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1、第三部分代数结构 第九章代 数 系 统 内 容 提 要 1二元运算与一元运算 二元运算 设 S 为集合，函数 f：S SS 称为 S 上的二元运算 这时也称 S 对 f 是封闭的 一元运算设 S 为集合，函数 f：SS 称为 S 上的一元运算这时也称 S 对 f 是封闭的 二元与一元运算的算符 ，倡， ，等 二元与一元运算的表示法表达式或者运算表 2二元运算的性质 （） 涉及一个二元运算的算律 交换律：橙x，yS，xy yx 结合律：橙x，y，zS，（xy） z x （yz） 幂等律：橙xS，xx x 消去律：橙x，yS，xy xz 且 x痴y z，yx zx 且 x痴y z， （） 涉及两个
2、不同二元运算的算律 分配律：橙x，y，zS，x （y倡z） （xy）倡（xz）， （y倡z） x （yx）倡（z x） 吸收律： 与倡可交换，橙x，yS，x （x倡y） x， x倡（xy） x （） 二元运算的特异元素 单位元 e：橙xS，xe e x x 零元 ：橙xS，x x 幂等元 x：xx x 可逆元 x 及其逆元 y（也记作 x ）：xy yx e （） 有关的重要结果 定理 9 1单位元如果存在，则是惟一的 定理 9 2零元如果存在，则是惟一的 定理 9 3如果 S ，则单位元不等于零元 定理 9 4对于可结合的二元运算，可逆元素 x 只有惟一的逆元 x 3代数系统 代数系统非空集
3、合 S 与 S 上的 k 个一元或二元运算 f，f，fk组成的系统，记作 S，f， f，fk 同类型的代数系统与同种的代数系统 子代数设 V S，f，f， ，fk 是代数系统，B彻S，如果 B 对 f，f， ，fk都是封闭的，且 B 和 S 含有相同的代数常数，则称 B，f，f， ，fk 是 V 的子代数 平凡子代数与真子代数 积代数设 V A， 和 VB，倡 是同类型的代数系统， 和倡为二元运算，在集合 A B 上如下定义二元运算 ，橙 a，b ， a，b A B，有 a，b a，b aa，b倡b 称 V A B， 为 V与 V的积代数，记作 V V这时也称 V和 V为 V 的因子代数 重要
4、结果： 任何代数系统 V 都存在子代数，V 是 V 的平凡子代数 V 的子代数与 V 不仅是同类型的，也是同种的 定理 9畅 5积代数能够保持因子代数的下述运算性质：交换律、结合律、幂等律、分配律、吸 收律、单位元、零元、可逆元素等 4代数系统的同态与同构 同态映射设 V A， 和 V B，倡 是同类型的代数系统，f：V V ，且橙x，yA 有 f（xy） f（x）倡f（y），则称 f 是 V到 V的同态映射，简称同态 单同态、满同态与同构 基 本 要 求 会判断给定函数 f 是否为集合 S 上的二元或一元运算 会判断或者证明二元运算的性质 671第三部分代 数 结 构 会求二元运算的特异元素
5、 掌握子代数的概念 掌握积代数的定义及其性质 能够判断函数是否为同态并分析同态的性质 习题课 本章的习题主要有以下题型 题型一判断运算是否封闭（集合与运算是否构成代数系统），并对封闭的运算确定其性质 及特异元素 以下集合和运算是否构成代数系统？ 如果构成，说明该系统是否满足交换律、结合律？ 求出该运算的单位元、零元和所有可逆元素的逆元 （） 有理数集 Q，x倡y x y （） 自然数集 N，x倡y xy （） 正整数集 Z ，x倡y （x，y），即求 x 与 y 的最大公约数 （） A R，x倡y x y （） A ， ， ，x倡y y （） A Z，x倡y x y xy， 为普通加法 对于下
