有理数的概念和分类

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1、1 / 11 精锐教育精锐教育 1 对对 3 辅导讲义辅导讲义 授课日期授课日期时时间间 主主题题有理数的概念和分类有理数的概念和分类 学习目标学习目标 1.理解有理数的意义及分类，能判断一个数是正数还是负数，运用正负数表示生活中具有相反 意义的量； 2.理解数轴的意义，能在数轴上表示出任何一个有理数，并理解任何一个有理数都能在数轴上 表示出来； 3.理解绝对值的意义，理解互为相反数的两个数的绝对值有什么关系，理解两个负数，绝对值 大的那个数反而小。 教学内容教学内容 【案例【案例 1】有理数的意义：】有理数的意义： 在现实生活中，我们常碰到一些量，它们具有相反意义，比如：盈利与亏损盈利与亏损

2、，收入与支出收入与支出，增加与减少增加与减少， 上升与下降上升与下降，等等。小学中我们已经学习了负数，知道正数和负数可以表示具有相反意义的量知道正数和负数可以表示具有相反意义的量。 问题：问题：天气预报 2014 年 2 月某天上海的温度为4 5CC ，它的确切含义是什么？ 有理数：整数和分数统称为有理数有理数：整数和分数统称为有理数 正整数 整数 零 负整数有理数（按定义分类） 正分数 分数 负分数 正整数 正有理数 正分数 有理数（按符号分类）零（既不是正数也不是负数） 负整数 负有理数 负分数 在在正数正数前面前面加上加上“- -”号的数叫做负数，有号的数叫做负数，有时时为了强调符号，在

3、正数前面加上为了强调符号，在正数前面加上“+ +”号号。 零既不是正数零既不是正数，也不是负数，也不是负数。 零和正数零和正数又可以称为非负数。又可以称为非负数。 2 / 11 在下列数中，哪些是整数？哪些是正数？哪些是负数？哪些是有理数？ 112 8, 3,7,69,0,0.32, 1, 3.1 265 拓展拓展：最小的整数有没有？最小的正整数有没有？最大的负整数有没有？：最小的整数有没有？最小的正整数有没有？最大的负整数有没有？ 【案例【案例 2】数轴：】数轴： 复习数轴的概念：复习数轴的概念：规定了原点、正方向和单位长度原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。（数轴的三个要素缺一不可，其中

4、正方 向只有一个，一般规定向右的方向为正方向，且数轴无端点。标数字时，通常把数字标在数轴的下方，而表 示点的字母写在数轴的上方） 思考思考 1：3 和3，4 和4， 1 2 和 1 2 这三对数有什么相同点和不同点？ 比如： 2 2 3 的相反数为 2 2 3 ， 2 2 3 的相反数为 2 2 3 ， 2 2 3 和 2 2 3 互为相反数。 思考思考 2：a的相反数是；a的相反数是。 思考思考 3：a一定是个负数吗？ 用数轴上的点分别表示 1 3,5, 2,1.2 2 和它们的相反数。 任何一个任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示有理数都可以用数轴上的一个点表示。 结论结论：在：在数轴

5、上数轴上，表示互为相反数的两，表示互为相反数的两个点个点位于原点的两侧，并且与原点的距离相等位于原点的两侧，并且与原点的距离相等。 3 / 11 拓展拓展：相反数是它本身的数有哪些？：相反数是它本身的数有哪些？ 【案例【案例 3】绝对值：】绝对值： 观察并回答：小明、小丽的家离学校多远？（单位长度表示 1 千米） 在数轴上点 A、点 B 所表示的数分别是 3 和5，它们与原点的距离分别是 3 和 5，我们把 3 叫做 3 的绝对值， 5 叫做5 的绝对值。 例如，4 的绝对值是 4，记作|4| 4， 3 的绝对值是 3，记作| 3| 3， 0 的绝对值是 0，记作|0| 0， 思考思考 1：前

