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1、第二章 矩阵与矩阵的Jordan标准形 矩阵的基本概念 定义：设 为数域 上的多项式，则称,为多项式矩阵或 矩阵。 定义 如果 矩阵 中有一个 阶 子式不为零，而所有 阶子式(如果有的话)全为零，则称 的秩为 ，记为 零矩阵的秩为0。 定义 一个 阶 矩阵称为可逆的，如果有一个 阶 矩阵 ，满足 这里 是 阶单位矩阵。 称为 矩阵的逆矩阵，记为 。,定理 一个 阶 矩阵 可逆的充要必要是 一个非零的常数。 定义 下列各种类型的变换，叫做 矩阵的初等变换： 矩阵的任二行(列)互换位置； 非零常数 乘矩阵的某一行(列)； 矩阵的某一行(列)的 倍加到另一行(列)上去，其中 是 的一个多项式。 对单
2、位矩阵施行上述三种类型的初等变换便得相应得三种 矩阵得初等矩阵,矩阵Smith标准形的存在性 定 理 任意一个非零的 型的 矩阵都等价于 一个对角矩阵，即,其中 是首项系数为1的多项式且 称这种形式的 矩阵为 的Smith标准形。 称为 的不变因子。,例 1,将其化成Smith标准形。,解：,例 2,将其化成Smith标准形。,解：,例 3,将其化为Smith标准形。,解：,将其化为Smith标准形。,例 4,解：,矩阵标准形的唯一性,定 义： 为一个 矩阵且 对于任意的正整数 ， ， 必有非零的 阶子式， 的全部 阶子式的最大公因式 称为 的 阶行列式因子。,显然，如果 ，则行列式因子一共有
3、 个。 例 1 求 的各阶行列式因子。 解：,由于 ，所以 。 显然 而且其余的7各2 阶子式也都包含 作为公因子，所以 另外,注意 ：观察 三者之间的关系。 定理： 等价（相抵） 矩阵有相同的各阶行列式因子从而有相同的秩。 设 矩阵 的Smith标准形为,容易计算上面的标准形的各阶行列式因子为,显然有：,由于 与上面的Smith标准形具有相同的各阶行列式因子，所以 的各阶行列式因子为 而 又是由这些行列式因子唯一确定的，于是我们得到 定 理： 的Smith标准形是唯一的。 例 1 求下列 矩阵的Smith标准形。,解 ：（1）容易计算出,（2）首先观察此矩阵的元素排列规律，显然 下面看 阶行
4、列式因子。有一个 阶子式要注意，即,容易计算出 从而,(3),定理 矩阵 与 等价的充要条件是对于任何的 ，它们的 阶行列式因子相同。 定理 矩阵 与 等价的充要条件是 与 有相同的不变因子。,与一般的数字矩阵一样，我们有下面的推论： 推论 矩阵 可逆的充要条件为 与单位矩阵等价。 推论 矩阵 可逆的充要条件为 可以表示成一系列初等矩阵的乘积。,初等因子和矩阵的相似 设 矩阵 的不变因子为 在复数域内将它们分解成一次因式的幂的乘积：,其中 是互异的复数， 是非负整数。因 为 ，所以满足如下关系,定义 在上式中，所以指数大于零的因子 称为 矩阵 的初等因子,例 如果 矩阵 的不变因子为,则 的初
5、等因子为,例 如果 矩阵 的秩为4，其初等因 子为,，求 的Smith标准形。,解：首先求出 的不变因子,从而 的Smith标准形为 定理 阶 矩阵 与 等价的充要条件是它们有相同的秩且有相同的初等因子。,定理 设 矩阵 为准对角形矩阵，则 与 的初等因子的全体是 的全部初等因子。 此定理也可推广成如下形式：,定理 若 矩阵 则 各个初等因子的全体 就是 的全部初等因子。,例 1 求 矩阵 的初等因子，不变因子与标准形。 解：记,那么 对于 ，其初等因子为 由上面的定理可知 的初等因子为 因为 的秩为4，故 的不变因子为,因此 的Smith标准形为,例 2 判断下面两个 矩阵是否等价？,例 3
6、 求下面 矩阵不变因子,例 4 求下列 矩阵的行列式 因子与不变因子,数字矩阵的相似与 矩阵的等价,定理： 设 是两个 阶的数字矩阵，那么 与 相似的充分必要条件为它们的特征矩阵 与 等价。 定义： 对于数字矩阵 ，我们称 的不变因子为 的不变因子，称 的初等因子为 的初等因子。,对于任何一个数字矩阵 所以 ，于是可得下面两个定理 定理： 两个同阶的方阵 相似的充分必要条件是它们有相同的初等因子。 定理：两个同阶的方阵 相似的充分必要条件是它们有相同的行列式因子（或不变因子）。 例 设 ，证明：,（1） 阶矩阵 与,相似； （2） 阶矩阵 与,不相似。 矩阵的Jordan标准形 定义： 称 阶
7、矩阵,为Jordan块。设 为Jordan块，称准对角形矩阵,为Jordan标准形矩阵。由前面的例题和定理可知Jordan块的初等因子为 ，从而Jordan标准形矩阵的初等因子为,于是可以得到下面的定理 定理： 设 的初等因子为 则 ，这里,其中 我们称 是矩阵 的Jordan标准形。特别地，我们有 定理： 可以对角化的充分必要条件是,的初等因子都是一次因式。 例 1 求矩阵 的Jordan标准形。 解： 先求出 的初等因子。对 运用初等变换可以得到,所以 的初等因子为,故 的标准形为 或,例 2 求矩阵 的Jordan标准形。 解： 先求出 的初等因子。对 运用初等变换可以得到,所以 的初等
