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1、Econometrics计量经济学攸频南开大学经济学院数量经济研究所,第六章 自相关 Autocorrelation,6.1 基本概念、类型及来源 6.2 自相关的后果 6.3 自相关的检验（DW检验、LM检验） 6.4 自相关的修正（GLS） 6.5 案例,6.1 自相关的概念,6.1.1 基本概念 6.1.2 自相关的类型 6.1.3 自相关的来源,6.1.2 自相关的类型,(1) 一阶自回归形式 当误差项ut只与其滞后一期值有关时，即 ut = f (ut - 1), 称ut具有一阶自回归形式。如： (2) 高阶自回归形式 当误差项ut的本期值不仅与其前一期值有关，而且与其前若干期的值都
2、有关系时，即 ut = a1 ut 1+a2 ut 2 + vt 则称ut 具有高阶自回归形式。,经济模型中最常见的是一阶自回归形式。,即一阶线性自回归形式的自回归系数等于该两个变量的相关系数。,自相关的表现形式,6.1.3 自相关的来源,（1）惯性 大多数经济时间数据都有一个明显的特点，即具有惯性。 如：经济周期 棘轮效应,（2）设定偏误：模型中遗漏了显著的变量,例如：如果对羊肉需求的正确模型应为 Yt=0+1X1t+2X2t+3X3t+ut 其中：Y=羊肉需求量，X1=羊肉价格，X2=消费者收入， X3=牛肉价格。 如果模型设定为 Yt=0+1X1t+2X2t+vt 那么该式中的随机误差项
3、实际上是：vt= 3X3t+ut 于是在牛肉价格影响羊肉消费量的情况下，这种模型设定的偏误往往导致随机项中有一个重要的系统性影响因素，使其呈序列相关性。,(3) 设定偏误：不正确的函数形式,例如：如果总成本模型应为： Yt= 0+1Xt+2Xt2 +3Xt3+ut 其中：Y=边际成本，X=产出。 但建模时设立了如下模型： Yt= 0+1Xt+vt 因此，由于vt= 2Xt2 +3Xt3+ut，包含了 产出的平方项和立方项对随机项的系统性影响，随机项也呈现序列相关性。,(4) 蛛网现象,例如，农产品供给对价格的反映本身存在一个滞后期： 供给t= 0+1价格t-1+ut 这意味着，农民由于在年度t
4、的过量生产（使该期价格下降）很可能导致在年度t+1时削减产量，因此不能期望随机干扰项是随机的，往往产生一种蛛网模式。,6.2 自相关的后果,回归系数的OLS估计量仍具有无偏性和一致性，但不再具有最小方差性。 当ut存在自相关时，误差项的实际方差增大，OLS有可能低估ut的方差，低估1估计值的方差。 t 检验和F 检验是不准确的 估计的 t 值变大，从而拒绝原假设i=0的可能性增大，检验失去意义（即系数的显著性检验容易被通过，而实际上该系数可能是不显著的）。R2常常被高估。 预测失效,6.3 自相关的检验,6.3.1 图示法 6.3.2 DW（Durbin-Watson）检验法 6.3.3 LM
5、检验（亦称BG检验）法 6.3.4 回归检验法,基本思路,序列相关性检验方法有多种，但基本思路是相同的： 1. 首先采用OLS估计模型，以求得随机误差项的“近似估计量”残差：,2.通过分析 之间的相关性，以达到判断随机误差项是否具有序列相关性的目的。,6.3.1 图示法,如果随机误差项含有序列相关，必然会有残差项反映出来。因此，可以利用残差项et 对时间t 的序列图来判断随机项的序列相关性。, U, U, 2 (1- ),6.3.2 DW（Durbin-Watson）检验法,DW检验法的适用条件,(1) 误差项ut的自相关为一阶自回归形式 (2) 因变量的滞后值yt-1不能在回归模型中作解释变
