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1、第二章 控制系统的数学模型2.1 RC无源网络电路图如图21所示，试采用复数阻抗法画出系统结构图，并求传递函数Uc(s)/Ur(s)。图21解：在线性电路的计算中，引入了复阻抗的概念，则电压、电流、复阻抗之间的关系，满足广义的欧姆定律。即： 如果二端元件是电阻R、电容C或电感L，则复阻抗Z(s)分别是R、1/C s或L s 。(1) 用复阻抗写电路方程式： (2) 将以上四式用方框图表示，并相互连接即得RC网络结构图，见图21（a）。21（a）。(3) 用梅逊公式直接由图21(a) 写出传递函数Uc(s)/Ur(s) 。独立回路有三个：回路相互不接触的情况只有L1和L2两个回路。则 由上式可写
2、出特征式为：通向前路只有一条由于G1与所有回路L1，L2， L3都有公共支路，属于相互有接触，则余子式为1=1代入梅逊公式得传递函数2-2 已知系统结构图如图2-2所示，试用化简法求传递函数C(s)/R(s)。图22解：（1）首先将含有G2的前向通路上的分支点前移，移到下面的回环之外。如图2-2（a）所示。（2）将反馈环和并连部分用代数方法化简，得图2-2（b）。（3）最后将两个方框串联相乘得图2-2（c）。图2-2 系统结构图的简化 2.3化简动态结构图,求C(s)/R(s)图23解： 单独回路1个，即两个互不接触的回路没有于是，得特征式为从输入R到输出C的前向通路共有2条，其前向通路传递函
3、数以及余因子式分别为 因此，传递函数为2.4 用梅森公式求系统传递函数。_ R(S)C(S)G2(s)G1(s)+图24解： 单独回路5个，即两个互不接触的回路没有于是，得特征式为从输入R到输出C的前向通路共有4条，其前向通路总增益以及余因子式分别为 因此，传递函数为2-5 试简化图2-5中的系统结构图，并求传递函数C(s)/R(s )和C(s)/N(s)。 图2-5解： 仅考虑输入R（S）作用系统时，单独回路2个，即两个互不接触的回路没有,于是，得特征式为从输入R到输出C的前向通路共有1条，其前向通路总增益以及余因子式分别为 因此，传递函数为仅考虑输入N（S）作用系统时，单独回路2个，即两个
4、互不接触的回路没有,于是，得特征式为从输入N到输出C的前向通路共有2条，其前向通路总增益以及余因子式分别为 因此，传递函数为2-6用梅逊增益公式求传递函数C(s)/R(s)和E(s)/R(s)。 图2-6解：C(s)/R(s):单独回路3个，即两个互不接触的回路,于是，得特征式为从输入R到输出C的前向通路共有1条，其前向通路总增益以及余因子式分别为 因此，传递函数为E(s)/R(s):单独回路3个，即两个互不接触的回路,于是，得特征式为从输入R到输出E的前向通路共有2条，其前向通路总增益以及余因子式分别为 因此，传递函数为第三章 线性系统的时域分析法3-1 设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图
5、3-1所示。试确定系统的传递函数。0.143图3-1 二阶控制系统的单位阶跃响应解 在单位阶跃作用下响应的稳态值为3，故此系统的增益不是1，而是3。系统模型为然后由响应的、及相应公式，即可换算出、。（s）由公式得换算求解得： 、 3-2 设系统如图3-2所示。如果要求系统的超调量等于，峰值时间等于0.8s，试确定增益K1和速度反馈系数Kt 。同时，确定在此K1和Kt数值下系统的延迟时间、上升时间和调节时间。R(s)C(s)1+KtsK/s(s+1)图3-2解 由图示得闭环特征方程为即 ，由已知条件 解得于是 3-3 已知系统特征方程式为试用劳斯判据判断系统的稳定情况。解 劳斯表为 1 18 8
6、 16 由于特征方程式中所有系数均为正值，且劳斯行列表左端第一列的所有项均具有正号，满足系统稳定的充分和必要条件，所以系统是稳定的。3-4 已知系统特征方程为试判断系统稳定性。解 本例是应用劳斯判据判断系统稳定性的一种特殊情况。如果在劳斯行列表中某一行的第一列项等于零，但其余各项不等于零或没有，这时可用一个很小的正数来代替为零的一项，从而可使劳斯行列表继续算下去。劳斯行列式为 由劳斯行列表可见，第三行第一列系数为零，可用一个很小的正数来代替；第四行第一列系数为（2+2/，当趋于零时为正数；第五行第一列系数为（4452）/（2+2），当趋于零时为。由于第一列变号两次，故有两个根在右半s平面，所以
