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1、第 14 讲 估计与估算1992 年小学数学奥林匹克初赛（B）卷第 3 题是：的结果是 x。那么，与 x 最接近的整数是_。这道题并不要求求 x，而求“与 x 最接近的整数”，这就是估计或估算。估计与估算是一种十分重要的算法，在生活实践和数学解题中有广泛的应用，其表现形式通常有以下两种：（1）省略尾数取近似值，即观其“大概”；（2）用放大或缩小的方法来确定某个数或整个算式的取值范围，即估计范围。例 1 A=1234567891011121331211101987654321，求 A 的小数点后前 3 位数字。解：A12343122=0.3952A123531210.3957所以 0.3952A
2、0.3957，A 的小数点后前 3 位数是 395。说明：上述解法是采用放缩法估计范围解答的，本题还可采用取近似值的办法求解。解法如下：将被除数、除数同时舍去 13 位，各保留 4 位，则有123431210.39530.395。得它们的和大于 3，至少要选多少个数？解：要使所选的数尽量少，所选用的数就应尽量大，所以应从开头依次选。首先注意到：从而所以，至少应选 11 个数。说明：（1）上述解答是采用取近似值的办法估值的，也可以利用放缩法估值解答。解法如下：所以，至少应选 11 个数。（2）以上解答过程中包括两个方面，其一是确定选数的原则；其二是验算找到“分界声、”，而这里的验算只是一种估计或
3、估算，并不要求精确。（3）类似的问题是至少取出多少个数，才能使取出的数的和大于 2？答案是 7，请读者自己练习。例 3 右面的算式里，每个方框代表一个数字。问：这 6 个方框中的数字的总和是多少？解：每个方框中的数字只能是 09，因此任两个方框中的数字之和最多是 18。现在先看看被加数与加数中处于百位的两个数字之和，这个和不可能小于 18，因为不管它们后面的两个二位数是什么，相加后必小于 200，也就是说最多只能进 1。这样便可断定，处于百位的两个数字之和是 18，而且后面两位数相加进 1。同样理由，处于十位的两个数字之和也是 18，而且两个个位数字相加后进 1。因此，处于个位的两个数字之和必
4、是 17。所以，6 个方框中数字之和为 181817=53。例 4 如果两个四位数的差等于 8921，就说这两个四位数组成一个数对，那么这样的数对共有多少个，解：最小的四位数是 1000，与 1000 组成一个数对的另一个四位数是 89211000=9921，也就是最小一个数对是 9921 与 1000。同时由最大的四位数是 9999，可知共有9999-（99211）=79（个）不同的被减数。所以，这样的数对共有 79 个。说明：解答的关键在于确定符合条件的的最小数对（9921，1000），同时因为有几个不同的被减数，就有几个不同的减数相对应地存在，所以我们只要考虑有几个不同的被减数即可。例
5、5 七位数 17562的未位数字是几时，不管千位上是 09 中的哪一个数字，这个七位数都不是 11 的倍数？解：因为 1750620111591473，1759629111599663，所以这个七位数是 11 的倍数的最小值是 1750628，最大值是1759626。又因为 1001=71113，由数的整除性质，可知 1750628 加上若干个 1001，或 1759626 减去若干个 1001 后，其值也是 11 的倍数。这样1750628，1751629，1759626，1758625，1757624，1756623，1755622，1754621，1753620 都是 11 的倍数。由上
6、述讨论可知七位数 17562的末位数字是 7 时，不管其千位上是 0 到 9 中的哪一个数字，这个七位数都不是 11 的倍数。说明：上述解法是利用估算确定出取值范围再进行讨论。此题也可由能被 11 整除的数的特征入手解决。留给读者思考。例 6 小明的两个衣服口袋中各有 13 张卡片，每张卡片上分别写着1，2，3，13。从这两个口袋中各拿出 1 张卡片并计算 2 张卡片上的数的乘积，可以得到许多不相等的乘积。那么，其中能被 6 整除的乘积共有多少个？解：根据题意可知，在所得到的许多不相等的乘积中，最小值是 11=1，最大值是 1313=169，并且 1 与 169 都不能被 6 整除，这样，在得
7、到的许多不相等的积中，能被 6 整除的最小值是 16=6，最大值是1312=266，而介于 16 与 266 之间的能被 6 整除的数并非每个都是 2 张卡片上的数的积，如 256，236， 216，196，176 这五个就不是。所以，这些积中能被 6 整除的数共有26-5=21（个）。说明：解答这类问题要特别注意：不能简单地根据最小值是 6 的 1倍，最大值是 6 的 26 倍，就错误地下结论是 26 个。如果取每个数的整数部分（例如 1.64 的整数部分是 1，解：关键是判断从哪个数开始整数部分是 2。因为 2-1.64=0.36，我们11192=49。例 8 有一列数，第一个数是 105
8、，第二个数是 85，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的平均数，那么第 19 个数的整数部分是几？总介于这两个数之间，所以后面各数的整数部分均为 91，当然第 19 个数的整数部分也为 91。说明：注意到每个正数都介于两个相邻整数 n 和 n1 之间，或者写成 nan1，此时 n 就是 a 的整数部分。因此确定某个正数的整数部分，实际上就是去估计它介于哪两个相邻自然数之间。例 9 求下式中 S 的整数部分：解：根据“一个分数，当分子不变而分母变大时，分数值变小；当分子不变，分母变小时，分数值变大”对 S 的分母进行放缩。不但非常麻烦，而且容易出错。为了求得一个数大概是多少，我们采用放缩法，
