《量子统计 第2章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《量子统计 第2章（87页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章第二章第二章第二章、理想理想理想理想全同粒子全同粒子全同粒子全同粒子统计统计统计统计无相互作用无相互作用无相互作用无相互作用不可分辨不可分辨不可分辨不可分辨交换对称性交换对称性交换对称性交换对称性第零节第零节第零节第零节、 交换对称性交换对称性交换对称性交换对称性环环环环中的理想中的理想中的理想中的理想两玻色子两玻色子两玻色子两玻色子问题问题问题问题()2222122221xxmHHH+=+=h,.1, 02)(11111111=nnLkLexHxikk，的本征态矢,.1, 02)(22222222=nnLkLexHxikk，的本征态矢)()(),(2121,2121xxxxHkkCkk
2、=的本征态矢1、可分辨经典粒子可分辨经典粒子可分辨经典粒子可分辨经典粒子：2、不可分辨全同粒子不可分辨全同粒子不可分辨全同粒子不可分辨全同粒子：波函数应满足波函数应满足波函数应满足波函数应满足交换对称性交换对称性交换对称性交换对称性+=+21212121)(2121,2)()()()()()(),(:1221211121kkxxxxkkkLexxxxHkkkkxxikkkSkk，的本征态矢3、交换对称性的结果交换对称性的结果交换对称性的结果交换对称性的结果：态空间的压缩态空间的压缩态空间的压缩态空间的压缩是不同的态，与),(),(21,21,1221xxxxCkkCkk是同一个态与),(),(
3、21,21,1221xxxxSkkSkk()2222)(,),(22121LmLeeQkkEkkkkEC=h=2121),(kkkkEem22 h1k2k经典粒子经典粒子经典粒子经典粒子1k2k玻色子玻色子玻色子玻色子求和化积分，L无穷221L+=kkkEkkkkEee),(,),(212121=2121),(kkkkEeSQ+=+=LLLL212122122),(),(),;,(),(),(),;,(21*,21,1212121*,21,121212121212,12121212,1xxxxeQxxxxxxxxeQxxxxSkkSkkkkESSCkkCkkkkECCkkkk=考察坐标空间密度
4、矩阵考察坐标空间密度矩阵考察坐标空间密度矩阵考察坐标空间密度矩阵：考察密度矩阵的对角元考察密度矩阵的对角元考察密度矩阵的对角元考察密度矩阵的对角元：),(),(),;,(21*,21,121212121212,1xxxxeQxxxxSkkSkkkkESSkk=()221211),;,(LxxxxC=+=kEkkEkkESkkkkkkeeeLxxxx,212,1212,1,221),;,(发现两个发现两个发现两个发现两个玻色子玻色子玻色子玻色子出现在出现在出现在出现在同一空同一空同一空同一空间点间点间点间点 x的概率的概率的概率的概率：),(),(2211xxxx=)(cos(122121,21
5、212,1xxkkeLQkkESkk+=21),;,(LxxxxC=与经典可分辨粒子相比与经典可分辨粒子相比与经典可分辨粒子相比与经典可分辨粒子相比，玻色子在同一空间位置出现的概率变大了玻色子在同一空间位置出现的概率变大了玻色子在同一空间位置出现的概率变大了玻色子在同一空间位置出现的概率变大了！), 0(), 0(),(), 0(),;,(),;,(222212)(232)(32)()(32)(321212121LLLLeeeexxxxxxxxLxxCS+=更一般的更一般的更一般的更一般的，可以得到密度矩阵对角元的严格解可以得到密度矩阵对角元的严格解可以得到密度矩阵对角元的严格解可以得到密度矩