7、系统是不稳定的。3.5解;在求解系统的稳态误差前必须判定系统是否稳定；系统特征方程为由劳斯判据判断劳斯行列式为 由于特征方程式中所有系数均为正值，且劳斯行列表左端第一列的所有项均具有正号，满足系统稳定的充分和必要条件，所以系统是稳定的。可知v=1，K=10当 ， 当第五章 线性系统的频域分析法5.1已知系统的开环传函，用奈氏判据（画出奈氏曲线）判别闭环系统的稳定性。解： (1) 确定起点和终点 ，故初始相角为-90， 终点: ，(2) 求幅相曲线与负实轴的交点，-1.82P=0，N-=1， N+=0，R=2（N+-N-）=-2，Z=P-2N=2由奈氏判据知，闭环系统是不稳定的。5.2已知系统的
8、开环传函 用奈氏判据（画出奈氏曲线）判别闭环系统的稳定性。解： (1) 确定起点和终点 ，故初始相角为-180， 终点: ，(2) 求幅相曲线与负实轴的交点ReIm0-1=0+=-10.7=0，P=0，N-=1， N+=0，R=2（N+-N-）=-2，Z=P-2N=2由奈氏判据知，闭环系统是不稳定的。5.3已知一单位负反馈系统开环传递函数 作系统开环对数幅频L(w)，有简要的计算说明画图过程，并确定系统的截止频率C和相角裕度g。，=0.2，=10低频段，斜率-20db/dec，延长线过1,2log10点，过=0.2后，斜率为-40db/dec，过=10后，斜率为-60db/decw/s-1L(
9、w)/dB0.0110.2102040-20-400伯德图 -20 dB/dec-40 dB/dec-60 dB/dec20 dBC确定系统的截止频率C和相角裕度g。确定系统的截止频率C：通过作图可以看出截止频率在1和2之间，在通过试根的方法确定稍精确的值为1.4确定系统的相角裕度g：g=1800+=1800-900-arctan5- arctan0.1=900-81.880-7.970=0.1505.4某位置控制系统的结构如图1。试绘制系统开环的伯德图，并确定系统的相位稳定裕量g。R(s)C(s) 图1w/s-1L(w)/dB0.141102040-20-400伯德图 -20 dB/dec-
10、40 dB/dec-60 dB/dec20 dBC，=4，=10低频段，斜率-20db/dec，过1,2log10点，过=4后，斜率为-40db/dec，过=10后，斜率为-60db/decw/s-1(w)/0.1110-90-1800伯德图 90100-2704C相位从-900变化到-2700，wc 处的相位 。 确定系统的截止频率C和相角裕度g。确定系统的截止频率C：通过作图可以看出截止频率在5和6之间，在通过试根的方法确定稍精确的值为5.35确定系统的相角裕度g：g=1800+=1800-900-arctan0.25- arctan0.1=900-53.210-28.150=8.6405
11、5最小相位系统对数幅频渐近特性如图5-2所示，请确定系统的传递函数。 图5-2解 由图知在低频段渐近线斜率为0，故系统为0型系统。渐近特性为分段线性函数，在各交接频率处，渐近特性斜率发生变化。在w = 0.1处，斜率从0 dB/dec变为20dB/dec，属于一阶微分环节。在w = w1处，斜率从20 dB/dec 变为0 dB/dec，属于惯性环节。在w = w2处，斜率从0 dB/dec变为-20 dB/dec，属于惯性环节。在w = w3处，斜率从-20 dB/dec变为-40 dB/dec，属于惯性环节。在w = w4处，斜率从-40 dB/dec变为-60 dB/dec，属于惯性环节。因此系统的传递函数具有下述形式式中K，w1，w2，w3，w4待定。 由20lgK = 30得K = 31.62。确定w1： 所以 w1 = 0.316确定w4： 所以w4=82.54确定w3： 所以 w3 =34.81确定w2： 所以w2 =3.481于是，所求