6、面提到数轴的作用还可以用于比较数的大小，说说数轴上的点表示的数有什么特点吗？ 先请观察数轴： 思考思考 2：一个数的绝对值越大，说明这个数到原点的距离怎样呢？ 如：2 和6 的绝对值哪个大？它们到原点的距离哪个远一些呢？ 3 和7 的绝对值哪个大？它们到原点的距离哪个远一些呢？ 一个数一个数在在数轴数轴上所对应的点上所对应的点与与原点的距离，叫做这个数的原点的距离，叫做这个数的绝对值绝对值。 绝对值绝对值的表示：用符号的表示：用符号|a|a|表示数表示数 a a 的的绝对值。绝对值。 结论结论：一个：一个正正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值数的绝对值是它本身；一个负

7、数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是是零。零。 数轴上数轴上的点表示的数字从左到右越来越大；总之：的点表示的数字从左到右越来越大；总之：正数正数大于零，零大于负数，正数大于负数。大于零，零大于负数，正数大于负数。 一个数所表示一个数所表示的点离开原点的距离越远，绝对值越大，离开原点的距离越近，绝对值越小。的点离开原点的距离越远，绝对值越大，离开原点的距离越近，绝对值越小。 4 / 11 用数轴上的点表示下列各数，并将它们从小到大排列起来： 1 5,0, 1,4.5, 1 2 思考思考 1：比较3.5 与 3 2 5 的大小。 思考思考 2：如何比较| 3.5|和 3 | 2| 5 的大小呢？

8、【例题 1】把下列各数填入相应集合的括号内： 29，5.5，2002， 6 7 ，1，90%，3.14，0， 1 2 3 ，0.01，2，1 （1）整数： （2）分数： （3）正数： （4）负数： 两个负数两个负数，绝对值大的那个数反而小。，绝对值大的那个数反而小。 5 / 11 【试一试】在下列数中，哪些是整数？哪些是正数？哪些是负数？哪些是有理数？ 7，2， 1 6 2 ， 1 9 ，69，0，0.33， 2 1 5 ，3.1 （1）整数： （2）正数： （3）负数： （4）有理数： 【例题 2】一辆货车从超市出发，向东走了3km到达小彬家，继续向前走了1.5km到达小颖家，然后向西走 了

9、9.5km到达小明家，最后回到超市， （1）超市为原点，向东作为正方向，用 1 个单位长度表示1km，在数轴上表示出小明，小彬，小颖家的位置； （2）小明家距离小彬家多远？ （3）货车一共行驶了多少千米？ 【试一试】 1 某公路养护小组乘车沿南北方向的公路来回巡护， 早晨从A地出发， 晚上到达B地， 如果定向北方向为正， 当天的纪录如下（单位：千米）： 18，9，7，14，6，13，6，8。 （1）问：B地在A地的什么位置？距离A地多远？ （2）如果乘车的速度是每小时 10 千米，问当天乘车巡护的时间是多少？（不计中途休息时间） 6 / 11 2在数轴上，点A和点B都在与 15 4 对应的点上

10、，若点A以每秒 3 个单位长度的速度向右运动，点B以 每秒 2 个单位长度的速度向左运动，则 7 秒之后，点A和点B所处的位置对应的数是什么？这时线段AB的 长度是多少？ 【例题 3】在数轴上任取一条长度为 1 1999 9 的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数为 【试一试】数轴上表示整数的点称为整点。某数轴的单位长度是 1 厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为 2004 厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点的个数是（） A. 2002 或 2003B. 2003 或 2004C. 2004 或 2005D. 2005 或 2006 1如右图所示，数轴上的点M和N分别对应有理数