6、阵对角元的严格解：结论结论结论结论：对于对于对于对于2个玻色子来说个玻色子来说个玻色子来说个玻色子来说，它们在空间某点附近彼此靠近它们在空间某点附近彼此靠近它们在空间某点附近彼此靠近它们在空间某点附近彼此靠近的概率的概率的概率的概率大于大于大于大于它们彼此远离的概率它们彼此远离的概率它们彼此远离的概率它们彼此远离的概率。这种由于全同粒子交换对称性全同粒子交换对称性全同粒子交换对称性全同粒子交换对称性引起的关联称为“统计关联统计关联统计关联统计关联”，以区别于相互作用力引起的关联。可以看出，玻色子之间的玻色子之间的玻色子之间的玻色子之间的“统计关联统计关联统计关联统计关联”相当于一个相当于一个相
7、当于一个相当于一个“吸引力吸引力吸引力吸引力”，称为“统计引力”，这是玻色-爱因斯坦凝聚产生的原因。也是自然界里不需要互作用也是自然界里不需要互作用也是自然界里不需要互作用也是自然界里不需要互作用力就实现凝聚力就实现凝聚力就实现凝聚力就实现凝聚的唯一（为数不多？）的一个例子！21xx 为单位以2L-4-20241.21.41.61.8第零节第零节第零节第零节 作业作业作业作业1、研究环中的理想两费米子问题研究环中的理想两费米子问题研究环中的理想两费米子问题研究环中的理想两费米子问题，给出其坐标空间密度矩阵对角元随空间位置的变化给出其坐标空间密度矩阵对角元随空间位置的变化给出其坐标空间密度矩阵对
8、角元随空间位置的变化给出其坐标空间密度矩阵对角元随空间位置的变化。提示提示提示提示：对于费米子波函数应满足对于费米子波函数应满足对于费米子波函数应满足对于费米子波函数应满足交换反对称性交换反对称性交换反对称性交换反对称性21212121,2)()()()(),(:122121kkxxxxxxHkkkkAkk=，的本征态矢交换反对称性的结果交换反对称性的结果交换反对称性的结果交换反对称性的结果：相空间的压缩相空间的压缩相空间的压缩相空间的压缩1k2k1k2k量子经典),;,(),;,(21212121xxxxxxxxCA第一节第一节第一节第一节、 全同粒子交换对称性全同粒子交换对称性全同粒子交换
9、对称性全同粒子交换对称性N粒子波函数粒子波函数粒子波函数粒子波函数)(21=+=lklkNkkrrVmpHrr不变，称为交换对称性，交换任意两个粒子HjiNjiHPij，.21,0,=),.,.,.,(),.,.,.,(11NijNjiijrrrrrrrrPrrrrrrrr=对波函数的作用：ijP),.,(),.,(2121PNPPNrrrrrrPrrrrrr=PNPPNP.21.21置换群的两个一维表示两个一维表示两个一维表示两个一维表示对称表示，反对称表示分别对应玻色和费米子玻色和费米子玻色和费米子玻色和费米子对易，即，则与引入交换算符HPij，元素称为置换，阶为，称为置换群为生成元形成的
10、对称群由所有!NSPNijNSP任一能量本征函数任一能量本征函数任一能量本征函数任一能量本征函数),.,(21Nrrrrrr均可以用来构造对称与反对称波函数均可以用来构造对称与反对称波函数均可以用来构造对称与反对称波函数均可以用来构造对称与反对称波函数：1),.,(),.,(2121,=PNPNASrrrPCrrrrrrrrrBosonSymmetricrrrrrrPNSNS, ),.,(),.,(2121rrrrrr=FermionricAntisymmetrrrrrrPNAPNA, ),.,() 1(),.,(2121rrrrrr=举例举例举例举例：理想全同粒子系理想全同粒子系理想全同粒子
11、系理想全同粒子系=NiiiprhH1),(rr)()(),(ruruprhkkkrrrr=由单粒子薛定谔方程由单粒子薛定谔方程由单粒子薛定谔方程由单粒子薛定谔方程：则可以构造则可以构造则可以构造则可以构造N粒子本征函数粒子本征函数粒子本征函数粒子本征函数)().()(),.,(212121NkkkNrurururrrNrrrrrr=+=NikkkkkkkiNNE1,.,.2121=Niikrui1)(r不是不是不是不是P的的的的本征态本征态本征态本征态！不满足不满足不满足不满足交换对称性交换对称性交换对称性交换对称性！=PNkkkNSrururuPnnNrrrN212121),().()(!.
