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1、考 点 39 圆 的 方 程 、 直 线 与 圆 、 圆 与 圆 的 位 置 关系一 、 选 择 题1. （ 2013重 庆 高 考 文 科 4） 设 P是 圆 22(3)(1)4xy上 的 动 点 ， Q是直 线 x上 的 动 点 ， 则 PQ的 最 小 值 为 ( )A. 6 B.4 C. 3 D. 2【 解 题 指 南 】 的 最 小 值 为 圆 心 到 直 线 的 距 离 减 去 圆 的 半 径 .【 解 析 】 选 B. PQ的 最 小 值 为 圆 心 到 直 线 的 距 离 减 去 圆 的 半 径 .圆 心到 直 线 的 距 离 为 ,半 径 为 ,所 以 PQ的 最 小 值 为
2、.)1,3(3x624262.(2013天 津 高 考 文 科 T5)已 知 过 点 P(2,2)的 直 线 与 圆 (x-1)2+y2=5 相 切 ,且与 直 线 ax-y+1=0 垂 直 ,则 a= ( )A. B. 1 C. 2 D. 21【 解 题 指 南 】 根 据 圆 的 切 线 的 性 质 确 定 切 线 的 斜 率 ,再 由 两 直 线 垂 直 求 a 的值 .【 解 析 】 选 C.因 为 点 P(2,2)为 圆 (x-1)2+y2=5 上 的 点 ,由 圆 的 切 线 性 质 可 知 ,圆心 (1,0)与 点 P(2,2)的 连 线 与 过 点 P(2,2)的 切 线 垂
3、直 .因 为 圆 心 (1,0)与 点P(2,2)的 连 线 的 斜 率 k=2,故 过 点 P(2,2)的 切 线 斜 率 为 - ,所 以 直 线 ax-12y+1=0 的 斜 率 为 2,因 此 a=2.3.（ 2013安 徽 高 考 文 科 6） 直 线 x+2y-5+ =0 被 圆 x2+y2-2x-4y=0 截得 的 弦 长 为 （ ）A.1 B.2 C.4 D. 【 解 题 指 南 】 由 圆 的 半 径 、 圆 心 距 、 半 弦 长 组 成 直 角 三 角 形 ， 利 用 勾 股 定理 即 可 求 得 半 弦 长 。【 解 析 】 选 C.由 得 圆 心 （ 1,2） ， 半
4、 径 ， 圆 心 到 直 线22(1)()5xy-+-=5r=x+2y-5+ =0 的 距 离 ， 在 半 径 、 圆 心 距 、 半 弦 长 组 成 的 直|4|d角 三 角 形 中 ， 弦 长 。2lr-=4. （ 2013重 庆 高 考 理 科 7） 已 知 圆 ： ， 圆 ：1C22()(3)1xy2C， 、 分 别 是 圆 、 上 的 动 点 ， 为 轴 上 的 动 点 ，2()(4)9xyMN2Px则 的 最 小 值 为 ( )PNA. B. C. D. 2517617【 解 题 指 南 】 根 据 圆 的 定 义 可 知 ,然 后 利 用 对 称 性 求421PNP解 .【 解
5、析 】 选 A.由 题 意 知 ,圆 ： ， 圆 ：1C22()(3)xy2C22(3)(4)9xy的 圆 心 分 别 为 ,且 ,点 关 于 轴 的 对)43(,21 41PNPM,1称 点 为 ,所 以 ,)3(C5221即 .521PNM5.（ 2013广 东 高 考 文 科 7） 垂 直 于 直 线 且 与 圆 相 切 于1yx21xy第 一 象 限 的 直 线 方 程 是 （ ）A B0xy10xyC D12【 解 析 】 选 A. 由 题 意 知 直 线 方 程 可 设 为 （ ） ， 则 圆 心 到 直 线xyc0的 距 离 等 于 半 径 1， 即 ， ， 所 求 方 程 为
