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1、 第第 7 章章 1. 设总体的概率密度为 0 , 0 0, )( )2/( 2 22 x xe x xf x ， 求参数的矩估计量和极大似然估计量。 解：矩估计 2 2 )()( 0 2 1 0 )2/( 0 )2/( 0 )2/( 2 2 22 2222 x dexde xdedxe x xdxxxfE x x xx 令 2 2 )(E，得的矩估计量 2 极大似然估计：设样本观测值为 n xxx, 21 似然函数 其它 , 0 ),.,1(0, )( 1 2 1 2 1 )2/( 2 1 2 222 nixxee x L i n i i x n n i x i n i i i 当),.,1
2、(0nixi时， n i i n i i xxnL 11 2 2 ln 2 1 ln2ln 令0 12ln 1 2 3 n i i x n d Ld 得的极大似然估计值 n i i x n1 2 2 1 ，极大似然估计量 n i i n1 2 2 1 2. 设总体服从几何分布：, 3 , 2 , 1),10()1 ( 1 kpppkXP k 。求p的极 大似然估计量。 解：总体分布律写成, 3 , 2 , 1),10()1 ( 1 xpppxXP x 似然函数 ),.,1,.(3 , 2 , 1,)1 ()1 ()( 1 1 1 nixpppppL i nx n n i x n i i i )
3、1ln(lnln 1 pnxpnL n i i 令0 1 ln 1 p nx p n dp Ld n i i ，得p的极大似然估计值xx n p n i i 1 1 3. 设总体的分布律为： X 0 1 2 3 p 2 2(1-) 2 1-2 其中2/10为未知参数，利用如下样本值：3, 1, 3, 0, 3, 1, 2, 3 求的矩 估计值和最大似然估计值。 解：矩估计：43)21 ( 32)1 (2)( 2 XE 令XXE43)(得的矩估计量 4 3 X ，代入样本观测值得矩估计值 4 1 极大似然估计：似然函数为 426 4222 821 87654321 )21 ()1 (4 )21
4、()1 (2 313 3, 2, 1, 3, 0, 3, 1, 3)( XPXPXP XXXXXXXXPL )21ln(4)1ln(2ln64lnlnL 令0314120 21 8 1 26ln 2 d Ld ， 注意2/10，得的极大似然估计值2829. 0 12 137 4. 设总体),( 2 NX， n XXX, 21 为其样本， 试求常数使 1 1 2 1 )( n i ii XXC为 2 的 无偏估计量。 解： 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 )()(2)()( n i iiii n i ii XEXXEXECXXCE 1 1 2 11 2 1 )()()()(2)()( n
5、 i iiiiii XEXDXEXEXEXDC ) 1() 1() 1(2) 1() 1( 22222 nnnnnC 22 ) 1(2nC ) 1(2 1 n C 5. 设总体) 1 ,(NX， 21,X X为其样本， 问： 估计量 , 3 1 3 2 211 XX , 2 1 2 1 212 XX 213 2 1 3 1 XX 中，哪一个是的较有效的估计量？ 解：)( 3 1 )( 3 2 )( 3 1 )( 3 2 ) 3 1 3 2 ()( 21211 XEXEXEXEXXEE )( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 ) 2 1 2 1 ()( 21212 XEXEXEX
6、EXXEE 6 5 )( 2 1 )( 3 1 )( 2 1 )( 3 1 ) 2 1 3 1 ()( 21213 XEXEXEXEXXEE 故只有 21 ,是的无偏估计量，下面对它们考察有效性 9 5 )( 9 1 )( 9 4 ) 3 1 3 2 ()( 21211 XDXDXXDD 2 1 )( 4 1 )( 4 1 ) 2 1 2 1 ()( 21212 XDXDXXDD 2 比较有效。 6. 设总体), 1 (pBX， n XXX, 21 为其样本，验证统计量)( 1 22 2 2 1n XXX n T是 参数p的相合估计量。 证明：pXEpBX)(), 1 ( 2 由 n XXX,
7、 21 的独立同分布性可知 22 2 2 1 , n XXX仍然独立同分布，满足独立同分布大数 定律的条件，而pXE n XE n TE n i n i i 1 2 1 2 )( 1 )( 1 )(故 )()( 1 22 2 2 1 npXXX n T p n 即统计量)( 1 22 2 2 1n XXX n T是参数p的相合估计量 注：也可用切比雪夫不等式直接证明 pXE n XE n TE n i n i i 1 2 1 2 )( 1 )( 1 )(， n pp pp n XD n XD n TD n i n i n i i 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 )( 1 )( 1 )(
8、 1 )( 0 )( | 2 2 2 n ppTD pTP 7. 设某种清漆的干燥时间（小时）服从正态分布),( 2 N，现有一组样本观测值： 6.0, 5.7, 5.8, 6.5, 7.0, 6.3, 5.6, 6.1, 5.0 求的置信度为 0.95 的置信区间。 （）已知6 . 0； （）未知。 解： 已知，故选枢轴变量：，需估计 ) 1 2 ) 1 , 0( N n X U 1| 2/ uUP令 解得的置信区间 22,uu n X n X ,574. 0)( 19 1 , 6 9 1 , 9,05. 0 9 1 2 9 1 i i i i xxsxxn 的置信区间为：的置信度为得95.
