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1、1 高等数学 第一章函数、极限与连续 高等数学 第一章函数、极限与连续 模块一函数模块一函数 一函数的概念一函数的概念 【定义 1.1】【定义 1.1】 若D为一个非空实数集合，设有一个对应法则f，使得对每一个xD都有一个唯一确定 的实数y与之对应，则称这个对应法则f为定义在D上的一个函数函数，或称变量y是变量x的函数，记作 ( ),yf x xD.其中x称为自变量自变量，y称为因变量因变量，集合D称为函数的定义域定义域，也可以记作( )D f.对 于 0 xD所对应的y的值，记作 0 y或 0 ()f x，称为当 0 xx时函数( )yf x的函数值函数值.全体函数值组成 的集合( ),y
2、yf x xD，称为函数( )yf x的值域值域，记作f D. 二函数的运算二函数的运算 1、四则运算 2、复合函数 1、四则运算 2、复合函数 设 1 ( ),yf u uD与 2 ( ),ug x xD为两个函数， 若( )g x的值域 2 g D包含于( )f u的定义域 1 D， 则可以定义 2 ( ( ),yf g xxD为函数( )f u与( )g x的复合函数复合函数，记作( ( )yf g x或fg. 【例 1】【例 1】 设 2 2 ,0 ( ) ,0 x x f x xx ，试求( ( )f f x与( ( ( )f f f x 答案：答案： 48 4 ,08 ,0 ( (
3、 ),( ( ( ) ,0,0 x xx x ff xfff x xxxx 3、反函数 （1）反函数的定义 3、反函数 （1）反函数的定义 设( )yf x为定义在D上的一个函数，其值域为f D.若对于每一个yf D，均有唯一确定的 x使得 fxy与之对应，则将该对应法则记作 1 f ，并这个定义在f D上的函数 1 xfy 称为函 数( )yf x的反函数反函数，或称它们互为反函数. （2）存在反函数的充要条件（2）存在反函数的充要条件 2 函数( )yf x存在反函数的充要条件是，对于定义域D中任意两个不同的自变量 12 ,x x，有 12 fxfx. （3）反函数的性质（3）反函数的性质
4、 ）函数( )yf x与其反函数 1( ) yfx 的图像关于直线yx对称. ）设函数( )yf x的定义域为, a b，值域为, ，若( )yf x在, a b上单调递增（或递减） ，则 ( )yf x在, a b上存在反函数，且 1( ) xfy 在, 上单调递增（或递减）. 三基本性质三基本性质 1、单调性 （1）定义 1、单调性 （1）定义 对于函数( ),yf x xD，若在某区间I内的任意两点 12 xx，均满足 12 ( )()f xf x（或 12 ( )()f xf x） ，则称函数( )f x在I上单调递增单调递增（或单调递减）或单调递减） ，并称I为( )f x的一个单调
5、增区间单调增区间（或 单调减区间单调减区间）.若对区间I内的任意两点 12 xx均有 12 ( )()f xf x（或 12 ( )()f xf x） ，则称函数( )f x 在I上单调不减单调不减（或单调不增单调不增）. （2）性质（2）性质 若 12 ( ),( )f xfx均为增函数（或减函数） ，则 12 ( )( )f xfx亦为增函数（或减函数）. 设( )f x为增函数，若常数0C ，则( )Cf x为增函数；若常数0C ，则( )Cf x为减函数. 若函数( )yf u与( )ug x增减性相同，则( ( )yf g x为增函数；若函数( )yf u与( )uf x增减 性相反
6、，则( ( )yf g x为减函数. 2、周期性 （1）定义 2、周期性 （1）定义 对于函数( ),yf x xD，若存在正数T，使得对D内的任意一点x都有()( )f xTf x，则称 ( )f x为一个周期函数周期函数，而T为( )f x的一个周期.易知若T为( )f x的一个周期，则对任意的整数n，nT 亦为( )f x的周期.在( )f x的所有周期中，我们把其中最小的正数称为最小正周期最小正周期. （2）性质（2）性质 若( )f x以T为最小正周期，则对任意的非零常数C，( )Cf x仍然以T为最小正周期，()f Cx以 T C 为 最小正周期. 3 若 12 ( ),( )f
7、xfx都以T为周期，则 1 122 ( )( )k f xk fx仍以T为周期（ 12 ,k kR）.注意此时最小正周期有 可能缩小， 如 12 ( )cos2sin ,( )sinf xxx fxx都以2为最小正周期， 但 12 ( )( )cos2f xfxx以为 最小正周期. 3、奇偶性 （1）定义 3、奇偶性 （1）定义 对于函数( ),yf x xD，若对D内的任意一点x，均有()( )fxf x（或()( )fxf x ） ，则 称( )f x为一个偶函数偶函数（或奇函数奇函数）. （2）常见的奇偶函数（2）常见的奇偶函数 常见的奇函数： 2 ,sin ,tan ,cot ,ln1
8、 k yxkyx yx yx yxx为奇数, 常见的偶函数：,cos , k yxkyx yx为偶数, （3）性质（3）性质 偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于原点对称 若 12 ( ),( )f xfx均为奇函数（或偶函数） ，则对任意的常数 12 ,k kR， 1 122 ( )( )k f xk fx仍为奇函数（或 偶函数） 若 12 ( ),( )f xfx奇偶性相同，则 12 ( )( )f x fx为偶函数；若 12 ( ),( )f xfx奇偶性相反，则 12 ( )( )f x fx为奇函 数 对于任意定义在对称区间上的函数( )f x，fx、 ( )() 2 f xf
