2013春数学实验基础实验报告常微分方程

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1、年级、专业 姓名 学号 名单序号 实验时间 2013 年 3 月 日 使用设备、软件 PC, MATLAB 注： 实验报告的最后一部分是实验小结与收获 实验一 常微分方程1 / 92013 春 数学实验 实验一 常微分方程1. 分别用 Euler 法和 ode45 解下列常微分方程并与解析解比较：(1) 30,1)(, xyx编写 Euler 法的 matlab 函数，命名为 euler.mfunction t,y=euler(odefun,tspan,y0,h)t=tspan(1):h:tspan(2);y(1)=y0;for i=1:length(t)-1y(i+1)=y(i)+h*fev

2、al(odefun,t(i),y(i);endt=t;y=y;下面比较三者的差别：% ode45odefun=inline(x+y,x,y);x1,y1=ode45(odefun,0,3,1);plot(x1,y1,ko);pausehold on;% Eulerx2,y2=euler(odefun,0,3,1,0.05);plot(x2,y2,r+);pausehold on;% 解析解y0=dsolve(Dy=t+y,y(0)=1);ezplot(y0,0,3);pausehold off;legend(ode45,euler法, 解析解 );年级、专业 姓名 学号 名单序号 实验时间 2

3、013 年 3 月 日 使用设备、软件 PC, MATLAB 注： 实验报告的最后一部分是实验小结与收获 实验一 常微分方程2 / 92013 春 数学实验 实验一 常微分方程Euler法只有一阶精度，所以实际应用效率比较差，而ode45的效果比较好，很接近真实值。(2) 20.1()sin(),0,()1,05yytyt 先写M文件ex1_2fun.mfunction f=ex1_2fun(t,y)f(1)=y(2);f(2)=0.01*y(2).2-2*y(1)+sin(t);f=f(:);% ode45t1,y1=ode45(ex1_2fun,0,5,0;1);plot(t1,y1(:,

4、1),ko);0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1-0.500.511.5% 解析解s=dsolve(D2y-0.01*(Dy)2+2*y=sin(t),y(0)=0,Dy(0)=1,t)s = empty sym %由此可知该微分方程无解析解2. 求一通过原点的曲线，它在 处的切线斜率等于 若 上限增为 1.58，1.60 会(,)xy2,01.57xyx发生什么？ odefun=inline(2*x+y2,x,y);subplot(1,4,1);x1,y1=ode45(odefun,0,1.57,0);plot(x1,y1,r*);title(上限1.57);

5、subplot(1,4,2);x2,y2=ode45(odefun,0,1.58,0);plot(x2,y2,bo);title(上限1.58);年级、专业 姓名 学号 名单序号 实验时间 2013 年 3 月 日 使用设备、软件 PC, MATLAB 注： 实验报告的最后一部分是实验小结与收获 实验一 常微分方程3 / 92013 春 数学实验 实验一 常微分方程subplot(1,4,3);x3,y3=ode45(odefun,0,1.6,0);plot(x3,y3,k);title(上限1.60);subplot(1,4,4);plot(x1,y1,r*);hold on;plot(x2

6、,y2,bo);hold on;plot(x3,y3,k);hold off;legend(上限 1.57,上限1.58, 上限1.60 );0 0.5 1 1.5 2020406080100120140160 上上1.570 0.5 1 1.5 2024681012141618x 1013 上上1.580 0.5 1 1.5 200.20.40.60.811.21.41.61.82x 1014 上上1.600 0.5 1 1.5 200.20.40.60.811.21.41.61.82x 1014上上1.57上上1.58上上1.60结论：随着 x 上界的增加，解趋于无穷大。3. 求解刚性方程

7、组： 50,1)0(,5.2.1075.979221 xyy先写M函数ex3fun.mfunction f=ex3fun(t,y)f(1)=-1000.25*y(1)+999.75*y(2)+0.5;f(2)=999.75*y(1)-1000.25*y(2)+0.5;f=f(:);%作图t,y=ode15s(ex3fun,0,50,1,-1);plot(t,y,*);年级、专业 姓名 学号 名单序号 实验时间 2013 年 3 月 日 使用设备、软件 PC, MATLAB 注： 实验报告的最后一部分是实验小结与收获 实验一 常微分方程4 / 92013 春 数学实验 实验一 常微分方程0 5

8、10 15 20 25 30 35 40 45 50-1-0.500.511.54. (温度过程 )夏天把开有空调的室内一支读数为 20的温度计放到户外， 10 分钟后读 25.2, 再过 10 分钟后读数 28.32。建立一个较合理的模型来推算户外温度。设：t 时刻温度计的读数为 T，户外温度为 c，T 的增速与室内外温差（c-T）成正比，由此建立微分方程，其中 k 为比例系数 20)(k%首先，计算解析解 y=dsolve(DT=k*(c-T),T(0)=20,t)y =c - (c - 20)/exp(k*t)%又已知 ，用非线性最小二乘拟合该函数，调用lsqcurvefit命令：32.

