《散度和高斯公式（课堂PPT）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《散度和高斯公式（课堂PPT）（38页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1,向量场的散度,散度的计算,第七节散度和高斯 (Gauss)公式,第九章 曲线积分与曲面积分,高斯 Gauss,K.F. (17771855) 德国数学家、物理学家、天文学家,高斯公式,小结 思考题 作业,2,一、向量场的散度,1. 通量,源,水流从原点喷出,我们称原点是一个源.,汇,水流流向原点,我们称原点是一个汇.,为向量场,设有一向量场,则称沿场中有向曲面某一侧的曲面积分:,通量.,穿过曲面这一侧的,3,通量的计算公式,4,2.散度,设有向量场,为场中任一点,在P点的某邻域内作一包含P点在其内的闭曲面,它所围成的小区域及其体积记为,表示,内穿出的通量,若当,缩成P点时,极限,记为,散度
2、.,存在,则该极限值就称为向量场,在P点处的,即,5,若 表示流速,则散度表示在某一点处,单位时间内通过单位体积流体的流量.,使得 的点称为源,使得 的点称为汇,当 时,则称向量场 为无源场.,6,二、散度的计算,设有向量场,有连续的偏导数,则散度的计算公式为,推导: 考虑流出小立方体的六个面的流量的总和,再由散度的定义即可推导出此公式.,7,引入算子向量,则有,例1 求向量场,8,格林公式把平面上的闭曲线积分与,本节的高斯公式表达了空间闭曲面,上的曲面积分与曲面所围空间区域上的,它有明确的物理背景,三重积分的关系.,所围区域的二重积分联系起来.,通量与散度.,三、高斯公式,9,设空间中点 处
3、的不可压缩流体的速度为,为一光滑闭曲面,围成的区域为,单位外法向量为,则单位时间内通过 流出的流体质量(即流量)为,10,另一方面,在 内任取一微元 ,它包含点,流出的流量为,因此整个区域 流出的流量为,根据质量守恒定理,有,这就是高斯公式.,11,具有,则有公式,一阶连续偏导数,或,外侧,高斯公式,定理 (散度定理),12,证明思路,分别证明以下三式,从而完成定理证明.,只证其中第三式,其它两式可完全类似地证明.,13,证,设空间区域,母线平行于z轴的柱面.,即边界面,三部分组成:,(取下侧),(取上侧),(取外侧),14,由三重积分的计算法,投影法(先单后重法),15,由曲面积分的计算法,
4、取下侧,取上侧,取外侧,一投,二代,三定号,16,于是,17,同理,合并以上三式得,高斯公式,18,若区域的边界曲面,与任一平行于坐标轴,的直线的交点多于两点时,可以引进几张辅助的,曲面把分为有限个闭区域,使得每个闭区域满,足假设条件,并注意到沿辅助曲面相反两侧的两,个曲面积分的绝对值相等而符号相反,相加时正,好抵消.,因此,高斯公式对这样的闭区域仍是正,确的.,19,由两类曲面积分之间的关系知,高斯公式为计算(闭)曲面积分提供了,它能简化曲面积分的计算.,一个新途径,表达了空间闭区域上的三重积分与其,边界曲面上的曲面积分之间的关系.,高斯Gauss公式的实质,20,注意,则Gauss公式仍成
5、立。,（2）在Gauss公式中，,则由闭曲面所围成的立体的体积为,(3) 高斯公式也可写成,21,解,例2,外侧.,22,使用Guass公式时易出的差错:,(1) 搞不清,(2) 不满足高斯公式的条件, 用公式计算;,(3) 忽略了,的取向,注意是,取闭曲面的,外侧.,高斯公式,23,例3 计算,解：,24,25,即,说明：,26,例4,解,外侧.,?,能否直接用,点(x,y,z)在曲面上,然后再用高斯公式.,可先用曲面方程将被积,因被积函数中的,函数化简，,高斯公式,27,有时可作,辅助面,(将辅助面上的积分减去).,化为闭曲面的曲面积分,然后利用,高斯公式.,对有的,非闭曲面,的曲面积分,
6、28,例5,计算曲面积分,之间,下侧.,的法向量的方向余弦.,部分的,解,空间曲面在xOy面上的,曲面 不是,为利用高斯公式.,投影域为,补,构成封闭曲面,使用高斯公式.,封闭曲面,29,先二后一法,30,故所求积分为,31,例6 设函数u(x, y, z)和v(x, y, z)在闭区域上具有,其中是闭区域的整个边界曲面,v(x,y,z)沿的外法线方向的方向导数,称为拉普拉斯(Laplace)算子.,一阶及二阶连续偏导数,证明,为函数,符号,即,32,证,因为方向导数,是在点(x,y,z)处的外法线,向量的方向余弦.,于是曲面积分,33,移项后,即证.,高斯公式,34,高斯Gauss公式,物理意义-通量与散度,四、小结,表达了空间闭区域上的三重积分与其,边界曲面上的曲面积分之间的关系.,高斯Gauss公式的实质,(注意使用的条件),35,解,(如图),练习,计算曲面积分,绕y轴旋转曲面方程为,一周所成的曲面,它的法向量与y轴正向的夹角,绕y轴旋转,36,取右侧.,有,高斯公式,37,取右侧,故,38,作 业,习题9.7 (213页),4.(2)(4) 5.(1) (B) 2.,
