《同济第三版高数（22） 第二节 函数求导法则同济第三版高数课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《同济第三版高数（22） 第二节 函数求导法则同济第三版高数课件（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二节 函数求导法则,本节概要,用导数研究函数先要解决导数计算问题。 然而，即使对于最简单的基本初等函数，按定 义计算其导数也不尽方便。由于初等函数由基 本初等函数经由四则运算和复合运算构成，故 可通过对导数的四则运算和复合运算规则的研 究来解决导数的计算问题。,设有函数 u( x ) 和 v( x )，常数 和 ，称 u( x )+ v( x )为这两个函数的线性组合。 函数的线性组合是函数间的一种 运算，即线性运算。微积分所讨论 的函数性质许多都是和这种线性运 算相关的性质。理解这种运算对理解 微积分的基本内容是很有意义的。,如果函数 u( x ),v( x )都在点 x 处可导，则它们的
2、 线性组合 f( x )= u( x )+ v( x )也在点 x 处可导，且导 数为 f ( x )= u ( x )+ v ( x ).,设 f( x )= u( x )+ v( x )，则由根据导数定义有 故 f( x )在点 x 处可导，且 f ( x )= u ( x )+ v ( x ).,定性结果：两可导函数的线性组合也是可导的； 定量结果：函数线性运算的求导法则。 需注意的是，这些求导规则都是在 u = u( x )， v = v( x )都可导的条件下导出的， 若此条件不满足，则结论未必成立。,定理 1 的结论分定性和定量两个部分,函数线性运算的求导法则可推广到有限个函数的
3、情形，即若 u = u k( x )在点 x 处都可导， k 为常数 ， ( k = 1,2, ,n )，则函数 f( x )= 1 u1( x )+ 2 u2( x )+ + n un( x ) 在点 x 处可导，且有 f ( x )= 1 u1( x )+ 2 u 2( x )+ + n u n( x ).,线性运算求导法则的推广,由定理 1 容易得到如下三个推论： 如果函数 u( x ),v( x )都在点 x 处可导，则函数 u( x )+ v( x )也在点 x 处可导，且导数为 u( x )+ v( x )= u ( x )+ v ( x ). 如果函数 u( x ),v( x )
4、都在点 x 处可导，则函数 u( x )- v( x )也在点 x 处可导，且导数为 u( x )- v( x )= u ( x )- v ( x ).,如果函数 u( x )都在点 x 处可导， 为常数 ，则函 数 u( x )也在点 x 处可导，且导数为 u( x )= u ( x ).,例：设 f( x )= 2 x 3 - 5 x 2 + 3 x - 7，求：f ( x ). 这是个三次多项式的求导问题，由于多项式仅 由加法运算及数乘运算构成，因此可根据导数的线性运 算法则求该函数的导数。 f ( x )=( 2x 3 - 5 x 2 + 3x - 7 ) =( 2x 3 )-( 5
5、x 2 )+( 3x )-( 7 ) = 2( x 3 )- 5( x 2 )+ 3( x )-( 7 ) = 2 3 x 2 - 5 2 x + 3 1 - 0 = 6 x 2 - 10 x + 3 .,例：设 求：f ( 1 ). 这是个导函数与相应导数值的计算问题。 对这类问题，一般宜先根据导数运算法则求出导函 数，再由导数值与导函数的关系计算导数值。,根据导数线性运算规则求导函数,由导数值与导函数的关系求导数值,如果函数 u( x ),v( x )都在点 x 处可导，则函数 f( x )= u( x ) v( x )也在点 x 处可导，且导数为 f ( x )= u ( x ) v(
6、x )+ u( x ) v ( x ).,设 f( x )= u( x ) v( x )，为求导数，先考察函数增 量 f( x + x )- f( x )与自变量增量 x 之比,减一项、加一项,由于 u( x ),v( x )在点 x 处可导，因此当 x 0 时 由于可导必连续，故当 x 0 时有 v( x + x ) v ( x ). 于是 = u ( x ) v( x )+ u( x ) v ( x ).,定性结果：两可导函数的乘积也是可导的； 定量结果：函数乘积的求导法则。 需注意的是，这些求导规则都是在 u = u( x )， v = v( x )都可导的条件下导出的，若此条件不满足，
7、则 结论未必成立。,定理 2 的结论分定性和定量两个部分,函数乘积的求导法则可推广到有限个函数的情形, 即若 f k( x )在点 x 处都可导( k = 1,2, ,n )，则函数 f( x )= f1( x ) f2( x ) fn( x ) 在点 x 处可导，且有 f ( x )= f 1( x ) f2( x ) fn( x ) + f 1( x ) f 2( x ) fn( x ) + + + f 1( x ) f 2( x ) fn( x ).,乘积求导法则的推广,例：设 f( x )= x 3 sin x ，求: f ( x ). 这是两函数乘积的导数计算问题，只需按乘积求 导法
8、则计算即可。 f ( x )=( x 3 sin x ) =( x 3)sin x + x 3( sin x ) = 3 x 2 sin x + x 3 cos x .,例：设 f( x )= x( x - 1 )( x - 2 )( x - 100 )，求: f ( 0 ). f ( x )= x ( x - 1 )( x - 2 )( x - 100 ) + x( x - 1 )( x - 2 )( x - 100 ) + x( x - 1 )( x - 2 )( x - 100 ) + + + x( x - 1 )( x - 2 )( x - 100 ) =( x - 1 )( x -
9、2 )( x - 100 ) + x( x - 2 )( x - 100 ) + x( x - 1 )( x - 3 )( x - 100 )+ + x( x - 1 )( x - 2 )( x - 99 ).,于是求得： f ( 0 )= f ( x )|x = 0 =( x - 1 )( x - 2 )( x - 100 )|x = 0 =( - 1 )( - 2 )( - 100 )= 100! .,对于导数值的计算，有时按导数定义求更为方便：,如果函数 u( x ),v( x )都在点 x 处可导，且 v( x ) 0, 则函数 f( x )= u( x )/ v( x )也在点 x
10、处可导，且导数为,设 f( x )= u( x )/ v( x )，为证明方便，先考虑较简 单的情形，即考虑函数 g( x )= 1/ v( x )的可导性及导数 形式。由导数定义：,由于 v( x )在点 x 处可导，因此当 x 0 时 由于可导必连续，故函数 v( x )在点 x 处连续，即 当 x 0 时有 v( x + x ) v ( x )，v( x + x ) v ( x )v 2( x ) 因此 的极限存 在，即函数 g( x )= 1/ v( x )在点 x 处可导，且有,由乘积求导规则知，此时 f( x )= u( x ) g( x )在点 x 处可导，且有 f ( x )= u ( x ) g( x )+ u( x ) g ( x ),例：设 y = csc x ，求：y . 于是求得基本初等函数的导数公式 类似地可求得:,csc x = - csc x cot x,sec x = sec x tan x,例：设 y = cot x ，求: y . 于是求得基本初等函数的导数公式 类似地可求得:,cot x = - csc 2 x,tan x = sec 2 x,
