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1、一、 填空题 (将正确答案填在题中横线上。每小题2分,共10分)1、设 , ,则=_。2、四阶方阵,已知=,且,则=_。3、三阶方阵的特征值为1,-1,2,且,则的特征值为_。4、若n阶方阵满足关系式,若其中是单位阵,那么=_。5、设,线性相关,则t=_。二、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案的番号填入下表内,每小题2分,共20分)题号12345678910答案番 号1、若方程成立,则x是(A)-2或3; (B)-3或2;(C)-2或-3; (D)3或2;2、设A、B均为n阶方阵,则下列正确的公式为(A); (B);(C); (D)3、设A为可逆n阶方阵,则=(A); (B)A;
2、(C); (D);4、下列矩阵中哪一个是初等矩阵(A); (B);(C); (D);5、下列命题正确的是(A)如果有全为零的数 使,则, 线性无关;(B)向量组, 若其中有一个向量可由向量组线性表示,则,线性相关;(C)向量组, 的一个部分组线性相关,则原向量组本身线性相关;(D)向量组,线性相关,则每一个向量都可由其余向量线性表示。6、,和,为两个n维向量组,且 =+=+=+则下列结论正确的是(A)(B)(C)(D)无法判定7、设A为n阶实对称方阵且为正交矩阵,则有(A)A=E (B)A相似于E (C) (D)A合同于E8、若是线性方程组的基础解系,则+是的(A)解向量 (B)基础解系 (C
3、)通解; (D)A的行向量;9、 都是n阶矩阵A的特征值,且和分别是对应于和的特征向量,当 满足什么条件时,必是矩阵A的特征向量。(A)且; (B),(C) (D)而10、下列哪一个二次型的矩阵是(A); (B);(C); (D);三、计算题(每小题9分,共63分)1、设3阶矩阵, ,其中均是3维行向量,且已知行列式,求2、解矩阵方程,其中 ,3、设有三维列向量组, , ,为何值时:(1)可由,线性表示,且表示式是唯一的;(2)不能由,线性表示;(3)可由,线性表示,且有无穷种表示式,并写出表示式。4、已知四元非齐次线性方程组满足,是的三个解向量,其中, 求的通解。5、已知A=B,且,求a ,
4、 b6、齐次线性方程组中当a为何值时,有非零解,并求出通解。7、用正交变换法化二次型为标准型,并求出正交变换。四、证明题(7分)设A为mn矩阵,B为n 阶矩阵,已知证明:若,则高等代数期末考试题A题参考答案与评分标准一、 填空题1、-10; 2、81; 3、4,6,12; 4、; 5、5;二、单项选择题(每小题2分,共20分)题号12345678910答案番 号ACDBC C C A DC三、计算题(每小题9分,共63分)1、 (2分) =+ (4分) =+ (7分) =218+122=60 (9分)2、 (2分) (3分) (5分) (7分) (9分)3、设且时,方程组有唯一解即可由,唯一线
5、性表示,(2)当时 无解即当时,不能由,线性表示 (6分)(3)当时 有无穷组解基础解系为:, 通解为 当时 可由,线性表示为无穷多种形式 ,为任意常数 (9分)4、的基础解系含一个解 (2分) (i=1,2,3)设 (4分) 为基础解系 (6分) 为特解 (8分) 故的通解为 c为任意常数 (9分)5、 (2分) (4分) (6分)比较同次幂系数有 (8分)解之, 得 (9分)6、 (3分)当时, 有非零解 (5分)基础解系为 (8分)通解为 c为任意常数 (9分)7、 (3分)特征值为, (4分)特征向量为 , (6分)正交单位化为 , (7分)标准型为 (8分)正交变换为 (9分)四、证明题() (2分) B的每一列向量为齐次方程组的解 (4分)由于 只有零解 (6分)