6、量 (3) 样本容量应充分大（T 15）,DW 统计量的构造,H0: = 0 (ut 不存在一阶自相关)； H1: 0 (ut 存在一阶自相关) 用残差值计算统计量DW：,DW=,若 0 DW dL 则存在一阶正自相关 4-dL DW 4 则存在一阶负自相关 dU DW 4- dU 则认为非自相关 4- dU DW 4- dL 则不能确定,判别规则,当DW值落在“不确定”区域时，有两种处理方法： 加大样本容量或重新选取样本，重作DW检验。 有时DW值会离开不确定区。 选用其它检验方法。 DW检验临界值与三个参数有关（附表4）,临界值与3个参数有关： （1）检验水平 （2）样本容量T （3）原回
7、归模型中解释变量个数k（不包括常数项）。,DW检验的具体步骤： (1) H0: = 0 (ut 不存在一阶自相关)； H1: 0 (ut 存在一阶自相关) (2) 用残差值计算统计量DW的值： (3) 根据样本容量n和解释变量数目k查DW分布表，得到临界值dL和dU (4) 按照下列准则考察计算得到的DW值，以判断模型的自相关状态: 若DW取值在(0, dL)之间，拒绝原假设H0 ,认为ut 存在一阶正自相关。 若DW取值在(4 - dL , 4)之间，拒绝原假设H0 ,认为ut 存在一阶负自相关。 若DW取值在(dU, 4- dU)之间，接受原假设H0 ,认为ut 非自相关。 若DW取值在(
8、dL, dU）或（- dU, 4 - dL）之间，这种检验无法判别。,DW =,BG检验是通过一个辅助回归式完成的，以多元回归模型为例： yt = 0+1xt1+2 xt2+ k 1 xk-1 t + ut (a) 考虑误差项为n 阶自回归形式： ut = 1 ut-1 + + n ut - n + vt (b) 其中vt 为随机项，符合各种假定条件。BG检验的具体步骤如下： (1) 提出误差项不存在n 阶自相关的假设条件： H0: 1 = 2 = = n = 0 (2) 用OLS估计式(a)得到的残差建立辅助回归式， 估计此辅助回归式的可决系数R2 (3) 构造LM统计量， LM = TR2
9、 2(n) （其中n为(b)式中自回归阶数） (4) 判别规则 若LM = T R2 2(n)，接受H0，认为不存在n 阶自相关； 若LM = T R2 2(n)，拒绝H0；认为存在n 阶自相关。,6.3.3 LM检验（BG检验）法,DW统计量只适用于一阶自相关检验，而对于高阶自相关检验并不适用。 利用BG统计量可建立一个适用性更强的自相关检验方法，即，BG统计量既可检验一阶自相关，也可检验高阶自相关。,DW检验法与LM检验法的比较,6.3.4 回归检验法（不考）,(1) 用给定样本估计模型并计算残差。,用OLS进行不同形式的回归拟合，如,(2) 对残差序列,(3) 对上述各种拟合形式进行显著
10、性检验，从而确定 误差项ut存在哪一种形式的自相关。,回归检验法的步骤如下：,回归检验法的优点： （1）适合于任何形式的自相关检验。 （2）若结论是存在自相关，则同时能提供出自相关的具体形式与参数的估计值。 回归检验法的缺点：计算量大。,6.4 自相关的修正,如果自相关是由于错误地设定模型的数学形式所致，那么就应修改模型的数学形式。方法是用残差et 对解释变量的较高次幂进行回归。 如果自相关是由于模型中省略了重要解释变量造成的，那么解决办法就是找出略去的解释变量，把它做为重要解释变量列入模型(怎样查明自相关是由于略去重要解释变量引起的？一种方法是用残差et对那些可能影响被解释变量，但又未单列入