8、因子为,故 的Jordan标准形为 或,求Jordan标准形的另一种方法：特征矩阵秩的方法. 具体操作步骤： （1）先求出该矩阵的特征多项式及其特征值 （2）其Jordan标准形的主对角线上都是 的特征值，并且特征值 在主对角线上出现的次数等于 作为特征根的重数。对于每个特征值 ，求出以它为主对角元的各级Jordan 块的数目 ，首先求出 那么以 为主对角元的 Jordan 块的总数是,这里 为该矩阵的阶数，而以 为主对角元的 级 Jordan 块的数目是 依次先求出 直至满足条件,为止。 （3）根据第二步求出的各级Jordan块的数目，就可以写出 的一个Jordan标准形。 例 1 用矩阵秩
9、的方法求出矩阵 的Jordan标准形。,解： 先求出 的特征多项式及其特征值。 对于特征值 ，它是 的1重根，从而 在 的 Jordan 标准形的主对角线上出现一次，因此 中主对角元为1 的Jordan块只有一个且它为一阶的。,对于特征值 ，先求 所以 从而,特征值 是 的两重根，从而 在 的Jordan标准形 的主对角线上出现两次，因此 中主对角元为 3的Jordan块只有一个且它为二阶的。故 的标准形为 或,例 2 用矩阵秩的方法求出矩阵 的Jordan标准形。 解：首先求出其特征值，显然其特征多项式为,所以 为 的4重根，从而 在 的 Jordan 标准形 的主对角线上出现四次，下面计算
10、 中主对角元为1 的Jordan块的数目，先计算 ， 容易得到 那么中主对角元为 的Jordan块数是 由此立即可得其Jordan标准形为,如何求相似变换矩阵？ 设 阶方阵 的Jordan标准形为 ,则存在可逆矩阵 使得,，称 为相似变换矩阵。对于相似变换矩阵的一般理论我们不作过多的讨论，只通过具体的例题说明求 的方法。 例 1 求方阵 的Jordan标准形及其相似变换矩阵 。,解： 首先用初等变换法求其Jordan标准形：,故 的初等因子为 从而 的Jordan标准形为 再求相似变换矩阵： 设所求矩阵为 ，则 ，对于 按列分块记为,于是有 从而可得,整理以后可得三个线性方程组 前面的两个方程
11、为同解方程组，可以求出它们的一个基础解系： 可以取 ，但是不能简单地取 ，这是因为如果 选取不当会使得第三个非齐次线性方程组无解。由于,的任意线性组合都是前两个方程组的解，所以应该取 使得第三个非齐次方程有解，即其系数矩阵与增广矩阵有相同地秩，容易计算出其系数矩阵的秩为1，从而应该使得增广矩阵 的秩也为1。即,容易看出只需令 就会使得上述矩阵的秩为1，于是 再由第三个方程解出一个特解为,，那么所求相似变换矩阵为 例 2 求方阵 的Jordan标准形及其相似变换矩阵 。,解： 首先用初等变换法求其Jordan标准形：,故 的初等因子为 从而 的Jordan标准形为 再求相似变换矩阵： 设所求矩阵
12、为 ，则 ，对于 按列分块记为,于是有 从而可得,整理以后可得三个线性方程组 前面的两个方程为同解方程组，可以求出它们的一个基础解系： 可以取 ，但是不能简单地取 ，这是因为如果 选取不当会使得第三个非齐次线性方程组无解。由于,的任意线性组合都是前两个方程组的解，所以应该取 使得第三个非齐次方程有解，即其系数矩阵与增广矩阵有相同地秩，容易计算出其系数矩阵的秩为1，从而应该使得增广矩阵 的秩也为1。即,容易看只要 就会使得上述增广矩阵的秩为1。令 ，于是 再由第三个方程解出一个特解为,，那么所求相似变换矩阵为 从而有,一般地，设 ，则存在 阶可逆矩阵 使得 其中 为Jordan块，记 这里,那么
13、有 记 ，又可得,注意： 是矩阵 的对应于特征值 的特征向量，特征向量 的选取应该保证特征向量 可以求出，同样特征向量 的选取应该保证特征向量 可以求出，依此类推，并且使得 线性无关。 Jordan标准形的某些应用 例 1 对于方阵,求 。 解：首先用初等变换法求其Jordan标准形：,故 的初等因子为,从而 的Jordan标准形为 再求相似变换矩阵 且 ，那么 按照前面例题的方式，容易计算出,从而,例 2 求解常系数线性微分方程组 解： 令,那么此方程组可表示成,由前面的例题可知存在 使得,作线性替换 从而可得 整理即得方程,首先得到两个很显然的解,然后再解第三个方程 其解为 这样得到,即
14、其中 为任意常数。 例 3 设 为数域 上的 阶方阵且满足 ，证明： 与对角矩阵,相似。 证明：设 的Jordan标准形为,即有可逆矩阵 使得 由于 ，所以有,从而 即,因此，只有当 为一阶矩阵时上面的矩阵等式才成立且 ，所以有 这说明 为一个对角矩阵且主对角线上的元素只能为1 或0，适当地调换主对角线上的元素次序可以得到方阵,此矩阵仍然与 相似。 例 4 设 为数域 上的 阶方阵且存在,正整数 使得 ，证明： 与对角矩阵相似且主对角线上的元素均为 次单位根。 证明：设 的Jordan标准形为,即有可逆矩阵 使得 由于 ，所以有 从而有,因此，只有当 为一阶矩阵时上面的矩阵等式 才成立，这样有 ，这表明 为对角矩 阵，所以 与对角矩阵相似。 例 5 试写出Jordan标准形均为 的两个矩阵。,解答：,这里 为任意的非零数。,再见！,再见！,
