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1、3.3 奇解和包络(Singular solution of ODE and envelop of curve family )教学内容 1. 介绍微分方程奇解的概念; 2.介绍曲线族包络的概念 ; 3. 介绍求解微分方程奇解的方法;4. 介绍寻找曲线族包络的方法； 5.复习克莱罗方程. 教学重难点 重点是知道并会运用微分方程奇解的必要条件来寻找微分方程的奇解； 难点是如何验证由奇解必要条件获得函数是微分方程的奇解 教学方法 预习 1、2、3；讲授 1、2、3考核目标 1. 微分方程奇解的概念; 2. 知道曲线族包络的概念 ; 3. 求解微分方程奇解的方法;4. 知道寻找曲线族包络的方法; 5
2、. 认识克莱罗方程并会求解 . 1. 微分方程奇解和曲线族包络的概念2. 包络和奇解的寻找例 45. 求曲线族 的包络.03)y(C)(x22解：由 C 判别式得到， .0C)2(x ,得到两条直线 . 3y ,04 2 0 2 4101234由上图知道，直线 y=0 是原曲线族的包络. 例 46. 求曲线族 的包络.C)(x3)(y32解：由 C 判别法知， .0C)-2(x)-(y 0, 2 1 1 2211解得 ，即直线 . 94Cy32x , 92xy ,由上图知，直线 是曲线族的包络. 作业 38. 求曲线族 的包络，其中 c 为参数. 4cy)(x2例 47. 求方程 的奇解. 2
3、)dxy(y解：记 ，则方程为 ，运用 p 判别法知， . 02px ,2py解得 . 易验证可知， 不是原方程的解，因此，原方程没有奇解 . 22例 48. 求方程 的奇解. 01y)dx(2解：记 ，由 p 判别法知， ，解得 . p , 02p ,1y21y令 ，当 时， ，即 . sin tdxyco0dxsin tdx/tyCtx故所求的通解为 . C)s(4 2 2 41.00.50.51.0容易验证 为原方程的奇解. 1y作业 39. 求解方程 ，并求奇解（如果存在的话）.0y)dx()y(23. 克莱罗方程与应用题例 49. 求一曲线使得它的切线在两坐标轴之间的线段长为 a0. 1.0 0.5 0.5 1.01.00.50.51.0作业 40. 求一曲线，使得它上面每一点的切线与坐标轴的两截距之和等于常数 a0.