12、!1),.,(21rrrrrr)()()()()()()()()(!1),().()() 1(!1),.,(212121212122211121NkkkNkkkNkkkPNkkkPNArururururururururuNrururuPNrrrNNNNrKrrMOMMrLrrrLrrrrrrrr=第二节第二节第二节第二节、理想全同粒子系统理想全同粒子系统理想全同粒子系统理想全同粒子系统密度矩阵密度矩阵密度矩阵密度矩阵，配分函数配分函数配分函数配分函数，经典极限经典极限经典极限经典极限宏观约束条件宏观约束条件宏观约束条件宏观约束条件：3D箱箱箱箱V，粒子数粒子数粒子数粒子数N, 温度温度温度温度
13、T单粒子能量本征函数单粒子能量本征函数单粒子能量本征函数单粒子能量本征函数：),(2)(zyxrk iknnnnnLkVeru=rrrrrrr，能量本征值能量本征值能量本征值能量本征值：,2).(222212,.,2,1mkkkENNkkkrrrhrrr+=Nkkkrrr.21=NiimH1222rhN粒子能量本征函数粒子能量本征函数粒子能量本征函数粒子能量本征函数：),.,(21,.,21NASkkkrrrNrrrrrr=PNkkkPrururuPNN21)().()(!121rrrrrr=PNkkkPrururuNPNPP21)().()(!121rrrrrr=PPNkPkPkPrurur
14、uNN21)().()(!121rrrrrr配分函数配分函数配分函数配分函数：=KEKeQrr限制性限制性限制性限制性（条件条件条件条件）求和求和求和求和：,.,.12121Fermion:Boson:KkkkkkkkkNNNrrr简化的描述方法简化的描述方法简化的描述方法简化的描述方法：()()()NNrrrNkkkKrrrrrrr,.,.,2 , 1,.,2121，解决的办法解决的办法解决的办法解决的办法（Fermion）：）：）：）：NkkkNKkkkNrrrrrrrQ.2121.,!1NNkkkKNASkkkASKEErrrNrrrrrrrrrrr,.,21,.,2121),.,(),
15、.,2 , 1 (0、 交换对称性引起的交换对称性引起的交换对称性引起的交换对称性引起的态空间压缩态空间压缩态空间压缩态空间压缩导致导致导致导致求和困难求和困难求和困难求和困难12.kkkNrrr在什么条件下成立？经典近似,.!112 kkkNNrrr放到后面再回答这个问题放到后面再回答这个问题放到后面再回答这个问题放到后面再回答这个问题！ +=12222212).(2.!1kkkkkkmKENNKeNeQrrrhrrNkkmeN=rh222!11、配分函数配分函数配分函数配分函数：2、密度矩阵密度矩阵密度矩阵密度矩阵(未归一化的未归一化的未归一化的未归一化的)：)().1()().1(!1*
16、 ,.,2111NPuPuPNuPueNNNNKkkPPkkPPkkE=rrrrrrr求和化积分求和化积分求和化积分求和化积分L无穷大无穷大无穷大无穷大NVN=3!1m22 h=*),.,2 ,1 (),.,2 , 1 (,.,2 ,1,.,2 , 1KKKEHNNeNeNKrrrr推导过程见后页，=)().11(!111,.,NPNuPueNNNKkkkkEPPrrrrr=NNNmmkNPNk ikkPk ikPPNeeeeNVrrrrhh)()11(222112122.!1)().22()11(!13NPNfPfPfNPPN=23exp)(222reeVrfkrk ikmrrrrrh令高斯
17、积分高斯积分高斯积分高斯积分=PkkPPkkPkkPPkkkkPPPkkPPkkPPkkPPPNuPuNuuPNPuPPuNPuPuPNPuPPuNPuPuNPuPuPNuPuNPPNPPNNNNNN* *)().1()().1 ()().1()().1()().1()().1()().1()().1(11111111rrrrrrrrrrrrrrrr,2).(2).(,.,2,1222212222212,.,2,1PNkPkPkPNPPNNkkkEmkkkmkkkErrrrrrrrrhrrrh=+=+=1)2)综合1)和2)=PkkkkEPPkkPkkkkEPkkPPkkkkEkkPPkkPP
18、kkENPNuPueNPNuPuNuueNPNuPuNuueNPuPuPNuPueNNKNNNKNPPNPPNPPKNNNK,.,*,.,*,.,*,.,)().11(!)().1()().1 (!)().1()().1 ()().1()().1(11111111111rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr=PPPPPPfPgPfPg)()()()(利用公式：=NHrdrdrdNeNQrrr.,.,2 , 1,.,2 , 121621221212122exp=rdrdrrrdrdfrrrrrr3、由密度矩阵由密度矩阵由密度矩阵由密度矩阵重新计算重新计算重新计算重新计算配分函数配分
