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1、第 10 讲 应用问题选讲我们知道，数学是一门基础学科。我们在学校中学习数学的目的，一方面是为学习其它学科和学习更深的数学知识打下一个基础，更重要的是为了现在和将来运用所学的数学知识去解决一些日常生活、科学实验、工农业生产以及经济活动中所遇到的实际问题。运用数学知识解决实际问题的基本思路是：先将这个实际问题转化为一个数学问题（我们称之为建立数学模型），然后解答这个数学问题，从而解决这个实际问题。即：这里，建立数学模型是关键的一步。也就是说，要通过审题，将实际问题与自己学过的数学知识、数学方法联系起来，将其归结到某一类型的数学问题，然后解答这个数学问题。下面介绍一些典型的数学模型。一、两个量变化
2、时，和一定的问题两个变化着的量，如果在变化的过程中，它们的和始终保持不变，那么它们的差与积之间有什么关系呢？观察下面的表：我们不难得出如下的规律：两个变化着的量，如果在变化的过程中，和始终保持不变，那么它们的差越小，积就越大。若它们能够相等，则当它们相等时，积最大。这个规律对于三个和三个以上的变量都是成立的。例 1 农民叔叔阿根想用 20 块长 2 米、宽 1.2 米的金属网建一个靠墙的长方形鸡窝。为了防止鸡飞出，所建鸡窝的高度不得低于 2 米，要使鸡窝面积最大，长方形的长和宽分别应是多少？解：如上图，设长方形的长和宽分别为 x 米和 y 米，则有x2y1.22024。长方形的面积为因为 x
3、和 2y 的和等于 24 是一个定值，故它们的乘积当它们相等时最大，此时长方形面积 S 也最大。于是有x=12， y6。例 2 如果将进货单价为 40 元的商品按 50 元售出，那么每个的利润是 10 元，但只能卖出 500 个。当这种商品每个涨价 1 元时，其销售量就减少 10 个。为了赚得最多的利润，售价应定为多少？解：设每个商品售价为（50+x）元，则销量为（500-10X）个。总共可以获利（50x-40）（500-10x）=10（10+X）（50-X）（元）。因（10+x）+（50x）=60 为一定值，故当 10+X=50X 即 X=20 时，它们的积最大。此时，每个的销售价为 502
4、0=70（元）。例 3 若一个长方体的表面积为 54 厘米 2，为了使长方体的体积最大，长方体的长、宽、高各应为多少厘米？解：设长、宽、高分别为 x，y，z 厘米，体积为 V 厘米 3。2（xyyz+zx）=54，xyyz+zx=27。因为 V2=（xyz） 2=（xy）（yz）（zx），故当 xy=yz=zx 即 x=y=z=3 时，V 2有最大值，从而 V 也有最大值。例 4 有一块长 24 厘米的正方形厚纸片，在它的四个角各剪去一个小正方形，就可以做成一个无盖的纸盒，现在要使做成的纸盒容积最大，剪去的小正方形的边长应为几厘米？解：如上图，设剪去的小正方形的边长为 x 厘米，则纸盒的容积为
5、V=x（24-2x）（24-2x）=22x（12-x）（12-x）。因为 2x+（12-x）+（12-x）=24是一个定值，故当2x=12-x12-x，即 x=4 时，其乘积最大，从而纸盒的容积也最大。二、两个量变化时，积一定的问题两个变化着的量，如果在变化的过程中，它们的乘积始终保持不变，那么它们的差与和之间有什么关系呢？观察下面的表：我们不难得出如下的规律：两个变化着的量，如果在变化的过程中，乘积始终保持不变，那么它们的差越小，和就越小。若它们能够相等，则当它们相等时，和最小。例 5 长方形的面积为 144 cm 2，当它的长和宽分别为多少时，它的周长最短？解：设长方形的长和宽分别为 xc