9、8)0(,2.5)10(Tfun=inline(c(1)-(c(1)-20)./exp(c(2)*t),c,t);lsqcurvefit(fun,30 1,10 20,25.2 28.32)ans =33.0000 0.0511即户外温度c=33，比例系数 k=0.05115. (广告效应)某公司生产一种耐用消费品，市场占有率为 5%时开始做广告，一段时间的市场跟踪调查后，该公司发现：单位时间内购买人口百分比的相对增长率与当时还没有买的百分比成正比，且估得此比例系数为 0.5。(1) 建立该问题的数学模型，并求其数值解与模拟结果作以比较；设：市场占有率为 ，市场占有率的增长速度为 ，则相对增长

10、率为 ，由此建立微分方程为xxx年级、专业 姓名 学号 名单序号 实验时间 2013 年 3 月 日 使用设备、软件 PC, MATLAB 注： 实验报告的最后一部分是实验小结与收获 实验一 常微分方程5 / 92013 春 数学实验 实验一 常微分方程05.)()1xx%首先，计算解析解 s=dsolve(Dx=(0.5*(1-x)*x,x(0)=0.05,t)s=1/(exp(log(19) - t/2) + 1)%再调用 ode45 计算数值解，并作图比较解析解与数值解的区别：odefun=inline(0.5*(1-x)*x,t,x);t,x=ode45(odefun,0,20,0.0

11、5);plot(t,x,r*);hold on;ezplot(s,0 20);hold off;0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2000.20.40.60.81t1/(exp(log(19) - t/2) + 1)上上上上上上(2) 厂家问：要做多少时间广告，可使市场购买率达到 80%？t_min=min(find(x0.8);t(t_min)ans =8.8543结果：大约8.8543个单位的时间后，可使市场购买率达到 80%。6. (肿瘤生长) 肿瘤大小 V 生长的速率与 V 的 a 次方成正比，其中 a 为形状参数， ;而其比例系数10aK 随时间减小，减小速率又与当时

12、的 K 值成正比，比例系数为环境参数 b。设某肿瘤参数 a=1, b=0.1, K 的初始值为 2，V 的初始值为 1。问(1)此肿瘤生长不会超过多大？年级、专业 姓名 学号 名单序号 实验时间 2013 年 3 月 日 使用设备、软件 PC, MATLAB 注： 实验报告的最后一部分是实验小结与收获 实验一 常微分方程6 / 92013 春 数学实验 实验一 常微分方程由已知条件建立微分方程： 2)0(1)(10,)(KVtbta%先编写上述函数的ex6_1fun.m文件function f=ex6_1fun(t,y)f(1)=y(2).*y(1);f(2)=-0.1*y(2);f=f(:)

13、;%画出其图像，并求最大的肿瘤大小Vt1,y1=ode45(ex6_1fun,0,100,1,2);plot(t1,y1(:,1),r*);max(y1(:,1)0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10000.511.522.533.544.55x 108ans =4.8567e+008%故肿瘤生长不会超过 810567.4(2)过多长时间肿瘤大小翻一倍？%从图像可以看出，大约在（0，1）内，肿瘤大小翻一倍，以此求解t2,y2=ode45(ex6_1fun,0 1,1;2);t_min=min(find(y2(:,1)2);t2(t_min)ans =0.3750答：大约

14、 0.4 个单位时间后肿瘤大小翻一倍。年级、专业 姓名 学号 名单序号 实验时间 2013 年 3 月 日 使用设备、软件 PC, MATLAB 注： 实验报告的最后一部分是实验小结与收获 实验一 常微分方程7 / 92013 春 数学实验 实验一 常微分方程(3)何时肿瘤生长速率由递增转为递减？dv=y1(:,2).*y1(:,1);Vn,tn=max(dv);t1(tn)ans =29.5466答：大约30个单位时间后肿瘤生长速率由递增转为递减。(4)若参数 a=2/3 呢？%重新编写微分方程ex6_4fun，并依次计算上述三个问题function f=ex6_4fun(t,y)f(1)=y(2)*y(1).(2/3);f(2)=-0.1*y(2);f=f(:);%画图像，肿瘤生长不会超过450.79590 50 10 1500501015020250303504045050%求多长时间肿瘤大小翻一倍，大约为0.4ans =0.4000%何时肿瘤生长速率由递增转为递减，大约为10ans =9.571