19、函数配分函数配分函数)().22() 11(!1.12.123NPNfPfPfNNeNPPNH=+=.1!123NjiijNfNNjiijNrdrdrdfNrrr.1!12123+=212123232) 1(!1rdrdfNNNVVNNNNrr+2331!1VNVNN平均粒子间距粒子数密度其中，近似成立的条件：相比较，可以知道经典以上结果与前面的结果ananVN,1)(333=称为经典极限，133=+，其中dDffiidDff+=min)()()(mindDfdDf+=minminmin)()()()(dDff+=min)()()(mindDfff+=2min)()()()(2min1min类
20、似地类似地类似地类似地：第第第第3.5节作业节作业节作业节作业：1）计算一维计算一维计算一维计算一维、二维箱中的单粒子态密度二维箱中的单粒子态密度二维箱中的单粒子态密度二维箱中的单粒子态密度2）计算二维谐振子势中的单粒子态密度计算二维谐振子势中的单粒子态密度计算二维谐振子势中的单粒子态密度计算二维谐振子势中的单粒子态密度第四节第四节第四节第四节、理想玻色气体理想玻色气体理想玻色气体理想玻色气体),(2,222zyxknnnLkmk=rhr条件：三维箱体积V=L3，玻色子N，温度T，热力学极限, )1ln(lnB=kkzeZTkpVr,111=kkezNNr1）状态方程状态方程状态方程状态方程联
21、立方程,消去zez =0NdzeDz)1ln()()1ln(0=dezDz+=01111)(11()232222)(=hmVDeN分析分析分析分析：zzN=10零能级上的占据数：0)min(=kezrQ，10z=zzNz110时，大量大量大量大量玻色子凝聚在最低能级上玻色子凝聚在最低能级上玻色子凝聚在最低能级上玻色子凝聚在最低能级上!热力学极限热力学极限热力学极限热力学极限下的玻色爱因斯坦凝聚的判据下的玻色爱因斯坦凝聚的判据下的玻色爱因斯坦凝聚的判据下的玻色爱因斯坦凝聚的判据：0lim0=NNN0limlim00=nVNNNVNVV或推论：11000+=NNzzzN0ln) 1ln()11ln
22、(1)1ln(100+=+=NNNVNNNVNNVzV状态方程状态方程状态方程状态方程：dzeDVZVTkp)1ln()(1ln10B=dezDVzVVN+=01111)(1111两个积分：dze)1ln(021dez012111()2100212322222)(=hmVDdze)1ln(021230)1ln(32dze=分步积分dzeze=023)(1)(32dez=0123132)(1)(32012323dez=dxezxx=01125231)25(1243)25(2)23()21 () 1() 1()(=)(22523zg=积分将被代回到方程积分将被代回到方程积分将被代回到方程积分将被代
23、回到方程dxezxzgx=0111)(1)(玻色爱因斯坦函数的定义玻色爱因斯坦函数的定义玻色爱因斯坦函数的定义玻色爱因斯坦函数的定义：第第第第1积分积分积分积分：dxezxx=01232313201211dez)(1)(012123dez=dxezxx=01123231)23(12)(22323zg=将积分代回方程将积分代回方程将积分代回方程将积分代回方程方程方程方程方程)(1253BzgTkp=方程方程方程方程)(111233zgzzVVN+=022Lm=h第第第第2积分积分积分积分：2）玻色爱因斯坦函数的性质玻色爱因斯坦函数的性质玻色爱因斯坦函数的性质玻色爱因斯坦函数的性质dxezxzgx
24、=0111)(1)(附近展开：在0=zdxzezexzgxx=011)(1)() ()dxzezexkkxx=001)(1()dxzexkkx=011)(1dxexzkxkk=011)(1dyeykzykk=011)(1=1kkkz)(zg)(Liz多对数函数多对数函数多对数函数多对数函数=011kkaa性质性质性质性质：1)(zzzg，的单调增函数是zzg)(性质性质性质性质：函数，ZetaRiemann)(，612. 2)23() 1 (23=g612. 2z)(23zg性质性质性质性质：递推关系递推关系递推关系递推关系=111)(kkzgkzzzgz)(zzgzzgzzgln)()()(
25、1=性质性质性质性质：=11) 1 (kkg3）玻色爱因斯坦凝聚温度玻色爱因斯坦凝聚温度玻色爱因斯坦凝聚温度玻色爱因斯坦凝聚温度)(111233zgzzVVN+=考察方程考察方程考察方程考察方程2：enn +=0度，高能级上的粒子数密)(1233zgne=3233)23() 1 (1=g不断降低温度时不断降低温度时不断降低温度时不断降低温度时，高能级上的粒子数高能级上的粒子数高能级上的粒子数高能级上的粒子数“容纳度容纳度容纳度容纳度”不断减小不断减小不断减小不断减小！，使得存在临界温度cT)23(2232B=hcTmkVN23B2)23(2=nmkTch)23(2232B=hTmk更一般的形式
