 结束,29,2014.3,例. 设 在 连续，且,证明,证明:,补区域 使其与区域,注意到被积函数关于 和 对称，,关于直线 对称。,30,例.,设 为取值恒大于0的连续函数，区域 ， 与 是两个 非零常数，则二重积分,31,解：由于区域 关于直线 对称，可得,从而,32,32,计算,解,积分区域D关于x轴对称,被积函数关于y为偶函数.,原式=,记D1为D的y0
6、的部分.,则,D1,练习,33,二、利用极坐标系计算二重积分,两相邻弧半径平均值.,内取圆周,上一点,其直角坐标,则,设为,34,得,即,也即,35,(1) 积分区域D:,36,(2)积分区域D(曲边扇形):,37,极坐标系下区域的面积,(3) 积分区域D:,注,一般,在极坐标系下计算:,38,解,例,写出积分,的极坐标二次积分,其中积分区域,形式,在极坐标系下,圆方程为,直线方程为,39,解,例,计算,其中D是由中心在原点,半径为a的圆周所围成的闭区域.,在极坐标系下,40,解,求反常积分,例,显然有,41,又,对称性质,42,概率积分,夹逼定理,即,所求反常积分,43,解,计算,所围成的平
7、面闭区域.,例,及直线,44,解,双纽线,求曲线,所围成的图形的面积.,例,根据对称性有,在极坐标系下,由,得交点,面积,45,将直角坐标系下累次积分:,化为极坐标系下的累次积分.,解,练习,原式=,46,解,47,计算,因被积函数,D2,例,分析,故,的,在积分域内变号.,D1,48,二重积分的计算规律,再确定交换积分次,1. 交换积分次序:,先依给定的积分次序写出积分域D的,不等式,并画D的草图;,序后的积分限;,2. 如被积函数为,圆环域时,或积分域为,圆域、扇形域、,则用极坐标计算;,49,3. 注意利用对称性质,数中的绝对值符号.,以便简化计算;,4. 被积函数中含有绝对值符号时,应
8、,将积分域分割成几个子域,使被积函数在,每个子域中保持同一符号,以消除被积函,50,例,计算,分析,从被积函数看,用极坐标系要简单些,但从积分域D的形状看,为宜.,用却又以直角坐标系,在两者不可兼得的情况下,应以D的形状,来决定用什么坐标系,此题用直角坐标系.,51,52,三、二重积分的换元法,设被积函数,在区域D上连续,若变换,满足如下条件:,(1),一对一地变为,D上的点;,(2),有连续的一阶偏导数,且雅可比行列式,53,基本要求,变换后定限简便,求积容易,54,例,解,所围成的闭区域.,其中D为椭圆,作广义极坐标变换,55,故换元公式仍成立,56,例,解,令,则,即,57,故,58,四、小结,二重积分在直角坐标系下的计算,二重积分在极坐标系下的计算公式,(注意使用对称性),(注意正确选择积分次序, 掌握交换积分次序的方法),恰当选择坐标系计算二重积分,(注意选择的原则),