9、 0,96. 1 025. 0 u 392. 6,608. 596. 1 3 6 . 0 6,96. 1 3 6 . 0 6 未知，故选枢轴变量：，需估计 )2 2 ) 1( nt nS X T 1)1(| 2/ ntTP令 解得的置信区间 ) 1(),1( 22 n n S Xn n S X tt ,574. 0)( 19 1 , 6 9 1 , 9,05. 0 9 1 2 9 1 i i i i xxsxxn 的置信区间为：的置信度为得95. 0,306. 2) 8( 025. 0 t 442. 6,558. 5306. 2 3 574. 0 6,306. 2 3 574. 0 6 8.
10、某商店一种产品的月销售量服从正态分布),( 2 N，随机抽取 7 个月的销售量观察： 64, 57, 49, 81, 76, 70, 59, 求 2 的置信度为 0.9 的置信区间。 解：设 X 为产品的月销售量，服从正态分布),( 2 N，其样本为 71 ,XX ， 要估计总体方差，均值未知，选取枢轴变量) 1 ( ) 1( 2 2 2 2 n Sn 1)1() 1( 2/ 22 2/1 2 nnP令 解得 2 的置信区间 ) 1( ) 1( , ) 1( ) 1( 2/1 2 2 2/ 2 2 n Sn n Sn 由样本观测值算得 2 s 126.4762， 1 . 0，635. 1)6(
11、,592.12)6( 95. 0 2 05. 0 2 ， 故置信区间为 ) 1( ) 1( , ) 1( ) 1( 2/1 2 2 2/ 2 2 n Sn n Sn 60.27, 464.13 9. 对方差 2 为已知的正态总体，问：需取容量为多大的样本才能使总体均值的置信度 1的置信区间长度不大于？ 解：由于方差已知，选取枢轴变量) 1 , 0( / N n X U 1| 2/ uUP令 则总体均值的置信度为则总体均值的置信度为 1- 的置信区间为：的置信区间为： , 22 u n Xu n X 区间长度为：区间长度为：Lu n 2 2 2 2 2 2 2 2 )( 4 )2( u LL u
12、n 10. 设某地区男、女身高、相互独立，均服从正态分布且方差相等，随机抽取成人男、 女 各 100 名 ， 测 量 并 计 算 得 男 子 身 高msmx035. 0,71. 1 1 ， 女 子 身 高 msmy038. 0,67. 1 2 。求男、女平均身高之差的置信度 0.95 的置信区间。 解：设),( 2 1 NX，),( 2 2 NY，、相互独立 要估计 21 ，两总体方差未知但相等，选取枢轴变量 令 得 21 的置信区间 代入1009. 2)18(,05. 0,100 025. 021 tnn，msmx035. 0,71. 1 1 ，msmy038. 0,67. 1 2 0365
13、. 0 w s，得具体置信区间0.0346,0.0454 12 12 11 + w nn 12 ( X -Y)-( - ) T = t(n +n -2) S 其中， 12 nn 22 ij 22 i=1j=1 1122 w 1212 (X - X ) +(Y -Y ) (n -1)S +(n -1)S S = n +n -2n +n -2 12 1212 11 +22 w nn 12 ( X -Y)-( - ) P-(n +n -2)(n +n -2) = 1- S tt 1111 + 12w12w nnnn 1212 22 X -Y -(n +n -2)S, X -Y +(n +n -2)S
14、 tt 11. 设有 A, B 两位化验员对某种聚合物的含氯量用同样的方法各做 10 次测定，由测量值分 别算得6065. 0,5419. 0 2 2 2 1 ss， 设总体均为正态分布， 求方差比 2 2 2 1 /的置信度 95% 的置信区间。 解：设 A 化验员所检验聚合物的含氯量),( 2 11 NX，B 化验员所检验聚合物的含氯量 ),( 2 22 NY，、相互独立 要估计 2 2 2 1 /，两总体均值未知，选取枢轴变量 令 得 2 2 2 1 的置信区间 代入 248. 0 )9 , 9( 1 )9 , 9(,03. 4)9 , 9(,05. 06065. 0,5419. 0,10 025. 0 975. 0025. 0 2 2 2 121 F FFssnn ， 得具体置信区间 0.2216, 3.6008 12. 从某型号的一批电子管中抽出容量为 10 的样本做寿命试验，算得45s（小时） ，设整 批电子管的寿命服从正态分布，试求这批电子管寿命标准差的单侧置信上限（置信度为 0.95） 。 解：设电子管寿命),( 2 NX，要估计 2 ，未知， 选取枢轴变量) 1 ( ) 1( 2 2 2 2 n Sn 1)1( 1 22 nP令 解得 2 的单侧置信上限 ) 1( ) 1( 1 2 2 n Sn 由05. 0
