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1、卢老师数学 专用资料因式分解的常见变形技巧技巧一 符号变换有些多项式有公因式或者可用公式，但是结构不太清晰的情况下，可考虑变换部分项的系数，先看下面的体验题。体验题 1 (m+n)(xy)+(mn)(yx)指点迷津 yx = (xy )体验过程 原式=(m+n)(xy )(m n)(xy)=(xy)(m+nm+n)=2n( xy)小结 符号变化常用于可用公式或有公因式，但公因式或者用公式的条件不太清晰的情况下。实践题 1 分解因式：a 22abb 2实践详解 各项提出符号，可用平方和公式.原式=a 22abb 2=( a 2+2ab+b2)= ( a+b)2技巧二 系数变换有些多项式，看起来可
2、以用公式法，但不变形的话，则结构不太清晰，这时可考虑进行系数变换。体验题 2 分解因式 4x212xy+9y 2体验过程 原式=(2x) 22(2 x)(3y)+(3y)2=(2x 3y) 2小结 系数变化常用于可用公式，但用公式的条件不太清晰的情况下。实践题 2 分解因式221439xy实践详解 原式=( )2+2. +( )2=( + )x3y技巧三 指数变换有些多项式，各项的次数比较高，对其进行指数变换后，更易看出多项式的结构。体验题 3 分解因式 x4y 4指点迷津 把 x2 看成(x 2)2,把 y4 看成(y 2)2,然后用平方差公式。体验过程 原式=(x 2)2( y2)2=(x
3、2+y2)(x2y 2)=(x2+y2)(x+y)(xy)小结 指数变化常用于整式的最高次数是 4 次或者更高的情况下，指数变化后更易看出各项间的关系。实践题 3 分解因式 a42a 4b4+b4指点迷津 把 a4 看成(a 2)2，b 4=(b2)2实践详解 原式=(a 2b 2)2=(a+b)2(ab) 2技巧四 展开变换有些多项式已经分成几组了，但分成的几组无法继续进行因式分解，这时往往需要将这些局部的因式相乘的形式展开。然后再分组。体验题 4 a(a+2)+b(b+2)+2ab指点迷津 表面上看无法分解因式，展开后试试：a 2+2a+b2+2b+2ab。然后分组。卢老师数学 专用资料体
4、验过程 原式= a 2+2a+b2+2b+2ab= a2+ b2+2a+2b+2ab= a2+ b2+2(a+b+ab)小结 展开变化常用于已经分组，但此分组无法分解因式， 当于重新分组。实践题 4 x(x1)y(y1)指点迷津 表面上看无法分解因式，展开后试试：x 2xy 2+y。然后重新分组。实践详解 原式= x2xy 2+y=(x2y 2)( xy)=(x+y)( xy)( xy)=(xy)(x+y1)技巧五 拆项变换有些多项式缺项，如最高次数是三次，无二次项或者无一次项，但有常数项。这类问题直接进行分解往往较为困难，往往对部分项拆项，往往拆次数处于中间的项。体验题 5 分解因式 3a3
5、4a+1指点迷津 本题最高次是三次，缺二次项。三次项的系数为 3，而一次项的系数为4，提公因式后，没法结合常数项。所以我们将一次项拆开，拆成3aa 试试。体验过程 原式= 3a 33aa+1=3a(a 21)+1a=3a(a+1)(a1) (a1)=(a1)3a(a+1) 1=(a1)(3a 2+3a1)另外，也可以拆常数项，将 1 拆成 43。原式=3a 34a+43=3(a 31)4(a1)=3( a1)(a 2+a+1)4(a1)=(a1)(3a 2+3a+34)=(a1)( 3a 2+3a1)小结 拆项变化多用于缺项的情况，如整式 3a34a+1，最高次是三，其它的项分别是一，零。缺二
6、次项。通常拆项的目的是将各项的系数调整趋于一致。实践题 5 分解因式 3a3+5a22指点迷津 三次项的系数为 3，二次项的系数为 5，提出公因式 a2 后。下一步没法进行了。所以我们将 5a2 拆成 3a2 +2a2,化为 3a3+3a2+2a2 2.实践详解 原式=3a 3+3a2+2a22=3a 2(a+1)+2(a21)=3a2(a+1)+2(a+1)(a1)=(a+1)(3a2+2a 2)技巧六 添项变换有些多项式类似完全平方式，但直接无法分解因式。既然类似完全平方式，我们就添一项然后去一项凑成完全平方式。然后在考虑用其它的方法。体验题 6 分解因式 x2+4x12指点迷津 本题用常
7、规的方法几乎无法入手。与完全平方式很象。因此考虑将其配成完全平方式再说。体验过程 原式= x 2+4x+4412=(x+2)216=(x+2)24 2=(x+2+4)(x+24)=(x+6)(x2)小结 添项法常用于含有平方项，一次项类似完全平方式的整式或者是缺项的整式，添项的基本目的是配成完全平方式。实践题 6 分解因式 x26x+8卢老师数学 专用资料实践详解 原式=x 26x+99+8=(x3) 21=(x3) 21 2=(x3+1)( x31)=(x2)(x4)实践题 7 分解因式 a4+4实践详解 原式=a 4+4a2+44a 2=(a2+2)24a 2=(a2+2+2a)(a2+2
8、2a)=(a2+2a+2)(a2 2a+2)技巧七 换元变换有些多项式展开后较复杂，可考虑将部分项作为一个整体，用换元法，结构就变得清晰起来了。然后再考虑用公式法或者其它方法。体验题 7 分解因式 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1指点迷津 直接展开太麻烦，我们考虑两两结合。看能否把某些部分作为整体考虑。体验过程 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1=(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)+1=(x2+5x+4)(x2+5x+6)+1*令 x2+5x=m.上式变形为(m+4)(m+6)+1=m2+10m+24+1=(m+5)2=(x2+5x+5)2*式也可以这样变形，令 x
9、2+5x+4=m原式可变为：m(m+2)+1=m2+2m+1=(m+1)2=(x2+5x+5)2小结 换元法常用于多项式较复杂，其中有几项的部分相同的情况下。如上题中的x2+5x+4 与 x2+5x+6 就有相同的项 x2+5x.，换元法实际上是用的整体的观点来看问题。实践题 8 分解因式 x(x+2)(x+3)(x+5)+9指点迷津 将 x(x+5)结合在一起，将(x+2)(x +3)结合在一起.实践详解 原式=x( x+5)(x+2)(x+3)+9=(x2+5x)(x2+5x+6) +9令 x2+5x=m上式可变形为m(m+6)+9=m2+6m+9=(m+3)2卢老师数学 专用资料=(x2+5x+3)2要想熟练掌握这些技巧，还需要同学们结合平时的练习去体验我们所讲的方法和思路。
