概率与数理统计 习题五答案

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1、习题五 第五章第五章 中心极限定理：中心极限定理： 1. 在人寿保险公司里有3000个同龄的人参加人寿保险。 在1年内每人的死亡率为0.1%， 参加保险的人在 1 年的第一天交付保险费 10 元，死亡时家属可以从保险公司领取 2000 元。 试用中心极限定理求保险公司亏本的概率。 解： 设死亡人数为001. 0 ,3000,BXX， 保险公司亏本当且仅当3000102000X， 即15X。于是，由棣莫弗拉普拉斯定理，公司亏本的概率为 093. 61 73. 1 315 999. 03 3 1 15 1 15 x p pnp np pnp npX PXP 2. 一保险公司有 1 万个投保人，每个

2、投保人的索赔金额的数学期望为 250 元，标准差 为 500，求索赔金额不超过 260 万元的概率。 解： 设第i个投保人的索赔金额为随机变量 i X(1,2,10000)i ，则 1210000 ,X XX 独立同分布，且()250 i E X， 2 ()500 i D X (1,2,10000)i ， 索赔总金额不超过 2600000 元可表示为事件 10000 1 2600000 i i X ，由中心极限定理有 10000 1 2600000 10000 250 2600000()(2)0.9772 10000500 i i PX 。 3. 某单位设置一电话总机，共有 200 个电话分机

3、，若每个分机有 5%的时间要使用外线 通话， 假设每个分机是否使用外线通话是相互独立的， 问总机要有多少条外线才能保证每个 分机正常使用外线的概率不小于 90%？ 解：设X为 200 个电话分机中要使用外线通话的分机数，则(200,0.05)XB，如果 有外线n条，则0.9P Xn，由中心极限定理得： 2 0 00 . 0 51 0 ()()0 . 9 0 2 0 00 . 0 50 . 9 59 . 5 nn P Xn ， 得(1.28)0.90，所以 10 1.28 9.5 n ，解得13.945n，从而得14n 。 4. 设某电话总机要为 2000 个用户服务，在最忙时，平均每户有 3%

4、 的时间占线，假设 各户是否打电话是相互独立的，试求若想以 99% 的可能性满足用户的要求，最少需要设多 少条线路？ 解：设电话交换台每小时呼叫次数为X，在每小时每户用线的概率0.03P ，由泊松 分布近似可取2000 0.0360np，因此，X服从参数60的泊松分布。 设要求的最小线路数为m：00.99PXm ()60E X，()60D X 由泊松分布的正态逼近可得： 2 60 602 0 60 60 1606060 0()()() 2606060 m t mm PXmedt 根据题意 60 ()0.99 60 m ，可得： 60 2.327 60 m ，从而602.237 7.74678.

5、023m 所以最少需要 79 条线路。 5. 某供电站供应某地区 1000 户居民用电，各户用电情况相互独立。已知每户每日用电 量（单位：度）在0，20上均匀分布。问：供电站每天至少向该地区供应多少度电才能以 0.99 的概率保证该地区居民供应电量的需求？ 解：用 Xi表示居民每户每日的用电量，则 Xi的密度函数为： 从而： 令 X 表示该地区居民的用电量，则 所以： 于是若设供电站每天至少应供应 n 度电，则 6. 机器包装某种面包时，每袋面包的净重为随机变量，平均重量为 100 克，标准差为 10 克。一箱内装 200 袋面包，求一箱面包的净重大于 20500 克的概率。 解：设箱中第 i

6、 袋面包的净重为 Xi，则 Xi独立同分布， 第六第六章章 样本及抽样分布样本及抽样分布： 7. 某市有 100000 个年满 18 岁的居民，他们中 10%年收入超过 1 万，20%受过高等教 育。今从中抽取 1600 人的随机样本，求： （1）样本中不少于 11%的人年收入超过 1 万的概 率； （2）样本中 19%和 21%之间的人受过高等教育的概率。 解： （1）引入新变量： i X 1，第i个样本居民年收入超过 1 万 0，第i个样本居民年收入没超过 1 万 其中1600, 2 , 1nni，易见：1 . 01 i XPp。 又因1000001600Nn，故可以近似看成有放回抽样，

7、n XXX, 21 相互独立。 3 . 09 . 01 . 0, 1 . 0 ii XDXE 样本中年收入超过 1 万的比例即为X，由于1600n较大，可以使用渐近分布求解，即 n X 2 , ，所求概率即为 0918. 09082. 01 3 4 1 3 . 0 1 . 011. 040 111. 01%11 Xn PXPXP （2）同（1）解法，引入新变量： i X 1，第i个样本居民受过高等教育 0，第i个样本居民未受过高等教育 其中1600, 2 , 1nni 4 . 08 . 02 . 0, 2 . 0 2 . 01 i XPp 6826. 018413. 0211211 4 . 0

