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1、第 6 讲 与年号有关的竞赛题在数学竞赛中，常可以看到某些题目中出现了当年的年号，这类题我们称之为“年号题”。这类题趣味性强，时间性强，引起了参加竞赛的少年朋友很大的兴趣。“年号题”一般可分成两类，一类是题目的条件中出现了当年的年号，另一类是题目答案中出现了当年的年号。下面我们分别举例说明这两类问题的解法。一、题目条件中出现年号的问题1题目在编制和解答中巧妙地运用了该年年号的数字特征，如年号数值的质因数分解式、是否质数、它的数的整除性等等。例 1 将 19 到 80 的两位数顺次排成数A192021227980。问：这个数 A 能否被 1980 整除？解：由于 1980=9920，因此要考察
2、A 能否被 1980 整除，只需要考察 A 能否被 99 和 20 整除就行了。能被 20 整除是显然的。因为 99 除 100 的任何次方所得的余数都是 1，所以A19100 61+2010060+79100+80除以 99 的余数与 B=19+20+79+80=9931 除以 99 的余数相同。因为 99|B，所以 99|A。于是 A 能被 1980 整除。例 2 用 S（n）表示自然数 n 的各位数字之和，又n+S（n）=1999，求自然数 n。11x+2y89。注意到 x 是奇数且 x，y 都是一位整数，不难求得 x=7，y=6，从而n=1976。例 3 在 33 的九宫格中，填上 9
3、 个不同的自然数，使得每行三数相乘，每列三数相乘所得的 6 个乘积都等于 P。试确定 P 能取 1996，1997， 1998，1999，2000，2001 这 6 个数中的哪些值。解：所填的 9 个数应为 P 的 9 个不同约数，又 P 不能填入九宫格内，故 P 的不同约数的个数应不小于 10。1996=2 2499，有 6 个约数；1997 和 1999 是质数，各有 2 个约数；1998=23 337，有 16 个约数；2000=2 453，有 20 个约数；2001=32 329，有 8 个约数。显然 P 不能取 1996，1997，1999 和 2001。当 P=1998 和 200
4、0 时，有下图的填法（填法不唯一），故 P 可取 1998 和 2000。例 4 有 1999 块边长为 1 的正方块，求满足下述条件的有盖箱子的尺寸：（1）长、宽、高均大于 1；（2）将正方块放入箱子中时，能合上盖子，并且使空隙最小；（3）在保证（1）（2）的前提下，使箱子的表面积最小。解：由于 1999 是质数且 2000=2453，故空隙最小的箱子的体积应是2000。表面积最小的箱子应是各边长相差尽量小的长方体。将 2000 分解成三个尽量接近的三个数的乘积是2000101020，所以表面积最小的箱子的长、宽、高应为 10，10，20。2题目中的年号数是可以换成任意的自然数 n 的，它只
5、不过是编制时仅仅用具体的年号数来代替 n。对于这种情况要善于透过表面看本质，做过后要将特殊推广到一般。数。解：设这两个自然数为 x，y，且 xy。比较两式，取 n=1999，有 2x=19992000，2y=1999+1，于是 x=1999000，y=1000。例 6 有一张 19492000 的长方形方格纸，方格边长为 1。问：这个长方形的一条对角线穿过多少个方格？解：由于 1949 与 2000 是互质数，故对角线在长方形内不经过任何一个格点。对角线与纵向的 1950 条线有 1950 个交点，与横向的 2001 条线有2001 个交点。去掉重复计算的对角线两个端点，它与纵横线共有1950
6、+2001-2=3949（个）交点，交点间有 3948 条线段，即对角线穿过3948 个小方格。例 7 有两个容器 A 和 B，A 中装有 1 升水，B 是空的。先将容器 A解：设 an和 bn分别表示倒了 n 次以后 A 中和 B 中水的升数，显然 an+bn=1。列表观察如下：说明：如果求倒了 2000 次以后，A 中还剩多少水，那么可进一步计算如下：例 8 从自然数列 1，2，3，4，中依次划去 3 的倍数和 4 的倍数，保留 5 的倍数（例如 15，20 都不划去），将剩下的数依次写成数列A11，A22，A35，A4=7，求 A2000。解：3，4，5 的最小公倍数是 60，在连续的
7、60 个自然数中，3 的倍数有 603=20（个），4 的倍数有 604=15（个），12 的倍数有6012=5（个），15 的倍数有 6015=4（个）， 20 的倍数有6020=3（个），60 的倍数有 1 个。于是由容斥原理得到，连续 60 个自然数中，按题设要求划去各数后还剩下60-（20+15）+（5+4+3）-1=36（个）。200036=5520。因为在 134 中可以剩下 20 个数，所以剩下的第 2000 个数是A2000=6055+343334。二、题目答案中出现年号的题这类问题和一般的数学题没有什么区别，都要运用数字运算的规律和特征，借助逻辑推理求得问题的解决。例 9 将