6、m 和 ycm，则有xy144。故当 x=y=12 时，x+y 有最小值，从而长方形周长 2（xy）也有最小值。例 6 用铁丝扎一个空心的长方体，为了使长方体的体积恰好是216cm3，长方体的长、宽、高各是多少厘米时，所用的铁丝长度最短？解：设长方体的长、宽、高分别为 xcm，ycm，zcm，则有xyz216。铁丝长度的和为 4（x y z），故当 xy=z6 时，所用铁丝最短。例 7 农场计划挖一个面积为 432 m2的长方形养鱼池，鱼池周围两侧分别有 3m 和 4m 的堤堰如下图所示，要想占地总面积最小，水池的长和宽应为多少？解：如图所示，设水池的长和宽分别为 xm 和 ym，则有xy43
7、2。占地总面积为 S=（x6）（y8）cm 2。于是S=Xy+6y+8X486y+8X+480。我们知道 6y 8X=48432 为一定值，故当 6y=8X 时，S 最小，此时有 6y=8X=144，故 y=24，x=18。例 8 某游泳馆出售冬季学生游泳卡，每张 240 元，使用规定：不记名，每卡每次只限一人，每人只限一次。某班有 48 名学生，老师打算组织学生集体去游泳，除需购买若干张游泳卡外，每次游泳还需包一辆汽车，无论乘坐多少名学生，每次的包车费均为 40 元。若要使每个同学游8 次，每人最少交多少钱？解：设一共买了 X 张卡，一共去游泳 y 次，则共有Xy=488=384（人次），总
8、用费为（240x40y）元。因为 240x 40y=24040384 是一定值，故当 240x=40y，即y=6x 时，和最小。易求得 x=8，y=48。此时总用费为24084048=3840（元），平均每人最少交 384048=80（元）。三、利用不等关系来解答的应用题例 9 某公司在 A，B 两地分别库存有某机器 16 台和 12 台，现要运往甲、乙两家客户的所在地，其中甲方 15 台，乙方 13 台。已知从 A 地运一台到甲方的运费为 500 元，到乙方的运费为 400 元，从 B 地运一台到甲方的运费为 300 元，到乙方的运费为 600 元。已知运费由公司承担，公司应设计怎样的调运方
9、案，才能使这些机器的总运费最省？解：设由 A 地运往甲方 x 台，则 A 地运往乙方（16-x）台，B 地运往甲方（15-x）台，B 地运往乙方（x3）台。于是总运价为：S=500x+400（16-x）300（15-x）+600（x-3）400x+9100。显然，x 要满足不等式 3x15，于是当 x=3 时，总运价最省，为 400 3 9100=10300（元）。调运方案为：由 A 地运往甲方 3 台，A 地运往乙方 13 台，B 地运往甲方 12 台，B 地运往乙方 0 台。例 10 某校决定出版“作文集”，费用是 30 册以内为 80 元，超过30 册的每册增加 1.20 元。当印刷多少
10、册以上时，每册费用在 1.50 元以内？解：显然印刷的册数应该大于 30。设印刷了（30x）册，于是总用费为（80+1.2x）元。故有80+1.2x1.5 （30+x），以内。例 11 现有三种合金：第一种含铜 60，含锰 40；第二种含锰10，含镍 90；第三种含铜 20，含锰 50，含镍 30。现各取适当数量的这三种合金，组成一块含镍 45的新合金，重量为 1 千克。（1）求新合金中第二种合金的重量的范围；（2）求新合金中含锰的重量的范围。解：设第一种合金用量为 x 千克，第二种合金用量为 y 千克，第三种合金用量为 z 千克，依题意有（1）如果不取第一种合金，即 x=0，那么新合金中第二
11、种合金重量最小。解得 y=0.25。如果不取第三种合金，即 z=0，那么新合金中第二种合金重量最大。解得 y0.5。新合金中第二种合金的重量范围是 0.25 克到 0.5 克。（2）由可得 z1.5-3y，x=2y0.5。故新合金中含锰的重量为S40x+10y+50z=40（2y-0.5）10y50（1.5-3y）0.55-0.6y。因为 0.25y0.5，所以 0.25S0.4，即新合金中含锰的重量范围是 0.25 克到 0.4 克。例 12 某商店需要制作如下图所示的工字形架 100 个，每个由三根长为 2.3 米、1.7 米、1.3 米的铝合金材料组装而成。市场上可购得该铝合金材料的原料