26、更一般的形式更一般的形式更一般的形式：() 1 (233gnc=，存在临界粒子数密度cn323) 1 (gnc=n1=考虑到) 1 (233gc=，存在临界体积c1简并气体其他办法其他办法其他办法其他办法：固定温度固定温度固定温度固定温度，改变改变改变改变 n)(2) 1 (225232B25232BzgTmkgTmkc=hhecnVNnTT=ecnVNnTT=0时，?0)(2) 1 (225232B25232B=zgTmkgTmkchh反证：100=zn，则若0) 1 (2) 1 (225232B25232B0=cccTTTTTTnn，,123=ccceTTTTTTnn，凝聚温度的论证凝聚温
27、度的论证凝聚温度的论证凝聚温度的论证判据判据判据判据推论推论推论推论2：由方程由方程由方程由方程2求解求解求解求解 z)(1112330zgzzVnnne+=+=，则时，100=ccTTngTTz),(, 13123的反函数表示23123ggz31n612. 21) 1 (123g推论推论推论推论3： z 的解带入方程的解带入方程的解带入方程的解带入方程1 得到状态方程得到状态方程得到状态方程得到状态方程)(1253BzgTkp=ccTTnggTTgTkp，)(1) 1 (13123253253B=ccgggTkp,)(1) 1 (13123253253B，) 1 (233gc=ccnnngg
28、nngTkp，)(1) 1 (13123253253B323) 1 (gnc=ccBTTngTTzTk，+=ccBTTgggTTgTNkF，)(ln)() 1 (31233123253253,)(23) 1 (233123253253=ccccTTggTTg，熵熵熵熵S S S S： 利用利用利用利用， 的结果的结果的结果的结果,TFUS=,)(ln)(25) 1 (2531233123253253=ccccBTTgggTTgNkS，讨论讨论讨论讨论：0K0=ST，如果将玻色爱因斯坦凝聚如果将玻色爱因斯坦凝聚如果将玻色爱因斯坦凝聚如果将玻色爱因斯坦凝聚与与与与气液相变气液相变气液相变气液相变相
29、类比相类比相类比相类比凝聚部分称为凝聚部分称为凝聚部分称为凝聚部分称为“液相液相液相液相”非凝聚部分称为非凝聚部分称为非凝聚部分称为非凝聚部分称为“气相气相气相气相”零温时零温时零温时零温时，只有只有只有只有“液相液相液相液相”，所以液相的熵为所以液相的熵为所以液相的熵为所以液相的熵为0；有限温度时的熵由有限温度时的熵由有限温度时的熵由有限温度时的熵由“气相气相气相气相”贡献贡献贡献贡献TSUF=凝聚部分代表一种凝聚部分代表一种凝聚部分代表一种凝聚部分代表一种“有序有序有序有序”0sNSe=0s子熵求“气相”部分的单粒) 1 (25253gNkSB=Bkggs) 1 () 1 (2523250
30、=比热比热比热比热C C C Cv v v v：研究相变重要研究相变重要研究相变重要研究相变重要NVVTUC,=NVBBVTUNkNkC,1=0snnc=0snnNe=(T=ccBVTTzgzgzgzgTTzggNkC,)()(49)()(415,)() 1 (415212323252325)(3123= gz其中：925. 1) 1 () 1 (4152325=ggNkCcTBV=ccNVVBTTzgzgzgzgzgzgzgTTzggTCNkT,)()()(827)()(49)()(845,)() 1 (84532121223212323252325,处连续在cVTC)(121zgzTTc，
31、时考察比热的偏导考察比热的偏导考察比热的偏导考察比热的偏导：665. 3)23(1627)()()(8272132121223,=+zTTNVVTTNVVBczgzgzgTCTCNkTcc1.925BVNkCcTT23T按照相变分类，比热连续，比热的偏导数不连续，三级相变！第四节作业：BVBVckCTgzzgzgzgzgNkCTT23)(,)()(49)()(4152312321232325=时，验证：，其中时的比热公式：）、请根据pVU23) 1=内能公式：、请推导理想玻色气体第五节第五节第五节第五节、理想费米气体理想费米气体理想费米气体理想费米气体1）状态方程状态方程状态方程状态方程两个积
32、分两个积分两个积分两个积分：dze)1ln(021+dez+012111=1g自旋简并度：dzeDgzeZTkpVkk)1ln()()1ln(ln0B+=+=rdezDgezNNkk+=+=01111)(11rkmkkrhr,222=单粒子态单粒子态单粒子态单粒子态：zZzNN=ln或者dze)1ln(021+230)1ln(32dze+=分步积分dzeze+=023)(1)(32dez+=0123132)(1)(32012323dez+=dxezxx+=01125231)25(12)(22523zf=将积分代回方程将积分代回方程将积分代回方程将积分代回方程dxezxx+=0123231320