8、我家门牌号码倒置着看是一个四位数，它比原来的号码大7875，我家门牌号码是多少？解：倒置后仍有意义的数有 0，1，6，8，9。设门牌号码正着看是于是门牌号码为 1986。例 10 有一个小于 2000 的四位数，它恰好含有 14 个因数，其中有一个质因数的末位数字是 1，求这个四位数。解：因为 14=27，所以这个四位数的质因数分解式为因为 46=40962000，所以 P23。故 P1的末位数为 1。若 P2=3，则m=P13 6113 62000，舍去。故 P2=2。若 P1=11，则 m=6411=704，不是四位数。若 P141，则 m64412000，与题设不符。当 P1=31 时，
9、m=6431=1984。这是本题的唯一解。例 11 在 20 世纪的最后 10 年中，恰有一年年号的不同约数的个数比 1990 的约数个数少 2，求该年号所有不同正约数的积。解：用 T（A）表示 A 的不同约数个数。1990=25199，T（1990）=（1+1）（1+1）（11）=8；199111181，T（1991）=（1+1）（1+1）=4；19922 3383，T（1992）=（3+1）（1+1）（11）=16；1993 是质数，T（1993）=2；19942997，T（1994）=（1+1）（1+1）=4；19953579，T（1995）=（1+1）（1+1）（1+1）（1+1）=1
10、6；199622499，T（1996）（2+1）（1+1）6。故所求年号数为 1996，其所有不同正约数之积为122 2499（2499）19961996 2。例 12 平面上有 1001 个点，如果每两点连一条线段，并把中点染成红色，那么平面上至少有多少个红点？解：在所有点中，找出距离最大的两点 A 和 B，分别以 A，B 为圆心，以 AB 的长度的一半为半径作两个圆。对余下的 999 个点中的任一点 P，因999 个点是不同的的点，它们与 A 的中点也互不相同，所以在A（含圆周）中至少有 999 个红点，这 999 个红点与 AB 的中点不重叠。同理，在B 中也至少有 999 个红点。再加
11、上 AB 的中点，平面上至少有2999+1=1999（个）红色的点。练习 6。22001 个棱长为 1 厘米的正方体可以垒成多少种不同长方体？3梯形的上底、下底及两腰的长分别是 1，9，8，8。这个梯形的四个角的大小分别是多少？4将四位数的数字顺序重新排列后，可以得到一些新的四位数。现有一个四位数 M，它比新数中的最大数小 7983，比新数中的最小数大99，求这个四位数。5有一个四位数 N，它小于 3000，且满足下列条件：（1）N 中含有两个质因数 3，且只含有两个质因数 3；（2）N1 中含有两个质因数 2，且只含有两个质因数 2；（3）N 和 N1 都不含质因数 5；（4）N 的十位数字
12、比个位数字小 1。求这个四位数。6设 P 和 q 为自然数，已知判断 P 是否是 1999 的倍数。7自 1986 开始写下一串数字：1 9 8 6 4 7 5 2 8 2 7 9 6其中前四个数字后的每一个数字等于它前面四个数字之和的末位数字。问：在这一串数字中会不会出现连续四个数，恰好是 1，9，9，8？8规定一种运算“”，ab 表示两个数 a 和 b 的差（大减小）。例如：53=2，710=3，66=0。已知 x1，x2，x2000，是 1，2，2000 的一个排列，求（x11）+（x22）+（x20002000）的最大值。练习 6 2.4 种。解：2001=3 2329=16929=1
13、238713667。3.60，60，120，120。解：如右图，将梯形分割成一个平行四边形和一个三角形，显然这个三角形是等边三角形，它的每个角都是 60，从而梯形的各个角分别为 60，60，120，120。4.1998。由上式知，a=9，d=1，b-c=1。这个四位数等于这个四位数是 1998。5.1989。知 d5 且 d1，从而 d 可能为 3，7 或 9，于是 c 可能等于 2，6 或 8。a+b-1 是 9 的倍数。若 a=2，则 b=8，此时 N=2889，N-1=2888 是 8 的倍数，与（2）矛盾。若 a=1，则 b=0 或 9，此时 N=1089 或 1989。当 N1089
14、 时，N 是27 的倍数与（1）矛盾。经验算，仅 1989 符合题意。所以这个四位数是1989。6.是。在等式的两边同时乘以1332！123 1332，由于 1999 是质数，且 13321999，故在 1332！中没有一个大于 1的约数能整除 1999，因此只有 P 能被 1999 整除。7.不会。解：将这串数按奇偶性写出来是：1986 偶奇奇偶偶偶奇奇偶容易看出，其中每连续五个数字中有两奇三偶，而且三个偶数是连在一起的，故在这一串数字中不会出现连续四个数，恰好是1，9，9，8。8.2000000。解：每一个（xnn）变成普通减法后是将 xn和 n 中较大的一个减较小的一个，故在 x1，x2，x2000，1，2， 2000 这 22000 个数中有 2000 个是被减数，有 2000 个是减数，我们要使上式的结果最大，就应该使较大的数成为被减数，较小的数成为减数。于是在每一个（xnn）中，大于 999 的两个数不能排在一起，小于 999 的两个数也不能排在一起。取 x1=2000，x2=1999 ，x2000=1 就可以得到这个最大值：2（2000-1）+ （ 1999-2）+（1001-10002（2000-1000）+（1999-999）+（1001-1）
