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1、第 23-25 课时（周二 5 月 14 日；周三 5 月 15 日）（2013 年 5 月 14 日 1528多云；15 日 1328晴；）山东省桓台第一中学 苏同安课题：1.8 函数与方程、函数模型及其应用 三维目标： 1、知识与技能：（1）进一步理解函数的零点及二分法的内涵，并理解判断函数的零点和求零点的方法；（2）会用二分法求函数的近似解，并能解决有关零点的综合性问题；（3） ）能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用基本函数模型解决实际问题的思想方法；（4）能够利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题；（5）能够收集图表数据信息，建立拟合函数解决实际问题。2、过程与
2、方法（1）通过函数的零点、二分法及函数模型的运用进一步体会函数与方程、数形结合、 等价转化、分类讨论等数学思想方法；（2）通过对函数的零点、二分法及函数模型的复习和应用，进一步体会函数知识的本质联系以及数学工具应用的广泛性与重要性；（3）培养分析问题、解决问题的能力及钻研精神，培养运算能力以及严谨的思维习惯以及解题的规范性。3、情态与价值观（1）通过函数的零点、二分法及函数模型的的进一步复习、巩固和运用，体会数学知识抽象性、概括性和广泛性，培养学习数学的兴趣，形成学数学、用数学的思维和意识，培养学好数学的信心，为远大的志向而不懈奋斗。（2）通过对函数的零点、二分法及函数模型的系统复习及探索，不
3、断培养自主学习、主动探索、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，并提高参与意识和合作精神。教学重点：1判断函数的零点所在的位置及求零点的方法2运用基本函数模型解决实际问题教学难点：1有关零点的综合性问题；2.运用基本函数模型解决综合性实际问题教 具：多媒体、实物投影仪教学方法：合作探究、分层推进教学法教学过程： 1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；2.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征, 结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；3.了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、方段函数等在社会
4、生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.1.函数的零点(1)定义：若实数 x 是函数 y=f(x)的零点,则需满足条件 f(x)=0.(2)三个等价关系2.函数零点的存在性定理函数与方程函数的零点概念零点与方程根之关系二分法内涵应用最新考纲建构整合知识全景整合自主梳理条 件 结 论 (1)图 象 是 连 续 不 断 的 一条 曲 线 函 数y=f(x) 在 a,b上 (2)f(a)f(b) 0)的图象与零点的关系4.几种常见的函数模型5.三种函数模型性质比较0 =0 0)一一一 一 x一一一一 (x1,0),(x2,0) (x1,0) 一一一 一一一一 一一 一一 一一 函 数 模 型 函 数
5、解 析 式 一 次 函 数 模 型 f(x)=ax+b(a、 b为 常 数 ,a 0) 反 比 例 函 数 模 型 f(x)=k(k 0) 二 次 函 数 模 型 f(x)=ax2+bx+c (a、 b、 c为 常 数 ,a 0) 指 数 函 数 模 型 f(x)=bax+c(a、 b、 c为 常 数 ,a0且 a 1,b 0) 对 数 函 数 模 型 f(x)=blogax+c(a、 b、 c为 常 数 ,a0且 a 1,b 0) 幂 函 数 模 型 f(x)=axn+b(a、 b、 n为 常 数 ,a 0,n 0) y=ax(a1) y=logax(a1) y=xn(n0) 一 (0,+)
6、 一一一一一 一一一一 一一 一一一一 一一 一一一一 一一 一一一一 一一一一 一一一一 一一一一 一一一 一一 一 x一一一 ,一一一 y一一一一一 一 x一一一 ,一一一 x一一一一一 一 n一一一一一一 1.(2012 年高考湖北卷)函数 f(x)=xcos 2x 在区间0,2上的零点的个数为(D)(A)2 (B)3 (C)4 (D)5解析:要使 f(x)=xcos 2x=0,则 x=0 或 cos 2x=0,而在区间0,2 上,通过观察 y=cos 2x 的函数图象,易得满足cos 2x=0 的 x 的值有 ,所以零点的个数为 5 个.故选 D.475,32.函数 f(x)=2x+3
7、x 的零点所在的一个区间是( B )(A)(-2,-1) (B)(-1,0) (C)(0,1) (D)(1,2)解析:易知 f(x)=2x+3x 在 R 上是增函数.而 f(-2)=2-2-60,f(-1)f(0)0 (C)f(x1)0,f(x2)0,f(x2)0解析:设 g(x)= ,h(x)=2x,由于函数 g(x)= =- 在(1,+)上单调递增,函数 h(x)x=2x 在(1,+)上单调递增,故函数 f(x)=h(x)+g(x)在(1,+)上 单调递增,所以函数 f(x)在(1,+)上只有唯一的零点 x0,且在(1,x 0)上 f(x1)0.故选 B.4.已知函数 f(x)=x2+x+
8、a(a0,解得 a (-2,0).答案:(-2,0)。函数零点的个数问题【例 1】 (2012 北京东城区模拟)已知函数 f(x)= 则函数 y=f(f(x)+1 的零,0log,12x点个数是()(A)4 (B)3 (C)2 (D)1解析:由 f(f(x)+1=0 可得 f(f(x)=-1, 又由 f(-2)=f( )=-1, 21可得 f(x)=-2 或 f(x)= .21若 f(x)=-2,则 x=-3 或 x= ;若 f(x)= ,则 x=- 或 x= ,4212综上可得函数 y=f(f(x)+1 有 4 个零点,故应选 A.双基自测互动探究 判断函数零点个数的常用方法有哪些?( 提示