33、1)(1)(011+=，dxezxzfx费米狄拉克函数费米狄拉克函数费米狄拉克函数费米狄拉克函数的定义的定义的定义的定义：+01211dez)(1)(012123dez+=dxezxx+=01123231)23(12)(22323zf=将积分代回方程将积分代回方程将积分代回方程将积分代回方程0L，状态方程)(3123253BgnffgTkp=方程方程方程方程)(253BzfgTkp=方程方程方程方程)(233zfgVN=)(233zfgn=)()()(2325253BzfzfzfngTkp=2）其他热力学量其他热力学量其他热力学量其他热力学量pVU23=)(233123253gnffngTNk
34、B=内能内能内能内能U U U U：比热比热比热比热CvCvCvCv：NVBBVTUNkNkC,1=NVzfzfTT,2325)()(23=)()(232325zfzfTNkB=)()(49)()(41521232325zfzfzfzf=)(3123gnfz=3）费米狄拉克函数的性质费米狄拉克函数的性质费米狄拉克函数的性质费米狄拉克函数的性质dxezxzfx+=0111)(1)(附近展开：在0=zdxzezexzfxx+=011)(1)() ()dxzezexkkxx=001)(1()dxzexkkx=011)(1()dxexzkxkk=011)(1()dyeykzykk=011)(1L+=3
35、2)()(321zzzkzzfkk)(Liz()=+011kkaa性质性质性质性质：1)(z)()(,1)(1)(1011=+=xxGdxezxzfx特例：索末菲展开索末菲展开索末菲展开索末菲展开：1lnz，一般的积分：dxzxFxGI=0)ln()(“类”费米分布函数，11)(+xexF，定义：dxxGyHy0)()(dxxdHxG)()(=则：dxzxFdxxdHI=0)ln()(dxdxzxdFxH=0)ln()(dxdxxdFzxHz+=ln)()ln()()()ln(1+=zOdxdxxdFzxH)(xFdxxdF)(xx在在在在x=0附近泰勒展开附近泰勒展开附近泰勒展开附近泰勒展开
36、！=+=+1)()(ln!)(ln)ln(nnnzHnxzHzxHdxdxxdFxInn)(=+=1)(!)(ln)(lnnnnInzHzHI求求求求IndxdxxdFxInn)()dxeexxxn+=21()21)(+=xxeedxxdF=数为奇数为偶nnnnnInn, 0),()21 ()!1(21322I)(ln2)(ln)2(2zHIzH+举例：）；）；）() 1()()()(2)2(1=xxHxxHxxG()()(ln1(2)(ln)(22+zIzzf()2122323)(ln6ln34)(+zzzf()+=2223)(ln81ln34zz()222121)(ln241ln2)(zz
37、zf()+222525)(ln851ln158)(zzzfzzfzzfzzfln)()()(1=可以利用递推关系：25=23=21=)(zfz=+=1)(!)(ln)(lnnnnInzHzHI4）讨论热力学量讨论热力学量讨论热力学量讨论热力学量利用费米狄拉克函数的性质利用费米狄拉克函数的性质利用费米狄拉克函数的性质利用费米狄拉克函数的性质A) 经典情况经典情况经典情况经典情况高温低密度高温低密度高温低密度高温低密度13gn1)()(2325B=zzzfzfTkp代入方程代入方程代入方程代入方程)(233zfgn=由方程由方程由方程由方程1zzzf)(23gnz3TNkpVUB2323=23)(
38、)(49)()(41521232325=zfzfzfzfNkCBV同理同理同理同理：量子统计修正量子统计修正量子统计修正量子统计修正：作级数展开？问题：如何对=gnfz312313gn237331-3281054. 32gkg101 . 9m105 . 8Tgnmne=，简并，气体，举例：考虑铜中的电子仍然是简并电子气高达因此，即使,35K,100003gnT下面的讨论与经典情况类似下面的讨论与经典情况类似下面的讨论与经典情况类似下面的讨论与经典情况类似，从方程从方程从方程从方程 2 得到得到得到得到 z ，然后代入然后代入然后代入然后代入方程方程方程方程1或其他热力学量或其他热力学量或其他热
39、力学量或其他热力学量！1)(233=zfgn由方程由方程由方程由方程()+2223)(ln81ln34zz()()232323lnlnTkzTkzezBB=，Q2323222=TmkmBhh方程左右方程左右方程左右方程左右可以消去可以消去可以消去可以消去kBT,+222322328162TkgnmBh迭代求解迭代求解迭代求解迭代求解关于化学势关于化学势关于化学势关于化学势的方程的方程的方程的方程零级近似：322262=gnmhF零级近似下化学势零级近似下化学势零级近似下化学势零级近似下化学势与温度无关与温度无关与温度无关与温度无关，对应于费米能对应于费米能对应于费米能对应于费米能FFFTpk，
40、+222323F81TkB从费米能表达n：1级近似：322F2F81+TkB+2F22323F81TkB2F2F121TkB成立的条件：FF11lnTTTkTkzBB=，13gn简并条件简并条件简并条件简并条件！282852334251582325B)(ln1)(ln1)(ln)(ln)()(+=zzzzzfzfTkp将化学势（即z）的结果代入方程22)(ln1ln52+zz+=2F2FB125152TTTTTkp+=2F2F125152TkpBpVU23=内能内能内能内能U U U U：比热比热比热比热C C C Cv v v v：NVVTUNNC,1=+2F2F125153TkNBF22T