12、长为 6.3 米。问：至少要买回多少根原材料，才能满足要求（不计损耗）？解：每根原材料的切割有下表的七种情况：显然，三种方案损耗较小。方案依次切割原材料 42根、14 根、29 根、1 根，可得 2.3 米、1.7 米、1.3 米的材料各 100 根，共用原材料 4214291=86（根）。练习 10 1销售某种西服，当每件售价为 100 元时可售出 1000 件。如果定价每下降 1，那么销售量将提高 0.5，又知道这批西服是每件 80 元成本购进的。问：应如何定价才能使获利最大？2下图是一个面积为 4m2的窗户，当 ab 的值是多少时，窗户的框架所用的材料最省？3有一个长为 80cm、宽为
13、40cm 的木板，要以它为原材料做一个无盖的木盒，应该如何制作才能使木盒的容积最大？最大的容积是多少？4某厂要建造一个无盖的露天水槽，其底为正方形，容量为64000m3。在建造时，槽底的造价是四壁的 2 倍，这个水槽的底面边长和高的比例是多少时，造价最省？5A 城有化肥 200 吨，B 城有化肥 300 吨，现要将化肥运往 C，D两村。已知从 A 城运往 C，D 两村的运价分别是每吨 20 元和 25 元，从 B城运往 C，D 两村的运价分别是每吨 15 元和 22 元。某个体户承包了这项运输任务，请你帮他算一算，如何调运才能使运费最省？6有两个学生参加 4 次数学测验，他们的平均分数不同，但
14、都是低于 90 分的整数。他们又参加了第 5 次测验，这样 5 次的平均分数都提高到了 90 分，求第 5 次测验二人的得分（满分为 100 分）。7某机械厂要把一批长 7300 毫米的钢筋截成长 290 毫米、210 毫米和 150 毫米的钢筋各一段组成一套钢筋架子。现在做 100 套钢筋架子，至少要用去长为 7300 毫米的钢筋多少根？8下表所示为 X，Y，Z 三种食品原料的维生素含量（单位：单位/千克）及成本：现在要将三种食物混合成 100 千克的混合物，要求混合物至少需含44000 单位的维生素 A 及 48000 单位的维生素 B0 如果所用的食物中x，Y，Z 的重量依次为 X 千克
15、、y 千克、Z 千克，那么请定出 X，y，Z 的值，使得成本为最少。练习 101.91 元。解：设定价为每件（100-x）元，则销售量为 1000（1+0.5x）件。利润为（100-x-80）1000（1+0.5x）=500 （ 20-x）（2+x）。因为（20-x）+（2+x）=22 为一定值，故当 20-x=2+x 即 x=9 时利润最高。此时每件定价为 100-9=91（元）。2.23。解：窗户的框架长为 3a+2b，而 ab=4 是一个定值，从而3a2b=6ab=24 也是一个定值，故当 3a=2b 即 ab=23 时窗户框架所用材料最省。3.32000cm 3解：设木盒的长、宽、高分
16、别为 xcm，ycm，zcm，则它的容积为V=xyzcm3。因为xy+2xz+2yz=4080=3200为一定值，故它们的积xy2xz2yz=4（xyz） 2=4V2，在 xy=2xz=2yz 时最大，从而 V 也最大，此时有 x=y=2z。经计算得x=40， y=40， z=20。具体制作方式如下：先取原木板的一半（40cm40cm）作为木盒的底面，再将剩下的一半分成 20 cm40 cm 大小的四等份，每份作为木盒的一个侧面就可以了。4.11。解：设四壁的造价是 a 元/m 2，则底面造价为 2a 元/m 2。又设其底面边长为 xm，高为 ym，则有x 2y=64000。总造价为a4xy+2ax 2 =2a（2xy+x 2）=2a（xy+xy+x 2