9、:(1)直接法.令 f(x)=0, 如果能求出解,则有几个不同的解就有几个零点.(2)零点存在性定理法.利用定理不仅要求函数在区间 a,b上是连续不断的曲线, 且f(a)f(b)0,f(0)f(1)0 且函数 f(x)在(0,+)上为单调增函数.函数 f(x)的零点即方程 log3x+x=3 的根所在区 间为 (2,3),故选 C.法二方程 log3x+x=3 的根所在区间即是函数 y1=log3x 与 y2=3-x 交点横坐标所在区间,两函数图象如图所示.由图知方程 log3x+x=3 的根所在区 间为(2,3), 故选 C.判断函数的零点或方程的根所在区间时,通常有两种方法,一是利用零点存
10、在性定理进行判断;二是画出相应函数的图象,由图象及单调性进行直观判断.变式训练 2 1:(1)(2012 北京海淀模拟)函数 f(x)=log2x- 的零点所在区间为()x1(A) (B) (C)(1,2) (D)(2,3)1,01,2解析:(1)法一 -2=-30,函数 f(x)=log2x- 的零点所在区间为(1,2),故应选 C.21x1法二令 y1=log2x,y2= ,在同一直角坐标系中画出两函数的图象,由图象知函数 f(x)=log2x- 的零点所在区 间为(1,2),x故选 C.由函数零点的情况求参数【例 3】 已知函数 f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+ (x0)
11、.2e(1)若 G(x)=g(x)-m 有零点,求 m 的取值范围;(2)确定 m 的取值范围,使得 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根.解:(1)x0 时,g(x)=x+ =2e,2e2当且仅当 x= 时取等号,当 x=e 时,g(x)有最小值 2e.2e因此 G(x)=g(x)-m 有零点,只需 m2e.当 m 2e,+ )时, G(x)=g(x)-m 有零点.(2)若 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根.则函数 g(x)与 f(x)的图象有两个不同的交点.如图所示,作出函数 g(x)=x+ (x0)的大致图象.x2ef(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2,
12、其对称轴为 x=e,f(x)max=m-1+e2.若函数 f(x)与 g(x)的图象有两个不同交点必须有 m-1+e22e,即 m-e2+2e+1 时,g(x)-f(x)=0 有两个相异实根,m 的取值范围是(-e2+2e+1,+ ).此类利用零点求参数的范围的问题,可利用方程,但有时不易甚至不可能解出,而转化为构造两函数图象求解,使得问题简单明了,这也体现了当不是求零点,而是利用零点的个数,或有零点求参数的范围时,一般采用数形结合法求解.变式训练 3 1:(1)(2012 安徽皖北协作区联考)函数 f(x)=2x- -a 的一个零点在区间2(1,2)内,则实数 a 的取值范围是() (A)(
13、1,3) (B)(1,2) (C)(0,3) (D)(0,2)(2)(2012 山东济宁一模)已知函数 f(x)=,02,1xx若函数 y=f(x)-m 有 3 个不同的零点,则实数 m 的取值范围是. 解析:(1)由于函数的一个零点在区间(1,2)内,所以 f(1)f(2)0).(1)如果 m=2,求经过多长时间,物体的温度为 5 摄氏度;(2)若物体的温度总不低于 2 摄氏度,求 m 的取值范围.解:(1)若 m=2,则 =22 t+21-t=2 ,tt1当 =5 时,2 t+ , 令 2t=x(x1),则 x+ ,5125x即 2x2-5x+2=0,解得 x=2 或 x= (舍去),此时
14、 t=1.1所以经过 1 分钟,物体的温度为 5 摄氏度.(2)物体的温度总不低于 2 摄氏度,即 2 恒成立,亦 m2t+ 2 恒成立,2亦即 m2 恒成立.令 =y,则 00,f(3) 0,f(5)0时,令-2+ln x=0,解得 x=e2,所以函数 f(x)有 2 个零点,故选 C.4.(2012 浙江调研)函数 f(x)=ex+3x 的零点个数是(B)(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:易知 f(x)=ex+3x 在 R 上单调递增,又f(-1)=e -1-30,函数只有一个零点,故选 B.5.已知关于 x 的方程 xln x=ax+1(aR),下列说法正确的是(B)(A)有两
15、不等根 (B)只有一正根(C)无实数根 (D)不能确定解析:由 xln x=ax+1(aR)知 x0,ln x=a+ ,作出函数 y1=ln x 与 y2=a+ 的图象,易知选 B.6.(2012 广东珠海模拟)对于函数 f(x)=x|x|+px+q,现给出四个命题,其中所有正确命题的序号是(B)q=0 时,f(x)为奇函数;y=f(x)的图象关于点(0,q)对称;p=0,q0时,f(x)有且只有一个零点;f(x)至多有 2 个零点.(A) (B) (C) (D)解析:当 q=0时,f(x) =x(|x|+p),显然是奇函数,故正确;由于 g(x)=x(|x|+p)是奇函数 ,图象关于原点对称,q0时,f( x)=g(x)+q 的图象由 g(x)的图象向上(或向下) 平移|q|个单位得到,所以 f(x)的 图象关于点( 0,q)对称,故正确;当 p=0,q0时,由 f(x)=x|x|+q=0 可得 x=- ,只有一个根,函数只有一个零点,故正确;当 p0,所以零点在区间( 2,3)内,故 n=2.答案:29.