41、kkBBF222TTkB=TDkgCV)(3F2B2=TkkmVCVF22B3 h=T0=称为比热系数0比热与态密度的关系：比热与质量的关系：gnk6F=()TDkgTDgkkTkDg)(3)(3232)(F2B2F2BBBF=的电子对比热有贡献物理图像：费米面附近TkBF+TkBFTDkgCV)(3F2B2=热激发的电子数热激发的电子数热激发的电子数热激发的电子数CV第五节作业：节的结果是否相同？、请问这一结果与第二，的函数表示成的结果、给出其在经典极限下熵的公式：、请推导理想费米气体、)(),()(,ln)()(25) 12325cnbzzfzfNkSaB=gnfz3123，其中!lnln
42、23lnln!133NVNNQQSVNQN+=TDkgCbDgNaV)(3)(23)2F2B2FF=极限）下，比热低温高密度情况（简并、，、证明：第六节第六节第六节第六节、理想电子气体的磁性质理想电子气体的磁性质理想电子气体的磁性质理想电子气体的磁性质HAcepmHrrrr+=B2*21玻尔磁子其中cmee2BhBrBSr1) Pauli 顺磁顺磁顺磁顺磁来自电子自旋来自电子自旋来自电子自旋来自电子自旋BmpHrrr=B22单粒子本征态和本征能量：BmkkkkB222,=hrrr+=11, 1，热力学量热力学量热力学量热力学量：+=kBkzeZTkpVr)1ln(ln+=kkkkzezerr)
43、1ln()1ln(+=kkezNr111+=+kkkkezezrr111111()+=+=NNnnkkkrrr磁化强度磁化强度磁化强度磁化强度刻画磁性的物理量刻画磁性的物理量刻画磁性的物理量刻画磁性的物理量广义力广义力广义力广义力BHMrr=rB=BMrrt=：磁化率磁化强度公式磁化强度公式磁化强度公式磁化强度公式：BZTkMBz=ln+=kkezr11B()+=kkknnrrrB()+=NNB+=kkkkeznNrrr111+=kkezr111)(233=zfV与粒子数方程粒子数方程粒子数方程粒子数方程联立：+=NNN+=kBkBeezrm111mkBmkkk2222B22hmhrr=，Be
44、zB=，单位体积磁化强度单位体积磁化强度单位体积磁化强度单位体积磁化强度：)()(23233BB+=zfzfVNNVMzVNNVNn+=粒子数密度粒子数密度粒子数密度粒子数密度n：)()(123233+=zfzf联立求解!A) 经典极限经典极限经典极限经典极限133 TF10000K1eV1Tesla磁场产生的能量5.8*10-5 eVTkBnB2BTkBBB+nn，TkzB=lnQ)(1233=zfVN()+22233)(ln81ln341zz得到关于化学势的方程，所含的与消去233lnTz()+222322328162TknmBh()()2123121212323mFF2B23NBMzBD
45、2BF)(2=BBBBBBF0BBF+BDMBDz2BFBF)(2)(2=，所以数比向下的电子数多物理图像：向上的电子磁矩与态密度的关系：多的电子2*21+=AcepmHrr2) Landau 抗磁性抗磁性抗磁性抗磁性00)0 , 0 ,(Landau=zyxxAAByAyBeByA，规范：rr单粒子本征态和本征能量：+=22221ziyiyceBximhhh+=22221zyxxppAcepmHxyBrAr0,=zxzxppHpHp单粒子问题的解单粒子问题的解单粒子问题的解单粒子问题的解：方向磁场沿zeBBzrr=具有共同本征函数Hppzx,)(1),(yeeLzyxzikxikzx=)(2
46、)()(212222022ymkEyyymmpzy=+hmceB=BB2=heBckyxh=0yy0hh+=212),(22jmkjkEzz)(1),(0,yyeeLzyxjzikxikjkkzxzx=jkkzx,如果如果如果如果x, z 方向满足周期边条件方向满足周期边条件方向满足周期边条件方向满足周期边条件如果如果如果如果y方向方向方向方向(),为解决这个问题为解决这个问题为解决这个问题为解决这个问题，须在须在须在须在y方向也加上方向也加上方向也加上方向也加上“准准准准”周期边条件周期边条件周期边条件周期边条件！但，周期边条件的谐振子问题又如何解呢？无穷多！的态对应能级jkkkjEzxz,
47、),(=,.1, 02xxxnnLk，代入薛定谔方程代入薛定谔方程代入薛定谔方程代入薛定谔方程),(),(zyxEzyxH=利用谐振子本征函数，构造具有“准”周期边条件的解！=mjimKxzikxikmLyyeeeLzx)(10=),(,zyxjkkzx=ehcBLLK22,其中eBckyxh=0gL2ehcBLg2=ehc0Wb15101 . 2令g为整数！验证验证验证验证：),(),(zyxzyLx=+),(),(zyxezLyxiKx=+“准”周期性！推论推论推论推论：),(),(,zyxzyxjkkjkKkzxzx=+将kx限制在0,K)之间1,.1 , 02=gnnLkxxx，xkg