8、 2 . 021. 040 4 . 0 2 . 019. 040 %21%19 Xn PXP 因此： （1）样本中不少于 11%的人年收入超过 1 万的概率为 0.0918； （2）样本中 19%和 21% 之间的人受过高等教育的概率为 0.6826。 8. 从正态总体25,4.2N中抽取容量为 n 的样本，若要求其样本均值位于区间（2.2， 6.2）内的概率不小于 0.95，则样本容量 n 至少应该取多大？ 解：由于 所以： 即： 由分布函数的单调性有： 可见，样本容量至少取 25。 9. 设总体( ,4)XN，有样本 12 , n X XX，求当样本容量n为多大时， | 0.1PX0.95

9、。 解：因为(0,1) X N n ，所以 0.10.1 | 0.1(0.05)( 0.05)2 (0.05) 1 222 X PXPnnn nnn ，得 ：2(0.05)10.95n，(0.05)0.975n，由(1.96)0.975，可 得 0.051.96n ，于是得1536.6n ，即1537n 。 第七第七章章 点估计点估计： 10. 设 n XXX, 21 是取自总体 X 的一个样本，在下列情形下，试求总体参数的矩估 计与最大似然估计： （1）pnBX,，其中p未知，10 p；（2） EX ，其中未 知，0。 解： （1） pXE，故p的矩估计量有Xp 。 另，X 的分布律为1 ,

10、 0,1 1 xppxXP xx ，故似然函数为 n i i n i i Xn X pppL 1 1 1 对数似然函数为： pXnpXpL n i i n i i 1lnlnln 11 令 0 1 ln 11 p Xn p X dp pLd n i i n i i ，解得p的最大似然估计量XX n p n i i 1 1 。 可以看出p的矩估计量与最大似然估计量是相同的。 （2） 1 XE，令X 1 ，故的矩估计量 X 1 。 另，X 的密度函数为 xfX 0 x e 0 0 x x 故似然函数为 L 0 1 n i i X ne 其他 niXi, 2 , 1, 0 对数似然函数为 0 ln

11、lnln 1 1 n i i n i i X n d Ld XnL 解得的最大似然估计量 X X n n i i 1 1 。 可以看出的矩估计量与最大似然估计量是相同的。 11. 设 n XXX, 21 是取自总体 X 的一个样本，其中 X 服从参数为的泊松分布，其 中未知，0，求的矩估计与最大似然估计，如得到一组样本观测值： X 0 1 2 3 4 频数 17 20 10 2 1 求的矩估计值与最大似然估计值。 解： XE，故的矩估计量X 。 由样本观测值可算得 1 50 1423102201170 X 另，X 的分布律为 , 2 , 1 , 0, ! x x exXP x 故似然函数为 n

12、iX XX X eL i n n i i n , 2 , 1, 2 , 1 , 0, ! !1 1 对数似然函数为 0 ln !lnlnln 1 11 n i i n i i n i i X n d Ld XXnL 解得的最大似然估计量X n X n i i 1 ，故的最大似然估计值1 。 12. 设 n XXX, 21 是取自总体 X 的一个样本，其中 X 服从区间, 0的均匀分布，其 中0未知，求的矩估计。 解： 2 XE，令X 2 ，故的矩估计量X2 。 13. 设 n XXX, 21 是取自总体 X 的一个样本，X 的密度函数为 xf 0 2 2 x 其他 x0 其中0未知，求的矩估计

13、。 解： 3 22 02 dx x xXE，令X 3 2 ，故的矩估计量为X 2 3 。 14. 设 n XXX, 21 是取自总体 X 的一个样本，X 的密度函数为 xf 0 1 x 其他 10 x 其中0未知，求的矩估计和最大似然估计。 解： 2 1 1 1 0 dx xxXE，令X 2 1 ，故的矩估计量为 1 21 X X ， 另，似然函数 L 0 1 1 n i i n X 其他 10 i X 对数似然函数为 0ln 1 ln ln1lnln 1 1 n i i n i i X n d Ld XnL 解得的最大似然估计量为 X X n n i i 1 11 1 。 15. 设 n X

14、XX, 21 是取自总体 X 的一个样本，总体 X 服从参数为p的几何分布，即 , 3 , 2 , 1,1 1 xppxXP x ，其中p未知，10 p，求p的最大似然估计。 解：似然函数 nXn n i i pppL 1 1，对数似然函数： 0 1 ln 1lnlnln 1 1 p nX p n dp pLd pnXpnpL n i i n i i 解得p的最大似然估计量为 X p 1 。 16. 已知某路口车辆经过的时间间隔服从指数分布 E，其中0未知，现在观测到 六个时间间隔数据（单位：s） ：1.8、3.2、4、8、4.5、2.5，试求该路口车辆经过的平均时间 间隔的矩估计值与最大似然估计值。 解：根据习题 10 的结果，的矩估计和最大似然估计量都为 X 1 ，故平均时间间隔的矩 估计和最大似然估计都为 1 ，即为X。 由样本观测值可算得 1 1.83.2484.52.54 6 X 。