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1、线性代数模拟题线性代数模拟题 一、一、 填空（填空（35） 。） 。 1、设() = | | x211 2x32 32x1 01xx | |,则()中常数项为（）,项的系数为（） 。 2、若 A 为五阶方阵，且 A=3，则 AA T=（） ， （A*）*=（） ，2A-1-A*=（） 3、设 A= ，r（A *）=1，则 a,b 关系为（） 。 4、设 A 是 n 阶矩阵，对于其次线性方程组 AX=0，如 A 中每行元素之 和全部为零，且 r(A)=n-1,则方程组的通解是（） 。 5、A 与 B 有相同的特征值是 AB 的（）条件。 二、选择二、选择（35） 。 6、已知 2n 阶行列式 D
2、 的某一列元素及其余子式都等于 a，则 D=（） （A）0 （B）a 2 （C）-a2 （D）na2 7、已知 A，B 均为 n 阶矩阵，满足 AB=0，若 r（A）=n-2，则（） （A）r（B）=2 （B）r（B）2 （C）r（B）=1 8、 要使1= 1 0 2 2= 0 1 1 都是线性方程组的解， 只要系数矩阵 A 为 （） （A）2 11 422（B） 201 011 （C）1 02 102（D） 011 422 011 9、设 A 为 m*n 矩阵，线性方程组 AX=B 对应的导出组为 AX=0，则下 列结论中正确的是（） （A）若 AX=0 仅有零解，则 AX=B 有唯一解 （
3、B）若 AX=0 有非零解，则 AX=B 有无穷多解 （C）若 AX=B 有无穷多解，则 AX=0 有非零解 （D）若 AX=B 有无穷多解，则 AX=0 仅有零解 10、设 A 是三阶矩阵，A，A+I，I-2A 均不可逆，则 A 的三个特征值 是（） （A） 0， 1， 2 （B） 0， -1， 2 （C） 0， -1， 1/2 （D） 0，1，-1/2 二、二、 判断（判断（25） 。） 。 11、每行元素之和为零的行列式值为零。 （ ） 12 、 若A ， B ， C都 是n阶 方 阵 ， 则 （ ABC ） k=AkBkCk. （ ） 13、设 n 阶方阵 A 经过若干次初等变换后变成
4、 B，则|A|=|B|. （ ） 14、向量组12s 的秩不为零的充分必要条件是 12s 中 至少有一个非零向量。 （ ） 15、设 A 为 n 阶可逆方阵，则 A 的对应于的特征向量也是 A -1对应 于 1 的特征向量。 （ ） 三、三、 计算（计算（105） 。） 。 16、解矩阵方程 X 111 022 110 = 111 110 211 17、已知三阶矩阵 A= 101 21 121 ，B 是秩为 2 的三阶方阵，且 r （AB）=1,求 t. 18、判断能否由向量组1，2，3线性标出，若能，写出它的一 种表示方式。 =（2，-30,13，-26） 1=（3，-5，2，-4） 2=（
5、-1，7，-3，6） 3=（3，11，-5，10） 19、 求其次线性方程组 21 52+ 3 34= 0 31+ 42 23+ 4= 0 1+ 22 3+ 34= 0 21+ 152 63+ 134= 0 的一个基础解 系。 20、求 100 010 001 的特征值和特征向量。 五、证明（五、证明（101） 。） 。 21、证明线性方程组 x1-x2=a1 x2-x3=a2 x3-x4=a3 x4- x5=a4 x5 -x1=a5 有解的充分必要条件是 a1+a2+a3+a4+a5=0，并在有解的情况下，求出它 的一般解。 线性代数模拟题答案线性代数模拟题答案 一、一、 填空填空 1、5；
6、1 2、9；316；1 3 3、a+2b=0 且 ab 4、k（1,1，1）T 5、必要 二、二、 选择选择 ACACC 三、三、 判断判断 四、四、 计算计算 16 、 由 于 | 111 022 110 | =6 0 ， 故 111 022 110 可 逆 ， 故 X= 111 110 211 111 022 110 1 111 022 110 | 100 010 001 111 022 021 | 100 010 101 111 022 003 | 100 010 111 111 022 001 | 100 010 1 3 1 3 1 3 1 10 020 001 | | 2 3 1 3
7、 1 3 2 3 1 3 2 3 1 3 1 3 1 3 1 10 010 001 | | 2 3 1 3 1 3 1 3 1 6 1 3 1 3 1 3 1 3 1 00 010 001 | | 1 3 1 6 2 3 1 3 1 6 1 3 1 3 1 3 1 3 因此， 111 022 110 1 = 1 3 1 6 2 3 1 3 1 6 1 3 1 3 1 3 1 3 ， 所以 X= 111 110 211 1 3 1 6 2 3 1 3 1 6 1 3 1 3 1 3 1 3 = 1 3 1 3 4 3 2 3 1 3 1 3 2 3 5 6 4 3 17、 解： 若r(A)=3,
8、则A可逆， 于是A=P1PS， Pi为初等矩阵，（i=1,s） AB= P1PSB,由于初等变换不改变秩，故 r(B)= r(P1PSB)= r(AB)，而 r(B)=2 与已知 r(AB)=1 矛盾，因此 r(A) 3,所以所以|=0，| 101 21 121 |=0， 2t-6=0，t=3. 18、 (1 T 2 T 3 TT)= 313 5711 235 4610 | 2 30 13 26 313 5711 235 111 | 2 30 13 4 111 5711 235 313 | 4 30 13 2 111 026 013 026 | 4 10 5 10 111 013 000 00
9、0 | 4 5 0 0 102 013 000 000 | 1 5 0 0 因为 r(1 T 2 T 3 TT)= r( 1 T 2 T 3 T),所以可由 1， 2， 3线性表出， 并且由以上初等变换知： k1=-1-2k 3,k 2=-5-3k3, 因此表示方式不唯一 若令 k3=1,得 k1=-3,k2=-8,则=-31-82+3 若令 k3=0,得 k1=-1,k2=-5,则=-1-52 19 、 （ AO） = 2513 3421 1213 215613 | 0 0 0 0 1213 3421 2513 215613 | 0 0 0 0 12 1 3 0105 10 0939 019
10、819 | 0 0 0 0 1 2 1 3 0212 00 3 2 3 2 00 3 2 0 | | 0 0 0 0 1 2 1 3 0212 001 3 2 00 0 0 | 0 0 0 0 1203 0202 0010 00 0 0 | 0 0 0 0 1001 0101 0010 00 0 0 | 0 0 0 0 所以 1= 4 2= 4 3= 0 ，令4=1，得基础解系=( 1 1 0 1 ) 20、| |=| 00 00 00 |= n=0 特征值为1= 2= = = 0 =0,所有非零的 n 维向量都是 A 的向量。 五、证明。 21、证明： （AB）= 1 1000 01100
11、00110 00011 10001 | | 1 2 3 4 5 1 1000 01100 00110 00011 01001 | | 1 2 3 4 1+ 5 1 1000 01100 00110 00011 00101 | | 1 2 3 4 1+2+ 5 1 1000 01100 00110 00011 00011 | | 1 2 3 4 1+2+3+ 5 1 1000 01100 00110 00011 00000 | | 1 2 3 4 1+2+3+4+ 5 10000 01000 00100 00011 00000 | | 1+2+3+4 2+3+4 3+4 4 1+2+3+4+ 5 所以该线性方程组有解的充要条件为 1+2+3+4+ 5=0 一般解为 1 = 1+2+3+4+ 2= 2+3+4+ 3= 3+4+ 4= 4+ 5=