6、.2|0|1c22xy6. （ 2013陕 西 高 考 文 科 8） 已 知 点 M(a,b)在 圆 外 , 则 直 线21:Oax + by = 1 与 圆 O 的 位 置 关 系 是 ( )A. 相 切 B. 相 交 C. 相 离 D. 不 确 定【 解 题 指 南 】 利 用 点 与 圆 的 位 置 关 系 ， 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 中 的 半 径 与 距离 ， 列 出 关 系 式 ， 解 之 即 可 判 断 直 线 ax + by = 1 与 圆 O 的 位 置 关 系 .【 解 析 】 选 B.点 M(a, b)在 圆 .122y外=圆 的 半 径 ， 故 直 线 与
7、圆 相 交 .2O(0)xy1dab圆 心 ， 到 直 线 距 离 7. （ 2013江 西 高 考 理 科 9） 过 点 （ ， 0） 引 直 线 l 与 曲 线 2相 交 于 A、 B 两 点 ， O 为 坐 标 原 点 ， 当 AOB 的 面 积 取 最 大 值 时 ， 直2y1x线 l 的 斜 率 等 于 （ ）A. B. C. D.3333【 解 题 指 南 】 圆 心 到 直 线 的 距 离 与 直 线 的 斜 率 有 关 , AOB 为 等 腰 三 角 形 ,所 以 AB 的 长 度 也 可 用 圆 心 到 直 线 的 距 离 表 示 ,进 而 AOB 的 面 积 可 表 示 为
8、 圆心 到 直 线 的 距 离 d 的 函 数 ,借 助 二 次 函 数 思 想 可 以 求 解 出 当 AOB 的 面 积 取最 大 值 时 的 d 值 ,进 而 可 以 求 出 直 线 的 斜 率 .【 解 析 】 选 B. 曲 线 表 示 以 为 圆 心 ， 以 为 半 径 的 上 半 圆 .设2y1x(0,)1直 线 的 方 程 为 ， 即 ， 若 直 线 与 半 圆 相 交 ， 则 ，lk()kyk0圆 心 到 直 线 的 距 离 为 （ ） ， 弦 长 为 ， AOB 的 面 积2d1d12AB1d为 ， 易 知 当 时 最 大 ， 解 得21sABd2()2s2k1()， 故 .
9、k33k8. （ 2013山 东 高 考 理 科 9） 过 点 （ 3， 1） 作 圆 （ x-1） 2+y2=1 的 两 条切 线 ， 切 点 分 别 为 A， B， 则 直 线 AB 的 方 程 为 （ ）A.2x+y-3=0 B.2x-y-3=0 C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0【 解 题 指 南 】 本 题 考 查 了 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 ， 利 用 圆 的 几 何 性 质 解 题即 可 .【 解 析 】 选 A. 由 图 象 可 知 ， 是 一 个 切 点 ， 根 据 切 线 的 特 点 可 知 过 点(1,)AA.B 的 直 线 与 过 点 （ 3,1）
10、、 （ 1、 0） 的 直 线 互 相 垂 直 ， ， 所2130ABk以 直 线 AB 的 方 程 为 ， 即 2x+y-3=0.2xy二 、 填 空 题9. （ 2013山 东 高 考 文 科 13） 过 点 (3， 1)作 圆 的 弦 ，22()()4xy其 中 最 短 的 弦 长 为 _【 解 题 指 南 】 过 圆 内 一 点 的 弦 ， 最 长 的 为 直 径 ， 最 短 的 为 垂 直 于 直 径 的 弦 .这 样 圆 心 到 点 的 距 离 ， 与 弦 长 的 一 半 ， 半 径 长 构 成 一 个 直 角 三 角 形 .1,3【 解 析 】 半 径 为 ， 圆 心 为 ， 圆