9、以确定它的范围，也就是估值。放缩是解答估值问题的一种常用方法。在用这种方法时，一定要注意放缩要适当，要合情合理。一个类似的问题是答案是 19。例 10 学校组织若干人参加夏令营。先乘车，每个人都要有座位，这样需要每辆有 60 个座位的汽车至少 4 辆。而后乘船，需要定员为 70人的船至少 3 条。到达营地后分组活动，分的组数跟每组的人数恰好相等。这个学校参加夏令营的人有多少？解：由“每辆有 60 个座位的汽车至少 4 辆”可知，参加夏令营的人数在（6031=）181（604=） 240 人之间。由“需要定员为 70 人的船至少 3 条”可知，参加夏令营人数在（7021=）141（703=）21
10、0 人之间。这样，参加夏令营的人数在 181210 人之间。又由“分的组数和每组人数恰好相等”可知，参加夏令营的人数一定是一个平方数。而181210 之间只有 196 是平方数，所以参加夏令营的人数是 196。说明：解答此题的关键是估计人数的范围：从乘车来看，1第四辆车人数60，从乘船来看，1第三条船人数70，所以，181夏令营的人数210。例 11 将自然数按如下顺序排列：1 2 6 7 15 16 3 5 8 14 17 4 9 13 10 12 11 在这样的排列下，数字 3 排在第 2 行第 1 列，数字 13 排在第 3 行第3 列。问：数字 168 排在第几行第几列？分析：我们来分
11、析一下给出数阵中每一斜行的规律。这里第 2 斜行的数字是 3，2；第 3 斜行的数字是 4，5，6；余此类推。仔细观察后我们发现：奇数斜行中的数字由下向上递增，偶数斜行中的数字由上向下递增，我们只要找出 168 位于第几斜行，再换算成原数阵中的第几行第几列，问题便解决了。18斜行最大的数字是 171，所以 168 位于第 18 斜行。第 18 斜行中的数字是由上向下递增，因此，168 位于第 18 斜行由上向下数第（168-153=）15 位，换算成原数阵的行和列，便是第 15 行，第（18-151=）4 列。解法 2：为方便起见，可将数阵按顺时针方向旋转 45，则原数阵变为13 24 5 6
12、10 9 8 711 12 13 14 15 设 168 位于上述数阵的第 n 行，则12（n1）16812n，可见，n 应为 18，即 168 位于上述数阵中的第 18 行。又 168-153=15，18-151=4，由数阵排列次序可知 168 位于上述数阵的第 18 行从左数第 4 个数，从右数第 15 个数。将上述数阵还原为题中数阵，168 在第 15 行第 4 列的位置上。例 12 唐老鸭与米老鼠进行万米赛跑，米老鼠每分钟跑 125 米，唐老鸭每分钟跑 100 米。唐老鸭手中掌握着一种迫使米老鼠倒退的电子遥控器，通过这种遥控器发出第 n 次指令，米老鼠就以原来速度的n10倒退一分钟，然
13、后再按原来的速度继续前进。如果唐老鸭想在比赛中获胜，那么它通过遥控器发出指令的次数至少是多少次？解：唐老鸭跑完 1 万米需要 100 分钟。设唐老鸭在 100 分钟内共发出 n 次迫使米老鼠倒退的指令，则在 100 分钟内米老鼠有 n 分钟的时间在倒退，有（100-n）分钟的时间在前进，依题意有125（100-n）-125（0.10.120.130.1n）10000，整理得 n（n21）400。当n=12 时， n21=33，1233=396400。当n=13 时，n21=34，1234=442400。所以 n 至少等于 13，即遥控器发出指令的次数至少是 13 次。练习 14的结果是 x，求
14、与 x 最接近的整数。2. 五名选手在一次数学竞赛中共得 404 分，每人得分互不相等，并且其中得分最高的选手是 90 分。问：得分最低的选手至少得多少分？3.有 15 个自然数，去掉最大的数后，平均数约等于 2.5；去掉最小的数后，平均数约等于 2.8。求最大数与最小数之差。4.小华计算七个自然数的平均数（得数保留两位小数）时，将得数最后一位算错了。他的错误答案是 21.83，正确答案应是多少？5.有一算式，左边方框里都是整数，右边答案写出了四舍五入后的近似值：问：算式左边三个方框里的整数从左至右依次是多少？6，一本书的中间被撕掉了一张，余下各页码数的和正好是 1000。问：（1）这本书有多
15、少页？（2）撕掉的是哪一张？7. 8.011.248.021.238.031.22 的整数部分是多少？练习 14 1.24。所以与 x 最接近的整数是 24。2.50 分。解：在五名选手总分一定的条件下，根据最高得分为 90 分，且为互不相等的整数，当除得分最高和最低的两名选手外的另外三名得分为89，88，87 分时，得分最低的选手分数最少，最少是 404-（90+89+88+87）=50（分）。3.4。解：142.45=34.3，142.55=35.7，因为去掉最大数后 14个数的和是自然数，所以去掉最大数后的 14 个数的和是 35。同理可求出，去掉最小数后的 14 个数之和是 39。所以最大数与最小数相差 39-35=4。4.21.86。解：设平均数的正确答案是 x。根据小华错误答案的最后一位算错的条件，可知21.795x21.895，152.5657x153.265。因为 7x 是自然数，所以它只能是 153。这样，平均数的正确答案是 153721.86。5.1，2，3。解：采用估值的办法先确定算式的精确值所在范围。因为 1.16 是这个精确值四舍五入后得到的，所以它一定介于 1.155 与 1.164 之间。即通分后得到将上式扩大 105 倍得121.27535+21+15122.325。因为每个方格中是一个整数，所以35+21+