9、x 与( ) ()f x fx均为偶函数；而 ( )() 2 f xfx 为奇函数 任 何 定 义 在 对 称 区 间 上 的 函 数( )f x均 可 写 成 一 个 奇 函 数 与 一 个 偶 函 数 之 和, ( )()( )() ( ) 22 f xfxf xfx f x . 4、有界性 （1）定义： 4、有界性 （1）定义： 设( ),yf x xD为一个函数，若存在一个实数M，使得对D内任意的一点x，均有( )f xM， 则称函数( )f x在D内有上界有上界， 并称M为函数( )f x在D内的一个上界上界； 若存在一个实数m， 使得对D内 任意的一点x，均有( )f xm，则称函
10、数( )f x在D内有下界有下界，并称m为函数( )f x在D内的一个下界下界. 若函数( )f x在D内既有上界又有下界，则称( )f x在D内有界有界. 4 （2）常见的有界函数：（2）常见的有界函数： ( )sin , ( )1 1,0 ( )sgn( )0,0 ( )1 1,0 ( )arcsin ,1,1 ( ) 2 f xxf x x f xxxf x x f xx xf x 【例 2】【例 2】 讨论下列函数在其定义域内的有界性 （1） 2 1 x x ， （2）sin 1 x e x ， （3）sinxx 答案：答案： （1）有界； （2）有界； （3）无界 四函数分类四函数分
11、类 1、基本初等函数：1、基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数与反三角函数称为基本初等函数基本初等函数. 以下为几个常见的基本初等函数的图像及性质： 2、初等函数：2、初等函数：由基本初等函数经过有限次四则运算以及复合后并可用一个式子表达的得到的函数统称为 初等函数初等函数. 3、分段函数：3、分段函数： 1 2 ( ), ( ) ( ), g xxI f x h xxI （1）符号函数：（1）符号函数： 1,0 sgn0,0 1,0 x xx x （2）绝对值函数：（2）绝对值函数： ( ),( )0 |( )| ( ),( )0 f xf x f x f xf x （3）取整
12、函数：（3）取整函数：( )f x：不超过( )f x的最大整数部分 （4）最大值函数：（4）最大值函数： ( ),( )( ) max( ), ( ) ( ),( )( ) f xf xg x f x g x g xf xg x （5）最小值函数：（5）最小值函数： ( ),( )( ) min( ), ( ) ( ),( )( ) g xf xg x f x g x f xf xg x 4、隐函数：4、隐函数：由形如,0F x y 的方程确定的函数关系( )yy x，一般没有明显的函数表达式 5、参数方程：5、参数方程： ( ) ( ) xt yt ，,t 5 6、极限函数：6、极限函数：
13、如 ( )lim 11 n nx f x n x 7、积分上限函数：7、积分上限函数：( )( ) x a F xf t dt 模块二 极限模块二 极限 一概念一概念 1、函数极限 （1） 【定义 1.2】 1、函数极限 （1） 【定义 1.2】 设函数( )f x在 0 x的某去心邻域内有定义，若存在实数A，使得0 ，0， 当 0000 ,xxxxx时，有( )|f xA|，则称( )f x在 0 x点处的极限值极限值为A，记作 lim( ) xa f xA . 设函数( )f x在 0 x的某左邻域内有定义，若存在实数A，使得0 ，0，当 00 ,xxx 时，有( )|f xA|，则称(
14、)f x在 0 x点处的左极限左极限为A，记作lim( ) xa f xA . 类似地，可以定义右极限右极限. 左极限和右极限极限通常称为单侧极限 （2）【定义 1.3】（2）【定义 1.3】设函数( )f x在,XX上有定义 （X为某正数） ， 若存在实数A， 使得0 ， 0M ，当xM时，有( )|f xA|，则称当x 时( )f x的极限值极限值为A，记作lim( ) x f xA . 类似地，可以分别定义x 和x 时( )f x的极限lim( ) x f x 和lim( ) x f x . 2、数列极限 【定义 1.4】 2、数列极限 【定义 1.4】 对于数列 n x，若存在实数a，
15、使得0 ，0N ，当nN时，有| n xa|， 则称数列 n x收敛于收敛于a，记作lim n n xa . 3、无穷小量和无穷大量 （1）无穷小量 【定义 1.5】 3、无穷小量和无穷大量 （1）无穷小量 【定义 1.5】 若在某极限过程x 中（x 可以表示上述七种极限过程中的任何一种，下同） ，函数 ( )f x的极限值为0，也即lim( )0 x f x ，则称( )f x为当x 时的无穷小量无穷小量. （2）无穷大量（2）无穷大量 【定义 1.6】【定义 1.6】 若在某极限过程x 中，函数( )f x的函数值无限增大，则称函数( )f x为该极限过程中 的无穷大量无穷大量. 6 （3
16、）无穷小量和无穷大量的关系：（3）无穷小量和无穷大量的关系： 若x 时，( )f x为无穷大量，则 1 ( )f x 在同一极限过程中为无穷小量； 若x 时，( )f x为无穷小量，且( )0f x ，则 1 ( )f x 在同一极限过程中为无穷大量 （4）无穷小的比较 【定义 1.7】 （4）无穷小的比较 【定义 1.7】 设在某极限过程x 中，函数( ),( )xx都为无穷小量，并且都不为0. 若 ( ) lim0 ( ) x x x ，则称当x 时，( ) x为( ) x的高阶无穷小量高阶无穷小量，或( ) x为( ) x的低阶无穷小量低阶无穷小量，记 作( )( ( )xox； 若 ( ) lim0 ( ) x x C x ，则称当x 时，( ) x与( ) x同阶无穷小量同阶无穷小量， 则 ( ) lim1 ( ) x x x
