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1、考研数学知识点-高等数学 Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 1 一一. 函数的概念函数的概念 1用变上、下限积分表示的函数用变上、下限积分表示的函数 （1）( )dttfy x = 0 ，其中( )tf连续，则( )xf dx dy = （2）( ) ( ) ( ) dttfy x x = 2 1 ， 其中( )x 1 ，( )x 2 可导，( )tf 连续， 则( )( )( )( )xxfxxf dx dy 1122 = 2两个无穷小的比较两个无穷小的比较 设( )0lim=xf，( )0lim=xg，且 ( ) ( ) l xg xf =lim （1）0=l，称( )x
2、f是比( )xg高阶的无穷小，记以 ( )( )xgxf0=，称( )xg是比( )xf低阶的无穷 小。 （2）0l，称( )xf与( )xg是同阶无穷小。 （3）1=l，称( )xf与( )xg是等价无穷小，记以 ( )( )xgxf 3常见的等价无穷小常见的等价无穷小 当0 x时 xx sin，xx tan，xx arcsin，xx arctan 2 2 1 cos1xx，xe x 1，()xx 1ln+， ()xx 11 + 二求极限的方法二求极限的方法 1利用极限的四则运算和幂指数运算法则利用极限的四则运算和幂指数运算法则 2两个准则两个准则 准则 1单调有界数列极限一定存在 （1）若
3、 nn xx +1 （n为正整数）又mxn（n为正 整数） ，则Axn n = lim存在，且mA （2）若 nn xx +1 （n为正整数）又Mxn（n为正 整数） ，则Axn n = lim存在，且MA 准则 2 （夹逼定理）设( )( )( )xhxfxg 若( )Axg=lim，( )Axh=lim，则( )Axf=lim 3两个重要公式两个重要公式 公式 11 sin lim 0 = x x x 公 式 2 e n n n = + 1 1lim；e u u u = + 1 1lim； ()evv v =+ 1 0 1lim 4用无穷小重要性质和等价无穷小代换用无穷小重要性质和等价无穷
4、小代换 5用泰勒公式（比用等价无穷小更深刻） （数学一和 数学二） 用泰勒公式（比用等价无穷小更深刻） （数学一和 数学二） 当0 x时，( ) n n x x n xx xe0 ! 2 1 2 += () () () 12 1253 0 !12 1 ! 5! 3 sin + + + + += n n n x n xxx xx () () () n n n x n xxx x 2 242 0 !2 1 ! 4! 2 1cos+= ()()( ) n n n x n xxx xx01 32 1ln 1 32 +=+ + ()() 12 12 1 53 0 12 1 53 arctan + + +
5、 + + += n n n x n xxx xx () ()()() ( ) nn xx n n xxx0 ! 11 ! 2 1 11 2 + + +=+ 6洛必达法则洛必达法则 法则 1 （ 0 0 型）设（1）( )0lim=xf，( )0lim=xg （2）x变化过程中，( )x f ，( )x g 皆存在 （3） ( ) ( ) A xg xf = lim（或） 则 ( ) ( ) A xg xf =lim（或） （注： 如果 ( ) ( )xg xf lim不存在且不是无穷大量情形，则 不能得出 ( ) ( )xg xf lim不存在且不是无穷大量情形） 法则 2 （ 型） 设 （1
6、）( )=xflim，( )=xglim （2）x变化过程中，( )x f ，( )x g 皆存在 考研数学知识点-高等数学 Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 2 （3） ( ) ( ) A xg xf = lim（或） 则 ( ) ( ) A xg xf =lim（或） 7利用导数定义求极限利用导数定义求极限 基本公式： ()() () 0 00 0 limxf x xfxxf x = + 如果 存在 8利用定积分定义求极限利用定积分定义求极限 基本公式 ( ) = = 1 0 1 1 limdxxf n k f n n k n 如果存在 三函数的间断点的分类三函数的间断点
7、的分类 函数的间断点分为两类： （1）第一类间断点 设 0 x是函数( )xfy =的间断点。如果( )xf在间断点 0 x处的左、右极限都存在，则称 0 x是( )xf的第一类间断 点。 第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。 （2）第二类间断点 第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断 点。 常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。 四闭区间上连续函数的性质四闭区间上连续函数的性质 在闭区间ba,上连续的函数( )xf，有以下几个基本 性质。这些性质以后都要用到。 定理 1 （有界定理）如果函数( )xf在闭区间ba,上 连续，则( )xf必在ba,上有界。 定理 2 （最大值和
