《同济版大一高数第九章第二节偏导数课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《同济版大一高数第九章第二节偏导数课件（32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1,高等数学,第八讲,2,第二节,一、 偏导数概念及其计算,二 、高阶偏导数,偏 导 数,第九章,3,一、 偏导数定义及其计算法,引例:,研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 ,就是,中的 x 固定于,求,一阶导数与二阶导数.,x0 处,关于 t 的,将振幅,4,从研究函数关于自变量的变化率得到一元函数的,的导数概念,一元函数,二元函数,若在两个自变量中,是变化的,是不变的(视为常数),是,的一元,函数.,函数关于这个自变量 x 的变化率就是二元函数对,的偏导数.,因此,一元函数的导数定义相仿.,5,定义1.,在点,存在,的偏导数，记为,的某邻域内,则称此极限为函数,极限,设函数,注意:,6
2、,同样可定义对 y 的偏导数,若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x,则该偏导数称为偏导函数,也简称为,偏导数 ,记为,或 y 偏导数存在 ,7,8,例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的,偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .,偏导数定义为,9,二元函数偏导数的几何意义:,是曲线,在点 M0 处的切线,对 x 轴的斜率.,在点M0 处的切线,是曲线,对 y 轴的斜率.,10,有关偏导数的几点说明：,、,、,求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；,解,11,12,显然,例如,、偏导数
3、存在与连续的关系,在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!,同理,？,一元函数中在某点可导 连续，,多元函数中在某点偏导数存在 连续，,13,14,例1 . 求,解法1:,解法2:,在点(1 , 2) 处的偏导数.,15,例2,16,例3. 设,证:,例4. 求,的偏导数,解:,求证,17,例5,解: 将,先将函数变形后求导有,18,解,例6,19,例7: 求曲线,在点,处的切线,和,轴正向所构成的倾角.,解,所给的曲线是曲面,与平面,的交线。,该曲线在点,处的切线关于 y 轴的斜率为,所以，曲线在,处的切线与 y 轴正向所成的倾角为,20,偏导数记号是一个,例8. 已知理
4、想气体的状态方程,求证:,证:,说明:,(R 为常数) ,不能看作,分子与分母的商 !,此例表明,整体记号,21,二、高阶偏导数,设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数,若这两个偏导数仍存在偏导数，,则称它们是z = f ( x , y ),的二阶偏导数 .,按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导,数:,22,类似可以定义更高阶的偏导数.,例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为,z = f (x , y) 关于 x 的 n 1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶,偏导数为,23,例1. 求函数,解 :,注意:此处,但这一结论并不总成立.,的二阶偏导数及,24
5、,则,定理.,例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) ,说明:,本定理对 n 元函数的高阶混合偏导数也成立.,函数在其定义区域内是连续的 ,故求初等函数的高阶导,数可以选择方便的求导顺序.,因为初等函数的偏导数仍为初等函数 ,当三阶混合偏导数,在点 (x , y , z) 连续时, 有,而初等,(证明略),25,解,26,内容小结,1. 偏导数的概念及有关结论,定义; 记号; 几何意义,函数在一点偏导数存在,函数在此点连续,混合偏导数连续,与求导顺序无关,2. 偏导数的计算方法,求一点处偏导数的方法,先代后求,先求后代,利用定义,求高阶偏导数的方法,逐次求导法,(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序),27,思考与练习,解答提示:,P130 题 5,P130 题 5 , 6,即 xy0 时,28,例2. 证明函数,满足拉普拉斯,证：,利用对称性 , 有,方程,29,例如,二者不等,30,证:令,则,则,定理.,令,31,P130 题6,(1),(2),32,同样,在点,连续,得,