48、个共有容易验证以上波函数的本征值为：hh+=212),(22jmkjkEzz()BjmkBz12222+=h每个能级的简并度为g，目的达到目的达到目的达到目的达到！=mjimKxzikxikmLyyeeeLzx)(10=),(,zyxjkkzxmceB=BB2=hLgneBckyxx=h01,.1 , 02=gnnLkxxx，Ly波峰之间的距离：gL固定 pz ,j每一条曲线代表一个kx，共有g条曲线0B0=Bh0=j1=j2=jE态密度二维L2单粒子态密度：222hmLhceBLmL2222=hh能量区间内的状态数：在h：谐振子能级的简并度g=zp固定0=002BgB=h磁化强度磁化强度磁化
49、强度磁化强度BHMrr=+=jkkEzxjzkzeZ,)1ln(ln,+=xzjzkkjkEze,)1ln(,+=jkEzjzkzeg,)1ln(,Landau能级与能级与能级与能级与Pauli能级的比较能级的比较能级的比较能级的比较：()BjmkjkEBzz122),(22+=hBmkkB222=hrPauli：Landau：3维空间中的2分量自旋cmecmee22B*Bhh1维空间中的无穷分量自旋引入态密度引入态密度引入态密度引入态密度！分步积分分步积分分步积分分步积分zVzBZM,1ln=xdezxmLgZjxj=+=001212121222lnhxdezxgLjxj=+=0012112
50、=023)(jjzfgL+=+=jkEjkkEzjzkzxjzkezgezN,1,11111,212222)(=hmLD()BjjBez12,+=其中m22 h=+=00121212122jxjdxezxmgLh=0212021)()(jjjjzfaVzfgLVBLBL002=2aV=Ba0=代表回旋半径！同时也是谐振子本征态的特征长度！A) 经典极限高温低密度强磁场强磁场强磁场强磁场12an1jzjjzzf)(21=002)(jjjjzzfan()=+=012jBjBe)(sinh2BzB=)sinh(22BanzB=0212)(jjzfan1TkBBB3nz )()(Pauli23233+
51、=zfzfn顺磁比较=0jjzgL=023)(lnjjzfgLZzTVzBZM,1ln=)(sinh21BzgLB=)(sinh3BBzVBB=xxxxzVB23sinhcoshsinh1xxzVNsinh3=消去消去消去消去z)(xLNMBz=1=TkBxBBTkBNMBBBz3=032=TkNBB002)2) 1BgLB=、两个有用的关系式：xxxL1coth)(BxB令经典极限下，Pauli顺磁与Landau抗磁的总效果：=322BBBzTkNBMcmecmee*BB22hhB) 简并极限+=jkEzjzkzegZ,)1ln(ln,目标：把两个求和都化成积分！对 j 的求和需要用到Eul
52、er公式：欧拉求和化积分公式欧拉求和化积分公式欧拉求和化积分公式欧拉求和化积分公式Euler summation formula()+=+=+1010241021.)()(NNNnxfdxxfnf()=+=+0241021.)0()(fdxxfnfn前一项是态密度公式（步长无穷小）后一项对态密度公式的修正！欧拉求和化积分公式欧拉求和化积分公式欧拉求和化积分公式欧拉求和化积分公式Euler summation formula()+=+=+1010241021.)()(NNNnxfdxxfnf证明：()()()()()()()()()()()()( )()( )102410211024102102
53、124102102/1212212102102/12122121212102/1212212121211002/12121)(+=+=+=+= + +=+ +=+ +=+ +=+=NNnNNnNnNnNnNnNnNnNNnxfnfdxxfnfnfnfdxxnfnfdxxnfxnfnfdxxnfxnfnfdxxnfdxxfI得证得证得证得证！推论：()=+=+0241021.)0()(fdxxfnfn()()()() +=+=+=+=+=+0121240010124100101011,2,11ln11ln1ln1ln1ln)1ln(00002102102122,dxezxxdxdyezexdxezxdxdyezexdxezedezezezexxyxxyjxjjjjkjmkjkEzzzjzkhhhhhhhhEuler公式乘乘乘乘g后与磁场无关后与磁场无关后与磁场无关后与磁场无关！乘乘乘乘g后与磁场有关后与磁场有关后与磁场有关后与磁场有关！= gZln()+=01211221ln0dxezxgZxBB002)2) 1BgLB=、两个有用的关系式：()(21632zfVBB=()(3ln2132,zfBVBZMBzVz=()(32132,zfVBMBVz=()2121ln2)(zzf()212F=322BBFzNBM简并极限下，Pauli顺磁与Landau抗磁的总效果：FBN22