6、列集合和二元运算，判断在 A 上是否封闭，如果是封闭的，则指出它是否满足交换 律、结合律，是否有零元和单位元 （） A P（a，b），a倡b ab （） S S，其中 S 为任意非空集合，运算为函数合成 （） A 是非空集合 B 上所有关系的矩阵集合，倡为关系矩阵乘法（相加采用逻辑加） （） A nZ nk kZ，n 是正整数，倡为普通乘法 （） A P（a，b），橙x，yA，x倡y x磑y，磑为集合的对称差 （） 非空集合 B 上所有等价关系的集合，橙x，yA，x倡y xy 设 A a，b，c，运算倡， ， 如表 所示，说明这些运算是否满足交换律、结合律、幂等 律、消去律，求这些运算的单位元
7、、零元、幂等元和所有可逆元素的逆元 表9 1 倡abc aaaa babc cacc abc aaaa bbbb cccc abc aaba baaa caaa 771第九章代 数 系 统 解答与分析 （） 构成；交换，不结合，无单位元、零元、可逆元； （） 构成；交换，不结合，无单位元、零元、可逆元； （） 构成；交换，结合，无单位元和可逆元，零元 ； （） 构成；交换，不结合，无单位元、零元、可逆元； （） 不构成； （） 构成；交换、结合，单位元 ，零元 ，可逆元是 和 ， ，（ ） 在讨论运算性质时注意给定的是什么集合比如（）中的运算不是定义在整数集 Z 上，而 是定义在有理数集 Q
8、上，那么除了零元 以外，其他有理数 x 都是可逆元素，且 x x x （） 封闭；交换、结合，单位元是碬，零元是a，b； （） 封闭；可结合，仅当 S 为单元集时可交换，单位元是恒等函数，S 为单元集时单位元也是 零元； （） 封闭；可结合，仅当 B 为单元集时可交换；单位元为单位矩阵，零元为全 矩阵； （） 封闭；可交换、可结合；仅当 n 时有单位元 ， 是零元； （） 封闭；可交换、可结合；单位元是空集；没有零元； （） 当 B 时 B 上的所有等价关系只有恒等关系和全域关系，运算封闭；此时运算具有 交换律和结合律，单位元是恒等关系，零元为全域关系当 B 时两个等价关系的并集不一 定具有传
9、递性，运算不封闭 注意：有的问题中对所给定的集合或者参数没有加以具体说明如（）中的 S 集合，（）与 （）中的 B 集合，（）中的正整数 n 等，当这些集合或者参数取不同的值时，系统涉及交换律、单 位元、零元、可逆元等性质有可能会发生改变，因此要针对不同取值进行分析 倡运算满足交换、结合、幂等律，不满足消去律单位元是 b；零元是 a；a，b，c 都是幂等 元；可逆元只有 b，b b 运算满足结合律，幂等律，不满足交换律和消去律没有单位元和零元，也没有可逆元素， a，b，c 都是幂等元 运算不满足交换律、结合律、幂等律和消去律；没有单位元、零元、可逆元素；只有 a 是幂 等元 通过运算表可以判别
10、运算性质，也可以求运算的特异元素具体方法如下： 如果运算表的元素关于主对角线成对称分布，那么运算是可交换的，如例子的倡运算 如果主对角线元素的排列顺序与表头元素的排列顺序（例子中的 a，b，c）一样，那么运算是 幂等的，如例子中的倡和 运算 如果在运算表中的某行或者某列（除了零元所在的行和列之外）有两个相同的元素，那么运 算不满足消去律例如上述的倡运算，由于 a 是零元，不考虑 a 所在的行与列，在 c 所在的行与 列中 c 都出现了 次，这就意味着 b倡c c倡c 或者 c倡b c倡c，但是显然没有 b c因此，破坏 871第三部分代 数 结 构 了消去律 如果一个元素所在的行和列的元素排列