11、m、n，那么以下结论正确的是() A.0m，0n，mnB.0m，0n ，mn C.0m ，0n ，mnD.0m，0n ，mn 2数轴上点A对应的数为3，那么与A相距 1 个长度的点B所对应的数是_. 7 / 11 3数轴上的点A、B分别表示数3 和 2，点C是A、B的中点，则点C所表示的数是_. 4一个点从数轴的原点开始，先向右移动 3 个单位长度，再向左移动 5 个单位长度，则终点表示的数 是_ 5把下列各数填在相应的大括号里： 21 ,12, ( 96),| 3|, 4.5,0,| 2.5|, 33 （1）正整数； （2）负整数； （3）正分数； （4）负分数 6检修小组从A地出发，在东西

12、路上检修线路。如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天行驶记录如下 （单位：千米）： 4，+7，9，+8，+6，4，3。 （1）求收工时距A地多远？ （2）距A地最远的是哪一次？ （3）若每千米耗油 0.3 升，从出发到收工时共耗油多少升? 7、已知,m n互为相反数，, a b互为负倒数，x的绝对值等于 3， 求： 3220012003 (1)()()xmnab xmn xab 的值. 8 / 11 意义： 正整数 整数 零 负整数有理数（按定义分类） 正分数 分数 负分数 有理数 分类：有理数 正整数 正有理数 正分数 有理数 有理数（按符号分类）零（既不是正数也不是负数） 负整数 负有理

13、数 负分数 数轴有 整数和分数统称为有理数 数轴上的点表示的数字从左到右越来越大 理数大小比较 ； 两个负数 ，绝对值大的那个数反而小 一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零 绝对值 1数轴上有一点A它表示的有理数是3，将点A向左移动 3 个单位得到点B，再向右移动 8 个单位，得到 点C，则点B表示的数是，点C表示的数是 2（1）把下列各数分别填入相应的大括号内。 1117 ,3,78, 0.01,2002, 15,0, 243 正数集合 负数集合 整数集合 分数集合 9 / 11 （2）如右图所示，数

14、轴的一部分被墨水污染了，被污染的部分内含有的整数为_. 3粮库 3 天内发生粮食进出库的吨数如下（“+”表示进库“”表示出库）+26、32、15、+34、38、 20。 （1）经过这 3 天，库里的粮食是增多还是减少了。 （2）经过这 3 天，仓库管理员结算发现库里还存 480 吨粮，那么 3 天前库里存粮多少吨？ 4某食品厂从生产的罐装饮料中抽出 10 听检查其质量，超过标准质量的记为正，不足的记为负，记录如下： 与标准质量的偏差51005810 听数212131 （1）总质量比标准质量多还是少？ （2）若标准质量是 250 克，求 10 听饮料的总质量。 5已知|3|5| 0 xxy，求x

15、y的值。 10 / 11 复习小学段有个正整数和零的加法法则，预习有理数（负数的引进）的加法运算。 【案例案例】小明在一条东西向东西向的跑道上，先走了 5 米，又走了 3 米，能否确定他现在位于原来位置的哪个方向？ 相距多少米？（规定向东的方向为正方向） 思考讨论，小明走动路线有几种情况思考讨论，小明走动路线有几种情况 对前面的六个加法运算进行合理的分类对前面的六个加法运算进行合理的分类 同号两数相加： （5）（3）8 （5）（3）8 异号两数相加： （5）（3）2 （5）（3）2 归纳总结：归纳总结： 根据有理数的加法法则完成以下题目： (1) 关于有理数加法法则叙述错误的是() A同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加 B绝对值不相等的异号两数相加，取大数的符号，并用大数减去小数 C互为相反数的两个数和为零 D任何数与零相加都得这个数本身 (2) 下列结论正确的个数是() 如果两个数的差是正数，那么这两个数都是正数； 两个数的差不一定小于这两个数的和； 有理数加法法则有理数加法法则 同号两数相加同号两数相加：。 异号两数相加异号两数相加：。 一个数同零相加一个数同零相加：。 11 / 11 两个数的差一定小于被减数； 零减去任何数都等于这个数的相反数 A1B2C3D4