8、最小值定理）如果函数( )xf在闭 区间ba,上连续，则在这个区间上一定存在最大值M和 最小值m。 其中最大值M和最小值m的定义如下： 定义 设()Mxf= 0 是区间ba,上某点 0 x处的函数 值，如果对于区间ba,上的任一点x，总有( )Mxf， 则称M为函数( )xf在ba,上的最大值。 同样可以定义最 小值m。 定理 3 （介值定理）如果函数( )xf在闭区间ba,上 连续， 且其最大值和最小值分别为M和m， 则对于介于m 和M之间的任何实数c，在ba,上至少存在一个，使 得 ( )cf= 推论：如果函数( )xf在闭区间ba,上连续，且( )af 与( )bf异号，则在()ba,内
9、至少存在一个点，使得 ( )0=f 这个推论也称为零点定理 五导数与微分计算五导数与微分计算 1导数与微分表导数与微分表 ( )0= c ( )0=cd () 1 = xx（实常数）()dxxxd 1 = （实常数） ()xxcossin= xdxxdcossin= ()xxsincos= xdxxdsincos= ()xx 2 sectan= xdxxd 2 sectan= ()xx 2 csccot= xdxxd 2 csccot= ()xxxtansecsec= xdxxxdtansecsec= ()xxxcotcsccsc= xdxxxdcotcsccsc= () ax x a ln
10、1 log= ()1, 0aa ax dx xd a ln log=()1, 0aa () x x 1 ln= dx x xd 1 ln= ()aaa xx ln= ()1, 0aa adxada xx ln=()1, 0aa 考研数学知识点-高等数学 Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 3 ( ) xx ee= dxede xx = () 2 1 1 arcsin x x = dx x xd 2 1 1 arcsin = () 2 1 1 arccos x x = dx x xd 2 1 1 arccos = () 2 1 1 arctan x x + = dx x xd 2
11、 1 1 arctan + = () 2 1 1 cot x xarc + = dx x xdarc 2 1 1 cot + = () 22 22 1 ln ax axx + = + ()dx ax axxd 22 22 1 ln + =+ () 22 22 1 ln ax axx = + ()dx ax axxd 22 22 1 ln =+ 2四则运算法则四则运算法则 ( )( )( )( )xgxfxgxf= ( )( )( ) ( )( ) ( )xgxfxgxfxgxf+= ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )xg xgxfxgxf xg xf 2 = ( )()0 x
12、g 3复合函数运算法则复合函数运算法则 设( )ufy =，( )xu=， 如果( )x在x处可导，( )uf 在对应点u处可导，则复合函数( )xfy=在x处可导， 且有 ( )( )xxf dx du du dy dx dy = 对应地( )( )( )dxxxfduufdy= 由于公式( )duufdy=不管u是自变量或中间变量 都成立。因此称为一阶微分形式不变性。 4由参数方程确定函数的运算法则由参数方程确定函数的运算法则 设( )tx=，( )ty=确定函数( )xyy =， 其中( )t， ( )t存在，且( )0 t ，则 ( ) ( )t t dx dy = ( )()0 t
13、二阶导数 ( ) ( )( )( ) ( )3 2 2 1 t tttt dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx yd = = = 5反函数求导法则反函数求导法则 设( )xfy =的反函数( )ygx =，两者皆可导，且 ( )0 x f 则 ( ) ( )( )ygfxf yg = = 11 ( )()0 x f 二阶导数( ) ( )( ) dx dy dx xf d dy ygd yg 1 1 = = ( ) ( ) ( ) ( )3 3 ygf ygf xf xf = = ( )()0 x f 6隐函数运算法则隐函数运算法则 设( )xyy =是由方程()0,=
14、yxF所确定，求 y 的方 法如下： 把()0,=yxF两边的各项对x求导，把y看作中间变 量， 用复合函数求导公式计算， 然后再解出 y 的表达式 （允 许出现y变量） 7对数求导法则对数求导法则 先对所给函数式的两边取对数，然后再用隐函数求导 方法得出导数 y 。 对数求导法主要用于： 幂指函数求导数 多个函数连乘除或开方求导数 关 于 幂 指 函 数( ) ( )xg xfy =常 用 的 一 种 方 法 考研数学知识点-高等数学 Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 4 ( )( )xfxg ey ln =这样就可以直接用复合函数运算法则进行。 8可微与可导的关系可微与可导的关系 ( )xf在 0 x处可微( )xf在 0 x处可导。 9求求n阶导数（阶导数（2n，正整数），正整数） 先求出,yy 总结出规律性，然后写出 ( )n y，最后 用归纳法证明。 有一些常用的初等函数的n阶导数公式 （1） x ey = ( )xn ey= （2）()1, 0=aaay x ( ) ()n xn aayln= （3）xysin= ( ) += 2 sin n xy n （4）xycos= ( ) += 2 cos n xy n (5) xyln= ( ) ()() n
