2019年高考全国卷Ⅲ理科数学与答案

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1、2 0 1 9 年 普 通 高 等 学 校 招 生 一考试 理科数学 注 ： 1 答 卷 前 ， 必 用 黑 色 碳 素 笔 将 自 己 的 姓 名 、 号 号 、 座 位 号 填 写 卡上，并认 真 核 准 上 的 号 、 姓 名 号 、 座 位 号 及 科 目 定 的 好 。 2 出 答 案 笔 目 的 号 涂 黑 。 如 ，用橡 皮 后 涂 其 它 号 。 回 时 ， 将 答 案 写 卡 上 。 写 卷上无效。 3 结 束 后 ， 卷 卡一并交回。 共 1 2 ， 5 分 ， 共 6 0 分 。 在 给 出 的 项 中 ， 只 是 目 要求的。 1 已知集 合A x | 1， 0，1，

2、2 ， 2 B x A 1， 0， 1B 0 ， 1C 1，1D 0 ， 1， 2 2若 z(1i)2i ，则z A 1iB 1 iC1 iD 1i 3 三 楼 梦 是 中 国 古 代 文 学 瑰 宝 ， 中 国 古 四大名著某 了 解 本 校 读 四 大 名 著 的 情 况 ， 1 0 0 位 学 生 ， 楼 梦 的 学 生 共 有 9 0 楼 梦 的 学 生 有 8 0 楼梦的 学 生 共 有 6 0 的 学 生 人 校 A 0.5B 0.6C0.7D 0.8 4 24 (12x )(1x)的展开式中 3 x 的系数为 A 12B 16C20D 24 5已知各项 为正数的等比数列 an 的

3、前 4 项和为15，且 a53a34a1，则a3 A 16B 8C4D 2 x 6 已 y a e x l n x 在 点 ( 1 ， a y2 xb ，则 A ae， b1B ae，b1 理 科 题 第 （ 共 ） C -1 ae ，b1D -1 ae ， b1 7函数 3 2x y在 6,6 的图象大致为 xx 22 8如图，点N 为正方形ABCD 的中心，ECD 为正三角形，平面ECD 平 面 ABCD ，M 是线段ED 的中点，则 A BM EN，且直线BM， EN 是相交直线 B BM EN，且直线BM ， EN 是相交直线 C BM EN，且直线BM ，EN 是异面直线 D BM

4、EN，且直线BM ， EN 是异面直线 9执行右边的程序框图，如果输入的为 0.01 ，则输出s 的值为 A2 1 4 2 B2 1 5 2 C 2 1 6 2 D2 1 7 2 10双曲线C： 22 xy 42 1 的右焦点为F，点 P 在 C 的一条渐近线上，O 为 坐标原点若| PO |PF |，则PFO 的面积为 A 32 4 B 32 2 C 22D 32 11设f (x) 是定义域为R 的偶函数，且在(0， +) 单调递减，则 A C 32 1 23 f (log)f (2)f (2)B 3 4 32 1 23 f (2)f (2)f (log)D 3 4 23 1 32 f (l

5、og)f (2)f (2) 3 4 23 1 32 f (2)f (2)f (log) 3 4 12设函数( )sin()(0) f xx，已知f (x) 在 0， 2 有且仅有5 个零点，下列四个结论： 5 f (x) 在 (0， 2 ) 有且仅有3 个极大值点 f (x) 在 (0， 2 ) 有且仅有2 个极小值点 f (x) 在(0，)单调递增 10 在取值范围是 1229 ，) 510 理科数学试题第 2 页（共4 页） 其中所有正确结论的编号是 ABCD 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。 13已知a，b 为单位向量，且a b 0 ，若 c 2a - 5b ，则

6、cos a ，c _. 14记 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和，若a1 0 ， a2 3a1 ，则 S 10 S 5 _ 15设 F1，F2 为椭圆C： 2 2 x y 36 20 1 的两个焦点，M 为 C 上一点且在第一象限若 MF 1F2 为等腰三角形， 则 M 的坐标为_ 16学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型如图，该模型为长方体 ABCD A1B1C1D1 挖去四棱锥O EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体 的中心， E，F，G，H 分别为所在棱的中点，AB BC 6 cm， A A1 4 cm3D 打印所用的原料密度为0.9 g/cm 3，不考虑打印损耗，

7、制作该模型所需原料的 质量为 _ g 三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题考生 都必须作答。第22、 23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60 分。 17（12 分） 为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下实验：将200 只小鼠随机分成A ，B 两组，每 组 100 只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液每只小鼠给服的溶液体积相同、摩 尔浓度相同经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比根据实验数据分别得 到如下直方图： 记 C 为事件： “乙离子残留在体内的百分比不

8、低于5.5”，根据直方图得到P(C )的估计值为0.70 （1）求乙离子残留百分比直方图中的a， b 的值； （2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用改组区间的中点值为代表） A C 18（12 分）ABC 的内角A，B， C 的对边分别为a，b，c，已知a sin b sin A 2 （1）求 B； （2）若 ABC 为锐角三角形，且c 1，求ABC 面积的取值范围 理科数学试题第 3 页（共4 页） 19（12 分） 图1 是由矩形ADEB ，RtABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图 形，其中AB 1， BE BF 2，FBC 60将其沿AB， BC 折起使得BE