11、模型的解释变量回归，并作显著性检验)。 只有当以上两种引起自相关的原因都排除后，才能认为误差项ut 真正存在自相关。 在这种情况下，解决办法是变换原回归模型，使变换后模型的随机误差项消除自相关,称作广义最小二乘法。,6.4.1 广义最小二乘法（GLS）,广义最小二乘法(矩阵形式介绍),对于模型 Y=XB+N （1） 如果存在序列相关，同时存在异方差，即有,设 =DD 用D-1左乘(1)两边，得到一个新的模型： D-1 Y=D-1 XB+D-1 N 即 Y*=X*B+N* （2） 该模型具有同方差性和随机误差项互相独立性。,于是，可以用OLS法估计模型(2)，得,这就是原模型(1)的广义最小二乘
12、估计量(GLS estimators)， 是无偏的、有效的估计量。,考虑模型：Yt=0 + 1 Xt + ut 其中， ut=1 ut-1 + vt 即误差项服从AR(1)模式，其中vt为白噪声误差项。在考虑一阶自回归情况下，写出估计此模型的步骤。,习题1,考虑模型：Yt=0 + 1 Xt + ut 其中， ut=1 ut-1+ 2 ut-2 + vt 即误差项服从AR(2)模式，其中vt为白噪声误差项。在考虑二阶自回归情况下，写出估计此模型的步骤。,习题2,高阶自相关的广义差分法： 如果模型存在n 阶自相关： ut= 1ut-1+ 2 ut-2+ n ut-n+vt 可以将原模型变换为： y
13、t- 1yt-1- - n yt-n= 0(1- 1- - n )+ 1(xt- 1xt-1 - n x t- n )+vt,用DW统计量进行估计。,首先利用残差求出DW统计量的值，然后计算自回归系数的估计值。,注意：用此法时样本容量不宜过小。 此法不适用于被解释变量滞后项做解释变量的模型。,2. 直接拟合估计 。,应用广义差分法，必须已知不同样本点之间随机误差项的相关系数1, 2, n。实际上，我们并不知道它们的具体数值，所以必须首先对它们进行估计。常用的方法有:,6.4.2 自相关系数的估计,6.5 案例分析,Yt 和 Xt 散点图 残差图,例6.2 天津市保费收入和人口的回归关系,本案例
14、主要用来展示当模型误差项存在2阶自回归形式的自相关时，怎样用广义差分法估计模型参数。 19671998年天津市的保险费收入（Yt，万元）和人口（Xt，万人）数据散点图见图。Yt与Xt的变化呈指数关系。对Yt取自然对数。LnYt与Xt的散点图见图。 可以在LnYt与Xt之间建立线性回归模型。LnYt = 0 + 1 Xt + ut,Yt和Xt散点图 LnYt和Xt散点图,判断正误： （1）当自相关出现时，OLS估计量是偏误的和非有效的。 （2）DW检验假定误差项的方差有同方差性。 （3）用一阶差分法变换消除自相关是假定自相关系数为-1。 （4）如果一个是一阶差分形式的回归，另一个是水平形式的回归
15、，那么这两个模型的R2是不能直接比较的。 （5）一个显著的DW值不一定意味着一阶自相关。 （6）把一个（或多个）重要的解释变量从模型中排除出去可能会导致一个显著的DW值。,习题,给定一个样本容量为50的样本和4个解释变量，如果 （1）DW=1.05，（2）DW=1.40， （3）DW=2.50，（4）DW=3.97 如何分析自相关的问题？,习题,习题,在研究生产中的劳动在增值中所占的份额的变动时，考虑如下模型： 模型A：Yt =0+1 t +ut 模型B：Yt =0+1 t + ut 其中Y为劳动份额。根据1949-1964年的数据，对初级金属工业得到： 模型A：Yt = 0.4529-0.0041 t + ut (-3.9608) R2=0.5284 DW=0.8252 模型B：Yt = 0.4786-0.0127 t+0.0005 t 2+ ut (-3.2724) (2.7777) R2=0.629 DW=1.82 其中，括号中为t值。请问模型A中有没有自相关呢？模型B呢？ 结合本例如何认识自相关？,根据某地区居民对农产品的消费y和居民收入x的样本资料，应用最小二乘法估计模型，估计结果如下，拟合效果见图。 （1）试
