《《数学分析》(华师大二版)课本上的习题19》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《数学分析》(华师大二版)课本上的习题19（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第十九章 含参量积分P.178 含参量正常积分 习题1. 设 ，证明：nRyx, ).(222yxyx2. 设 到集合 E 的距离定义为nE点 .,(inf,xEy证明：（1）若 E 是闭集， ;0),(,x则（2）若 连同其全体聚点所组成的集合（称为 E 的闭包）,则是.0),(x3. 设 ：证 明的 任 意 子 集是 .,;:, XBAYfRymn（1） )()(BAf（2） ;ff（3）若 ).()(BfAff 是 一 一 映 射 ， 则4. 设 ：证 明.)(lim,li,:, cxgbxRcbaRg axaxmnmn (1) 时 可 逆 ；且 当 0)(libxfa(2) .cTTx
2、5. 设 若存在正实数 ，对任何点 满足.:,mnRDfrk,Dyx,，yxfx)(试证明 .上 的 连 续 函 数是f6. 设 ，证明下列各式：nRyx,（1） （2） ；;xi 2yxyx（3） .y并讨论各不等式等号成立的条件和解释 时的几何意义.n7. (1)证明定理 19.6;(2) 设 坐标的 所 有于上 一 致 连 续 ， 是 否 等 价在试 问 向 量 函 数 fDRfRDmn:,函数 都在 D 上一致连续？为什么？mif21,. 设 为连续函数， 为任意开集， 为任意闭集试问mnRf: nRAnRB是否必为开集？ 是否必为闭集？)(Af )(BfP.189 含参量反常积分 习
3、题1. 证明定理 19.12.2. 求下列函数的导数：(1) ；和， 求 )2,0(),()2,(,sin(),( 2112121 fxfxxxf T(2) ,求e2， .3和3. 设 为开集， 均为可微函数.证明 也是可微函数，而且nRDmRDgf:, gfT)(fTT4. 设函数 的定义如下：tshf,，TTxxhxgxxf ),(),()cos,(in)( 121212121 .4,(, 33321Tts 试依链式法则求下列复合函数的导数:(1) (2) (3) ;)(gf)(fg)(h(4) (5) (6) .hsst ts5. 设 ,应用链式法则计算)(),(),( vuxHwyxv
4、fu ).,(yxw6. 设 为开域, 可微函数.利用定理 19.14 证明：nRDmRf:（1） 若在 为常向量函数;)(0)( xfx矩 阵 （ 零 矩 阵 ） ， 则恒 为上 （2） 若在 .,)() mRbDcfcf ， 则常 数 阵上7. 设 为可微函数，试求分别满足以下条件的函数 :mnRf: )(xf(1) ；单 位 阵 )()Ix(2) 为主对角线元素的对角阵，)(,)(,21ni xxxdiagf 即 以.Tnx),(18. 求下列函数 f 的海赛矩阵，并根据例 2 的结果判断该函数的极值点：(1) ;32)( 21312 xxxf (2) .31323212 644)( x
5、xxxf 9. 设 为第 4 题中的五个函数.tshg,(1) 试问：除第 4 题 6 个小题中的两个函数的复合外，还有哪些两个函数可以进行复合，并求这些复合函数的导数；(2) 求下列复合函数的导数：（i） ; (ii) .)(hfg)(st10. 设 为开集， 试证明：nRD.:0可 微在 DxRm（1） 任给 时 ， 有当存 在 ),(,0U.000)( xxffx(2) 存在 0)(, KfK有时当（这称为在可微点领域内满足局部利普希兹条件.）11. 设 ，且满足：对任何 和任何非零的 可 微 函 数是 凸 开 集 ， nnRDgRD: Dx的，恒有 时证明： 上是一一映射。nh.0)(
6、hxTg在提示：若 ；hxgxfxhg T)()(,0;, 112211 令对 f 应用中值定理。12. .0,)(),: aRafRfR nn；二 阶 可 微 ， 且 有 稳 定 点（1） 试求 f 的所有稳定点；（2） 证明 f 的多有稳定点都是退化的，即在这些稳定点处， 是退化矩阵（即在)(xf稳定点处 ）.0)(detxfP.194 欧拉积分1. 设方程组.0232,2uzyx证明：除了不能把 唯一表出外，其它任何三个变量都能用第四个变量唯一表出.用,2. 应用隐函数求导公式（4） ，求由方程组 所确定的隐函数vzuyvx,sin,co（其中之一） 的所有二阶偏导数.),(yxz3.