9、与 BF 重合，连 结 DG ，如图2 （1）证明：图2 中的A， C， D， G 四点共面，且平面ABC平面 BCGE ； （ 2 2 中的二面角B CG A 的大小 20（12 分） 已知 32 f (x)2xaxb （ 论 f ( x ) 调 性 ； （ 2 ） 是 否 存 在 a ， b ， 使 得 f ( x ) 0 , 1 的 1 且 为1？若存在，求出a，b 的所有 值 ； 若 不 存 明理由 21（12 分） 已 知 曲线 C ： 2 1 x y ， 22 （ 明 定点； （ 2 ）若 以 5 E ( 0 2 （ ： 共 1 0 考 生 在 第 2 2 、 作 答 。 如 果

10、多 按 所 做 的 计 分 。 2 2 修 4 4 系与参数方程 （ 10 分） C ， D ( 2 , ) ， 弧 ? A B ， B ? C ， 如图，在极坐标 系Ox 中， A(2,0) ，B(2,)，(2,) 44 是 (1,0) ，(1, ) 2 M是弧 C ?D 3 ， ( 1 , （ 1 写 出 M 1 ， M 2 ， M （2）曲线M 由 M 1，M2，M3构成，若点P 在 M 上，且 |OP |3 ， 求 P 的 2 3 修 4 5 ： 不 讲 （ 10 分） 设x， y， zR ，且 xyz1 （1）求 222 (x1)( y1)(z1) 的最小值 ； （2）若 2221

11、(x2)( y1)(za)成立，证 明：a - 3 或 a 1 3 理 科 题 第 （ 共 ） 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学参考答案 一、选择题 1 A2D3 C4A5 C6 D 7 B8 B9 C10A11C12D 二、填空题 13 2 3 14 415 (3,15)16 118.8 三、解答题 17（12 分） 由已知得0.70a0.200.15 ，故 a0.35 b10.050.150.700.10 （2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为 20.1530.2040.3050.2060.1070.054.05 乙离子残留百分比的平均值的估计值为 30.0540.10

12、50.1560.3570.2080.156.00 18（12 分） AC （1）由题设及正弦定理得sin Asinsin Bsin A 2 AC 因为 sin A0 ，所以sinsin B 2 ACB 由 ABC180，可得sincos 22 BBB ，故cos2sincos 222 B 因为cos0 2 ，故 B1 sin= 22 ，因此B60 （2）由题设及（1）知ABC 的面积 3 Sa ABC 4 由正弦定理得a csin Acsin(120C)31 sin Csin C2tan C2 由于ABC 为锐角三角形，故0A90 ， 0C90 由（1）知AC120，所以30C90，故 1 2

13、 a2，从而 33 S ABC 82 因此， ABC 面积的取值范围是 33 (,) 82 19（12 分） （1）由已知AD BE， CG BE，所以AD CG， 故 AD，CG 确定一个平面，从而A， C，D， G 四点共面 由已知得ABBE， AB BC，故 AB平面 BCGE 又因为AB平面 ABC ，所以平面ABC 平面 BCGE （2）作 EH BC，垂足为H，因为EH平面 BCGE ，平面BCGE 平面 ABC， 理科数学试题第 5 页（共4 页） 所以 EH 平面 ABC 由已知，菱形BFGC 的边长为2，EBC 60，可求得BH1， EH3 uuur 以 H 为坐标原点， H

14、C 的方向为 x 轴的正方向，建立如图 所示的空间 直角坐标系Hxyz ，则A( 1,1,0) ， uuuruuur C(1,0,0) ， G(2,0,3) ， CG(1,0,3) ， AC(2,1,0) 设 平 面 ACGD的法向量为 n(x, y, z)，则 uuur CGn0， x3z0 ， uuur 即 2xy0. ACn0 ， 所以可取n(3,6,3) 又平面BCGE 的法向量为 m(0,1,0) 所以 cosm,n mn 3 |m | n |2 因此二面角B CG A 的大小为 30 20（12 分） （1） 2 f (x)6x2ax2x(3xa) 令 f (x)0 ，得x0或 a

15、 x 3 aa 若 a0 ，则当x(,0) U (,)时， f (x)0 ；当x(0,)时，f (x)0 33 a 故 f (x) 在 (,0) ，(,) 3 a 单调递 增 ， 在(0,) 3 单调递 减 ； 若 a0 ， f (x) 在 (,)单调递增； aa 若 a0 ，则当x(,)U (0,)时，f (x)0 ；当x(， 0)时， f ( x)0 33 a 故 f (x) 在(,) 3 a ， (0,)单调递增，在(,0) 3 单调递 减 （2）满足题设 条 件 的a， b 存在 （）当 a 0 时，由（ 1）知，f (x) 在 0,1 单调递增，所以f (x) 在 0,1 的最小值

16、为f (0)b ，最大值 为 f (1)2ab 此时a， b 满足题设 条件当且 仅当b1， 2ab1，即 a0 ， a1 （）当 a 3 时，由（ 1）知，f (x) 在 0,1单调递减，所以f (x) 在 0,1 的最大值 为f (0)b ，最小值 为 f (1)2ab 此时a， b 满足题设 条件当且 仅当b1 ， 2ab1，即 a4 ， a1 3 aa （）当 0a3 时，由（ 1）知，f (x) 在 0,1 的最小值 为f ()b ，最大值 为b 或 2ab 327 若 3 a 27 3 b1， b1 ，则a32 ，与 0a3 矛盾 若 3 a 27 b， 2ab1，则a33 或 a33 或 a0 ，与 0a3 矛盾 1 综 上 ，当 且仅当a0 ， a1 或 a4 ， a1 时， f (x) 在区间0,1 的最小值 为1，最大值 为1