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1、2016 经济联考线代 强化讲义整套汇总 2016 经济联考线代 强化讲义整套汇总 一行列式的基本知识一行列式的基本知识 知识点回顾知识点回顾 一行列式的定义一行列式的定义 n阶行列式 11121 21222 12 . . . . n n nnnn aaa aaa aaa 是一种运算法则， 它是行列式中所有取自不同行不同列不同行不同列n项 元素乘积的代数和代数和. 注：注： （1）由!n项组成，其中每一项都是行列式中n个不同行不同列元素的乘积，若将这n项元 素的行数按照自然顺序排列，假设此时其列数为 12 , ,., n i ii，当 12 , ,., n i ii为偶排列时，符号 为正；当
2、12 , ,., n i ii为奇排列时，符号为负，也即： 12 12 12 11121 , ,.,21222 12 , ,., 12 . . ( 1). . . n n n n i iin iini i ii nnnn aaa aaa a aa aaa . （2）若行列式中某行（或列）元素全为0，则该行列式的值为0. 二行列式的性质二行列式的性质 性质一：性质一：将行列式的行和列互换后，行列式的值不变，即 1112111211 2122212222 1212 . . . . . nn nn nnnnnnnn aaaaaa aaaaaa aaaaaa 性质二：性质二：将行列式的任意两行（或两列
3、）互换位置后，行列式的值改变符号. 推论1：推论1：如果行列式中有两行（或两列）元素相同，则行列式的值为0. 性质三：性质三：将行列式的某一行（或某一列）元素乘以一个常数k后，行列式的值变为原来的k 倍. 推论2：推论2：若行列式中某两行（或某两列）元素对应成比例，则该行列式的值为0. 性质四：性质四：若行列式中某一行（或某一列）的所有元素都可以写成两个元素的和，则该行列式 可以写成两个行列式的和， 这两个行列式的这一行 （或列） 分别为对应两个加数， 其余行 （或 列）的元素与原行列式对应相同，即 111211112111121 212222122221222 11221212 1212 .
4、 . . . . . nnn nnn iiiiininiiinii nnnnnnnn aaaaaaaaa aaaaaaaaa abababaaabb aaaaaa 12 . . . . in nnnn b aaa 推论3：推论3：将行列式的某行（或某列）元素的k倍加到另一行（或另一列）上，行列式的值不 变. 三行列式的展开定理三行列式的展开定理 1余子式与代数余子式1余子式与代数余子式 将行列式中元素 ij a所在的行和列划掉之后得到1n阶行列式，称之为元素 ij a的余子式余子式，记 作 ij M，即 111211111 212222121 1 11 211111 1 11 211111 1
5、211 . . . . . . . . njj njj iiijijin ij iiijijin nnnnn jn j aaaaa aaaaa aaaaa M aaaaa aaaaa 若给余子式加上符号则成为代数余子式代数余子式，记作( 1)i j ijij AM . 2展开定理展开定理 1）1）行列式的值等于其任何一行（或列）所有元素与其代数余子式乘积之和，即 1122 . 1,2,., iiiiinin Aa Aa Aa Ain 1122 . 1,2,.,. jjjjnjnj a Aa Aa Ajn 2）行列式某一行（或列）所有元素与另一行（或列）对应元素的代数余子式乘积之和为0， 即 1
6、122 1 .0, () n ijkjikikinkn j a Aa Aa Aa Aik 1122 1 .0, (). n jijkikiknink j a Aa Aa Aa Aik 考点精讲考点精讲 题型一低阶行列式的计算题型一低阶行列式的计算 （一）利用展开定理 【例 （一）利用展开定理 【例 1】设 100 010 001 001 a a a a A，求A. 【答案】【答案】 4 1 a 【例【例 2】计算行列式 0111 2022 3303 4440 . 【答案】【答案】72 （二）利用拉普拉斯展开定理（二）利用拉普拉斯展开定理 【例【例 3】计算行列式 11 22 33 44 00
7、00 00 00 ab ab ba ba . 【答案】【答案】 141 42323 ()()a abba ab b （三）利用范德蒙行列式 【例 （三）利用范德蒙行列式 【例 4】计算行列式 2222 3333 abcd abcd abcd bcdacdabdabc . 【答案】【答案】 abcdbacadacbdbdc 小结：小结： （1） ab adbc cd ； （2） 111213 212223112233122331132132112332122133132231 313233 aaa aaaa a aa a aa a aa a aa a aa a a aaa ； （3） 0 0 A