7、设方程组.0),(),zyxguvuvf试问：（1）在什么条件下，能确定以 为自变量， 为因变量的隐函数组？yx,zu,（2）能否确定以 为自变量， 为因变量的隐函数组；,z（3）计算 .,vuyx4. 设 .Txef sin,co),(1) 证明:当 不 是 一 一 映 射 ；上但 在时 ， fRyfRy22,0),(dt, (2) 证明: ).,0(0),( 1efxDf 上 是 一 一 映 射 ， 并 求在 5. 利用反函数的微分公式,计算下列函数的反函数的偏导数: ,vyux(1) ;)sin,co()(TTxyxvu(2) .cos,ee6. 设 且：、为 开 集 ， 2:,2 RD
8、fRDnn .xxf T)(),(证明:在满足 仍可能在点 的0)(20)( 0 xffrank但 是 由 方 程处 ，的 点 0x领域内确定隐函数 .,:22REg7. 证明定理 19.18 的推论.8. 设 .证明:若互 为 反 函 数与都 是 开 集 ， DEfDfREDn:, 1可微, 在 可微,则 与 为互逆矩阵.(可望有一在fx1fxy)()(x)(1yf个比定理 19.18 更为简单的证明.)9. 对 n 次多项式进行因式分解：.)()()( 101 nnn rxaxaxP从某种意义上说，这也是一个反函数问题。因为多项式的每个系数都是它的 n 个根的已知函数，即.,1),(1ni
9、ranii （）而我们感兴趣的是要求得用系数表示的根，即.,21),(10 njarnjj （）试对 无重根时，函数组（）存在0)(32 xPn n程两 种 情 形 ， 证 明 ： 当 方与反函数组（） 。P.195 总练习题1. 证明：若 使得对任何),10(,: qDfRDn 且 存 在 正 实 数为 任 何 闭 集 ，则在xqxffx )(,满 足 即的 唯 一 波 动 点中 存 在 *xf.（本命题称为不动点定理或压缩映射定理.）*)(f2. 设 且存在正实数,:,),(0 nnRBfrxB满足对 一 切1,q利用不动点定理证明： 中.)1()()( 0rqxfxqxff 与 Bf在有
10、唯一的不动点。3. 应用定理 19.11 证明: 设 ，,0)(,:, 0xfDxfRgfDn 可 微 ，在若、连续，则0xg在 .0可 微在 xgf4. 设 试证：.)(det,: xfxRRDnn为 可 微 函 数 ， 且 对 任 何是 开 集 ，若 .0)(,)()(,2 Dxxfyxfy 则 对 一 切5. 证明：若 意 两 点上 的 可 微 函 数 ， 则 对 任是是 凸 集 ， mn:，以及每一常向量Dba、 满 足必 存 在 点 ,1,)(, abcR（本命题也称为向量函数的微分中值定理）).()( abcfafTT 6. 利用上题结果导出微分中值不等式 ,)()(abcfaf.10),(abc7. 设 .2,sin,o)( ttfT（1） 是否存在 ).()(),20( abcfafbc 满 足（2） 按题 5 所示的中值定理，对每一 使得,20,2R应 该 存 在,试求用)()(cfafbTT .c表 示 这 里 的 中 值 点7. 设 可微，且 ，nRf: 使 对 一 切若 存 在 常 熟上 连 续在 ,.n nRx21,均有 试证明：.)(2121xcxf（1） 上 的 一 一 映 射 ；是 nf（2） .0)(,xfR对 一 切
