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1、线性代数模拟题线性代数模拟题 一、一、 填空(填空(35) 。) 。 1、设() = | | x211 2x32 32x1 01xx | |,则()中常数项为(),项的系数为() 。 2、若 A 为五阶方阵,且 A=3,则 AA T=() , (A*)*=() ,2A-1-A*=() 3、设 A= ,r(A *)=1,则 a,b 关系为() 。 4、设 A 是 n 阶矩阵,对于其次线性方程组 AX=0,如 A 中每行元素之 和全部为零,且 r(A)=n-1,则方程组的通解是() 。 5、A 与 B 有相同的特征值是 AB 的()条件。 二、选择二、选择(35) 。 6、已知 2n 阶行列式 D
2、 的某一列元素及其余子式都等于 a,则 D=() (A)0 (B)a 2 (C)-a2 (D)na2 7、已知 A,B 均为 n 阶矩阵,满足 AB=0,若 r(A)=n-2,则() (A)r(B)=2 (B)r(B)2 (C)r(B)=1 8、 要使1= 1 0 2 2= 0 1 1 都是线性方程组的解, 只要系数矩阵 A 为 () (A)2 11 422(B) 201 011 (C)1 02 102(D) 011 422 011 9、设 A 为 m*n 矩阵,线性方程组 AX=B 对应的导出组为 AX=0,则下 列结论中正确的是() (A)若 AX=0 仅有零解,则 AX=B 有唯一解 (
3、B)若 AX=0 有非零解,则 AX=B 有无穷多解 (C)若 AX=B 有无穷多解,则 AX=0 有非零解 (D)若 AX=B 有无穷多解,则 AX=0 仅有零解 10、设 A 是三阶矩阵,A,A+I,I-2A 均不可逆,则 A 的三个特征值 是() (A) 0, 1, 2 (B) 0, -1, 2 (C) 0, -1, 1/2 (D) 0,1,-1/2 二、二、 判断(判断(25) 。) 。 11、每行元素之和为零的行列式值为零。 ( ) 12 、 若A , B , C都 是n阶 方 阵 , 则 ( ABC ) k=AkBkCk. ( ) 13、设 n 阶方阵 A 经过若干次初等变换后变成
4、 B,则|A|=|B|. ( ) 14、向量组12s 的秩不为零的充分必要条件是 12s 中 至少有一个非零向量。 ( ) 15、设 A 为 n 阶可逆方阵,则 A 的对应于的特征向量也是 A -1对应 于 1 的特征向量。 ( ) 三、三、 计算(计算(105) 。) 。 16、解矩阵方程 X 111 022 110 = 111 110 211 17、已知三阶矩阵 A= 101 21 121 ,B 是秩为 2 的三阶方阵,且 r (AB)=1,求 t. 18、判断能否由向量组1,2,3线性标出,若能,写出它的一 种表示方式。 =(2,-30,13,-26) 1=(3,-5,2,-4) 2=(
5、-1,7,-3,6) 3=(3,11,-5,10) 19、 求其次线性方程组 21 52+ 3 34= 0 31+ 42 23+ 4= 0 1+ 22 3+ 34= 0 21+ 152 63+ 134= 0 的一个基础解 系。 20、求 100 010 001 的特征值和特征向量。 五、证明(五、证明(101) 。) 。 21、证明线性方程组 x1-x2=a1 x2-x3=a2 x3-x4=a3 x4- x5=a4 x5 -x1=a5 有解的充分必要条件是 a1+a2+a3+a4+a5=0,并在有解的情况下,求出它 的一般解。 线性代数模拟题答案线性代数模拟题答案 一、一、 填空填空 1、5;
6、1 2、9;316;1 3 3、a+2b=0 且 ab 4、k(1,1,1)T 5、必要 二、二、 选择选择 ACACC 三、三、 判断判断 四、四、 计算计算 16 、 由 于 | 111 022 110 | =6 0 , 故 111 022 110 可 逆 , 故 X= 111 110 211 111 022 110 1 111 022 110 | 100 010 001 111 022 021 | 100 010 101 111 022 003 | 100 010 111 111 022 001 | 100 010 1 3 1 3 1 3 1 10 020 001 | | 2 3 1 3
7、 1 3 2 3 1 3 2 3 1 3 1 3 1 3 1 10 010 001 | | 2 3 1 3 1 3 1 3 1 6 1 3 1 3 1 3 1 3 1 00 010 001 | | 1 3 1 6 2 3 1 3 1 6 1 3 1 3 1 3 1 3 因此, 111 022 110 1 = 1 3 1 6 2 3 1 3 1 6 1 3 1 3 1 3 1 3 , 所以 X= 111 110 211 1 3 1 6 2 3 1 3 1 6 1 3 1 3 1 3 1 3 = 1 3 1 3 4 3 2 3 1 3 1 3 2 3 5 6 4 3 17、 解: 若r(A)=3,
8、则A可逆, 于是A=P1PS, Pi为初等矩阵,(i=1,s) AB= P1PSB,由于初等变换不改变秩,故 r(B)= r(P1PSB)= r(AB),而 r(B)=2 与已知 r(AB)=1 矛盾,因此 r(A) 3,所以所以|=0,| 101 21 121 |=0, 2t-6=0,t=3. 18、 (1 T 2 T 3 TT)= 313 5711 235 4610 | 2 30 13 26 313 5711 235 111 | 2 30 13 4 111 5711 235 313 | 4 30 13 2 111 026 013 026 | 4 10 5 10 111 013 000 00
9、0 | 4 5 0 0 102 013 000 000 | 1 5 0 0 因为 r(1 T 2 T 3 TT)= r( 1 T 2 T 3 T),所以可由 1, 2, 3线性表出, 并且由以上初等变换知: k1=-1-2k 3,k 2=-5-3k3, 因此表示方式不唯一 若令 k3=1,得 k1=-3,k2=-8,则=-31-82+3 若令 k3=0,得 k1=-1,k2=-5,则=-1-52 19 、 ( AO) = 2513 3421 1213 215613 | 0 0 0 0 1213 3421 2513 215613 | 0 0 0 0 12 1 3 0105 10 0939 019
10、819 | 0 0 0 0 1 2 1 3 0212 00 3 2 3 2 00 3 2 0 | | 0 0 0 0 1 2 1 3 0212 001 3 2 00 0 0 | 0 0 0 0 1203 0202 0010 00 0 0 | 0 0 0 0 1001 0101 0010 00 0 0 | 0 0 0 0 所以 1= 4 2= 4 3= 0 ,令4=1,得基础解系=( 1 1 0 1 ) 20、| |=| 00 00 00 |= n=0 特征值为1= 2= = = 0 =0,所有非零的 n 维向量都是 A 的向量。 五、证明。 21、证明: (AB)= 1 1000 01100
11、00110 00011 10001 | | 1 2 3 4 5 1 1000 01100 00110 00011 01001 | | 1 2 3 4 1+ 5 1 1000 01100 00110 00011 00101 | | 1 2 3 4 1+2+ 5 1 1000 01100 00110 00011 00011 | | 1 2 3 4 1+2+3+ 5 1 1000 01100 00110 00011 00000 | | 1 2 3 4 1+2+3+4+ 5 10000 01000 00100 00011 00000 | | 1+2+3+4 2+3+4 3+4 4 1+2+3+4+ 5 所以该线性方程组有解的充要条件为 1+2+3+4+ 5=0 一般解为 1 = 1+2+3+4+ 2= 2+3+4+ 3= 3+4+ 4= 4+ 5=