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1、1,第八节 函数的连续性 与间断点,函数的连续(continuity),函数的间断点,小结 思考题 作业,(discontinuous point),第一章 函数与极限,2,1. 函数的增量,自变量,称差,为自变量在,的增量;,函数随着从,称差,为函数的,增量.,如图:,一、函数的连续性,3,连续,2. 连续的定义,定义1,设函数 f (x)在,内有定义,若,则称函数f(x)在x0处,并称x0为函数f(x)的,连续点.,定义2,若,则称函数f(x)在x0处,连续.,充分必要条件,4,连续性的三种定义形式不同,这三种定义中都含有,但本质相同.,f (x)在,内有定义;,(1),(2),(3),三
2、个要素:,定义3,把极限定义严密化,便于分析论证.,存在;,5,例,证,都是连续的.,类似可证,是连续的.,即,6,例,证,定义2,试证函数,处连续.,7,3. 左、右连续,左连续(continuity from the,右连续(continuity from the,left);,right).,左连续,右连续,8,定理1,此定理常用于判定分段函数在分段点,处的连续性.,9,例,解,右不连续.,所以,左连续,10,4. 连续函数(continous function)与连续区间,上的,或称函数在该区间上连续.,在区间上每一点都连续的函数,称该区间,在开区间,右连续,左端点,右端点,这时也称该
3、区间为,continuous,左连续,连续函数,连续区间.,内连续,11,定理2,的一个邻域,使得在此邻域内,是一条无缝隙的连绵而不断的曲线.,连续函数的图形,12,例如,有理整函数(多项式),内是连续的.,因此有理分式函数在其定义域内的每一点,有理分式函数,只要,都有,因此有理整函数在,都是连续的.,第五节中已证,13,定义4,出现如下三种情形之一:,二、函数的间断点及其分类,无定义;,不存在;,间断点.,14,间断点分为两类:,第二类间断点(discontinuity point of the second kind):,第一类间断点(discontinuity point of the
4、first kind):,及,均存在,及,中至少一个不存在.,若,称 为可去间断点.,若,称 为跳跃间断点.,若其中有一个为振荡,若其中有一个为,称 为无穷间断点.,称 为振荡间断点.,15,可能是连续点,初等函数无定义的孤立点是间断点.,分段函数的分段点可能是间断点,也,需要判定.,16,例,由于函数,无定义,故,为f(x)的 间断点.,且,皆不存在.,第二类,第二类间断点:,至少有,且是无穷型间断点.,一个不存在.,17,例,有定义,不存在,故,为f (x)的 间断点.,第二类,且是无穷次振荡型间断点.,之间来回无穷次振荡,18,例,有定义,故,为f (x)的 间断点.,第一类,的第一类间
5、断点.,则点x0为函数 f(x) 的,且是跳跃间断点.,跳跃型间断点(Jump,discontinuity).,及,均存在,则点x0为,19,例,讨论函数,解,为函数的 间断点.,第一类,且是可去间断点(removable discontinuity).,连续.,处无定义,可去间断点.,20,则可使x0变为连续点.,对可去间断点x0,如果,于A,(这就是为什么将这种间断点称为,使之等,可去间断点的理由.),补充 x0的函数值,或改变,21,如补充定义:,如,但,22,总结两类间断点:,第一类间断点:,跳跃型,第二类间断点:,无穷型,可去型,无穷次振荡型,极限与连续之间的关系:,f(x)在x0点
6、连续,f(x)在x0点存在极限,23,练习,解,函数无定义,是函数的间断点.,由于,所以,是函数的第二类间断点,且是无穷型.,由于,所以,是函数的第一类间断点,且是跳跃型.,并指出其类型.,24,练习,设,解,因为,所以,必需且只需,即,必需且只需,即,25,(见下图),无穷型,无穷次振荡型,三、小结,1. 函数在一点连续的三个定义、必须满足的,2. 区间上的连续函数;,3. 函数间断点的分类:,间断点,第一类间断点:,跳跃型,可去型,第二类间断点:,三个条件;,26,可去型,第一类间断点,跳跃型,无穷型,无穷次振荡型,第二类间断点,27,思考题,(是非题),非,如,处处连续.,但,不连续.,是,28,作业,习题1-8 (64页),2. (1) (2) (3) (4) 3.,