8、CA A B BCB -拉普拉斯展开；拉普拉斯展开； （4） 0 ( 1) 0 mn CBB A B AAC ； （5）范德蒙行列式）范德蒙行列式 21 111 21 123 222 2222 21 123 333 1 1111 21 123 111.11. .1. .=().1. : .1. n n n n nji ij n nnnn n n nnn aaa aaaaaaa aaaaaaaaa aaaaaaa -后减去前或者是大指标减去小指标后减去前或者是大指标减去小指标 题型二高阶行列式的计算题型二高阶行列式的计算 （一）三角化 【例 （一）三角化 【例 5】 0 1 2 11.1 1 1
9、,(0,1,., ) . 1 i n a a aain a . 【答案】【答案】 120 1 1 . n n i i a aaa a 【例【例 6】 . . . . . abbb babb bbab bbba . 【答案】【答案】 1 (1) () n anb ab （二）利用展开定理 【例 7】 （二）利用展开定理 【例 7】计算 210.00 121 .00 012.00 . 000.21 000.12 n D . 【答案】【答案】1n 小结：小结： （1） 11 2122 1122 12 0.0 .0 . . . nn nnnn a aa a aa aaa ； （2） 11121 222
10、 1122 . 0. . . 00. n n nn nn aaa aa a aa a ； （3） 1111,11 2,12212,1 ( ,1,2,1) 1,2,1,1 ,1 (1) 2 1,2,1,1 0.0. 0.0 ( 1) . .00 ( 1). nnn nnn n n nnn nnn nnnnn n n nnn aaaa aaaa a aa aaaa a aa 二行列式的综合应用二行列式的综合应用 知识点回顾知识点回顾 一.公式小结一.公式小结 1.1.| |=| T AA 2.2.|=| n kA kA 3.3.| | |ABA BBA 4.4. 11 |=| |AA 5.5. *
11、1 | |nAA 6.6. 0 0 ACA A B BCB 7.7. 0 ( 1) 0 mn CBB A B AAC 二行列式的应用二行列式的应用 1.1.n阶矩阵A可逆的充要条件为0A . 2.2.n阶矩阵A的伴随矩阵： 11211 12222* 12 . . . n n nnnn AAA AAA A AAA . 注：注： （1）伴随矩阵是通过代数余子式定义的，认识伴随矩阵的关键就是正确理解代数余子式的 概念. （2）伴随矩阵最重要的性质是AAA AA E * =，该等式是通过行列式按行和按列展开 定理证明的. 3. 克拉默法则3. 克拉默法则 设A为n阶矩阵，则线性方程组Axb=有唯一解的
12、充要条件是0A ,并且 i i D x D ，其 中DA, i D等于将A的第i列换成b之后所得矩阵的行列式. 推论：推论：Ax = 0有非零解的充要条件是0A . 6.秩 1） 6.秩 1）k阶子式：矩阵A中任取k行k列元素组成的行列式； 2）2）秩( )r A或者( )R A：A中非零子式的最高阶数； 3）3）常见公式：()( ), ( );,0( )( ). m nn k r ABr A r BABABr Ar Bn 考点精讲考点精讲 题型一抽象行列式的计算题型一抽象行列式的计算 （一） 利用行列式的性质（一） 利用行列式的性质 【例 1】【例 1】4 阶方阵 123 ,A ， 123
13、,B ，其中 123 , , 均为 4 维列 向量，且已知行列式4,1AB，计算行列式AB+. 【答案】【答案】40 （二） 利用矩阵运算（二） 利用矩阵运算 【例 2】【例 2】3 阶方阵 123 ,A ，2A ，计算行列式 123123123 ,23,49 . 【答案】【答案】4 （三） 利用相关公式（三） 利用相关公式 【例 3】【例 3】设A为 3 阶矩阵，3A , * A为A的伴随矩阵，若交换A的第一行与第二行得到 矩阵B,则 * BA _. 【答案】【答案】27 （四） 利用单位阵进行变形（四） 利用单位阵进行变形 【例 4】【例 4】设,A B为 3 阶矩阵, 且 1 3,2,2
14、ABAB ，则 1 AB_. 【答案】【答案】3 三矩阵的概念及运算三矩阵的概念及运算 知识点回顾知识点回顾 一基本概念基本概念 1.矩阵的定义1.矩阵的定义 由m n 个数 (1,2,.,;1,2,., ) ij a im jn 排列成的m行n列数表 11121 21222 12 . . . . n n mmmn aaa aaa aaa 称为m n 矩阵矩阵，简记为 ij m n Aa .当n m 时，A也称为n阶方阵阶方阵. 两个矩阵 ij m n Aa ij s k Bb ，如果,ms nk,则称它们为同型矩阵.同型矩阵. 如果两个同型矩阵 ij m n Aa ij m n Bb 对应的元素相等，也即 (1,., ;1,.,) ijij ab in jm ，则称矩阵A与矩阵B相等相等，记作.AB 2.特殊矩阵2.特殊矩阵 1）零矩阵：1）零矩阵：所有元素均为0的矩阵称之为零矩阵零矩阵，记为O. 2）对角矩阵：2）对角矩阵：主对角线以外的元素均为0的矩阵称之为对角矩阵对角矩阵. 3）数量矩阵：3）数量矩阵：主