11、 心 到 点 的 距 离2r2,1,3,所 求 最 短 弦 长 为22d 【 答 案 】 .10.(2013浙 江 高 考 文 科 T13)直 线 y=2x+3 被 圆 x2+y2-6x-8y=0 所 截 得 的弦 长 等 于 .【 解 题 指 南 】 由 直 线 方 程 与 圆 的 方 程 联 立 方 程 组 ,求 两 个 交 点 的 坐 标 ,再 求弦 长 .【 解 析 】 由 ， 解 得 或 ， 所 以 两 交 点 坐 标 为23,680yx1xy391,和 ， 所 以 弦 长 .3,922(13)(9)45l【 答 案 】 .4511. （ 2013江 西 高 考 文 科 14） 若
12、圆 C 经 过 坐 标 原 点 和 点 （ 4， 0） ，且 与 直 线 y=1 相 切 ， 则 圆 C 的 方 程 是 .【 解 题 指 南 】 设 出 圆 的 标 准 方 程 ， 得 出 圆 心 坐 标 和 半 径 的 关 系 ， 再 代 入 已 知点 .【 解 析 】 设 圆 的 方 程 为 ， 因 为 圆 C 经 过 点 （ 0,0） 和 点22(xa)(yb)r（ 4， 0） ， 所 以 a=2， 又 圆 与 直 线 y=1 相 切 ， 可 得 ， 故 圆 的 方 程 为1br， 将 （ 0,0） 代 入 解 得 ， ， 所 以 圆 的2 2(x)(yb)(1b)325r方 程 为
13、.2235()()4【 答 案 】 .22(x)(y)12. （ 2013湖 北 高 考 文 科 14） 已 知 圆 ： ， 直 线 ：O25xyl（ ） .设 圆 上 到 直 线 的 距 离 等 于 1 的 点 的 个 数 为cosinxy2Ol， 则 .k【 解 题 指 南 】 根 据 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 ,求 圆 心 到 直 线 的 距 离 ,同 半 径 的 一半 相 比 较 .【 解 析 】 半 径 为 R= 圆 心 到 直 线 的 距 离 d= 故 数 形 结5,l2215.sinco合 k=4.【 答 案 】 4.三 、 解 答 题13.(2013江 苏 高 考 数
14、 学 科 T17) 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 点xOy， 直 线 。 设 圆 的 半 径 为 ， 圆 心 在 上 。),A42:xylCl（ 1） 若 圆 心 也 在 直 线 上 ， 过 点 作 圆 的 切 线 ， 求 切 线 的 方 程 ；CxyAC（ 2） 若 圆 上 存 在 点 ， 使 ， 求 圆 心 的 横 坐 标 的 取 值 范 围 。MO2a【 解 题 指 南 】 (1)先 利 用 题 设 中 的 条 件 确 定 圆 心 坐 标 ,再 利 用 直 线 与 圆 相 切的 几 何 条 件 找 出 等 量 关 系 ,求 出 直 线 的 斜 率 .(2)利 用 M
15、A=2MO 确 定 点 M 的 轨迹 方 程 ,再 利 用 题 设 中 条 件 分 析 出 两 圆 的 位 置 关 系 ,求 出 a 的 取 值 范 围 .【 解 析 】 (1)由 题 设 知 ,圆 心 C 是 直 线 y=2x-4 和 y=x-1 的 交 点 ,解 得 点 C(3,2),于 是 切 线 的 斜 率 必 存 在 .设 过 A(0,3)的 圆 C 的 切 线 方 程 为 y=kx+3,由 题 意 , = 1, 解 得 k=0 或 - ,2|3|k4故 所 求 切 线 方 程 为 y=3 或 3x+4y-12=0.(2)因 为 圆 心 在 直 线 y=2x-4 上 ,所 以 圆 C 的 方 程 为(x-a)2+y-2(a-2)2=1.设 点 M(x,y),因 为 MA=2MO,所 以 ,223yx化 简 得 ,4)1(