11、顺序都与表头元素排列顺序（例子中的 a，b，c）一 致，那么这个元素是单位元如倡运算表中的 b 如果一个元素的行和列的元素都是这个元素自身，那么这个元素是零元 如倡运算表中的 a，其所在的行和列元素全是 a，因此它是零元 如果元素 x 在主对角线中排列的位置与表头中的位置一致，那么这个元素是幂等元如倡 运算表中的 aa 在表头中的位置是第一位，在主对角线也是排在第一位类似的，b 与 c 也满足 要求 最后谈谈对结合律的判断为判断结合律是否成立应该对 A 中所有元素 x，y，z 验证（xy）z x（yz）是否为真如果 A 中有 n 个元素，必须验证 n 个等式注意到以下事实：如果 x，y，z 中
12、 存在单位元或者零元，那么等式一定成立因此验证只需对 A 中的非单位元和非零元进行例 如对于倡运算只需验证 （c倡c）倡c c倡（c倡c） 是否成立，显然这是成立的，因此满足结合律 对于 运算，既没有单位元，也没有零元，这种简化验证的方法就不起作用了但是观察到 运算具 有下述特征：每个元素都是左零元，即满足 xy x因此，无论是（xy） z 还是 x （yz）都等于 最左边的元素 x，从而证明了结合律对于 运算，上述方法都没有用观察运算表只有 a b b，其他都是 a有可能在涉及 a b 的运算中破坏结合律由于 （b b） b a b ba b a b （b b）， 因此 运算不满足结合律 题
13、型二确定代数系统的子集是否构成子代数 设 V Z， ，问 Z，V 是否为 V 的子代数系统？ 为什么？ 如果是，说明其中哪 些是平凡的，哪些是真子代数 设 V A，磑 ，其中 A P（，），磑为集合的对称差，试给出 V 的所有的子代数， 并说明哪些是平凡的子代数，哪些是真子代数 解答与分析 都构成 V 的子代数，显然和 V 关于 运算是封闭的，而对于任意 i，jZ，i j （i j）Z，Z 关于 运算也是封闭的和 V 是平凡的，和 Z 是真子代数 构成 V 的子代数A 碬， 平凡的：B 碬，V 非平凡的： 元的：B 碬，B 碬，B 碬，B 碬， B 碬，B 碬，B 碬， 元的：B 碬，B 碬，
14、 B 碬， ，B 碬， B 碬，B 碬， 以上子代数中除了 V 之外，都是真子代数 971第九章代 数 系 统 题型三确定积代数中的运算 设 V， ，V， ，其中 （x，y）表示 x 与 y 中较大的数， （x，y）表示 x 与 y 中较小的数， 与 可以看作二元运算 考虑积代数 V V （） 设积代数中的二元运算为 运算，给出它的运算表； （） 说明积代数中的单位元和零元 解答与分析 （） 运算表如表 所示 表9 2 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
15、， ， ， ， （） 单位元是 ， ，零元是 ， 题型四判断或证明函数是同态（同构） 设 C， ，V R， 是代数系统， 为普通乘法下面哪个函数 f 是 V到 V 的同态？ 如果 f 是同态，指出 f 是否为单同态、满同态和同构，并求出 V在 f 下的同态像；如果 不是，请说明理由 （） f：CR，f （z） z ，橙zC； （） f：CR，f （z） z ，橙zC； （） f：CR，f （z） ，橙zC； （） f：CR，f （z） ，橙zC 设 V A， ，VB，倡 和 VC，都是含有一个二元运算的代数系统， 证明 （） V碖V； （） 若 V碖V，则 V碖V； （） 若 V碖V，V碖V，则 V碖V 解答与分析 （） 不是同态，因为 f（ ） ，f（） f（） ； （） 是同态，不是单同态，也不是满同态与同构，同态像 f（V） R ； （） 是同态，不是单同态，也不是满同态与同构，同态像 f（V） ； （） 不是同态，因为 f（ ） ，f（） f（） 081第三部分代 数 结 构 （） 恒等函数 IA是从 A 到 A 的双射函数，且橙x，xV有 IA（xx） xx IA（x） IA（x）
