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1、高考极坐标与参数方程常见题型 1 / 7 极坐标与参数方程 一、基础知识点梳理 （一）极坐标 极坐标系的概念 (1) 极坐标系 如图所示, 在平面内取一个定点O, 叫做极点 , 自极点O引一条射线Ox, 叫做极轴 ; 再 选定一个长度单位, 一个角度单位( 通常取弧度) 及其正方向( 通常取逆时针方向), 这样就建立了一个极坐标 系. 注: 极坐标系以角这一平面图形为几何背景, 而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景; 平面 直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系, 而极坐标系则不可. 但极坐标系和平面直角坐标系都是平面 坐标系 . (2) 极坐标 设 M是平面内一点 , 极点O与
2、点 M的距离叫做点M的极径 , 记为; 以极轴Ox为始边 , 射线OM为终边的 角xOM叫做点 M的极角 , 记为. 有序数对(, )叫做点 M的极坐标 , 记作(, )M. 一般地 , 不作特殊说明时, 我们认为0,可取任意实数. 特别地 , 当点M在极点时 , 它的极坐标为(0,)(R). 和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数 种表示 . 如果规定0,02, 那么除极点外, 平面内的点可用唯一的极坐标( ,)表示 ; 同时 , 极坐标 ( , )表示的点也是唯一确定的. 3、极坐标和直角坐标的互化 (1) 互化背景 : 把直角坐标系的原点作为极点轴的正半轴作为极轴, 并在两种坐标系中
3、取相同的长度单位, 如图所示 : 高考极坐标与参数方程常见题型 2 / 7 (2) 互化公式 : 设M是坐标平面内任意一点, 它的直角坐标是( , )x y, 极坐标是(, )(0), 于是极坐 标与直角坐标的互化公式如表: 点M直角坐标( ,)x y极坐标( ,) 互化公式 cos sin x y 222 tan(0) xy y x x 在一般情况下,由tan确定角时 , 可根据点 M 所在的象限最小正角. 4、常见曲线的极坐标方程 曲线图形极坐标方程 圆心在极点, 半径 为r的圆 (02 )r 圆心为( ,0)r, 半径 为r的圆 2 cos () 22 r 圆 心 为( ,) 2 r ,
4、 半 径为r的圆 2 sin(0)r 过极点 , 倾斜角为 的直线 (1)()()RR或 (2)(0)(0)和 高考极坐标与参数方程常见题型 3 / 7 过点( ,0)a, 与极轴 垂直的直线 cos() 22 a 过 点( ,) 2 a , 与 极 轴平行的直线 sin(0)a （二）、参数方程 1、参数方程的概念 一般地 , 在平面直角坐标系中, 如果曲线上任意一点的坐标, x y都是某个变数t的函数 ( ) ( ) xf t yg t , 并且 对于t的每一个允许值, 由方程组所确定的点( , )M x y都在这条曲线上, 那么方程就叫做这条曲线的参数 方程 , 联系变数, x y的变数
5、t叫做参变数, 简称参数 , 相对于参数方程而言, 直接给出点的坐标间关系的方程叫 做普通方程 . 2、参数方程和普通方程的互化 (1) 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式, 一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通 方程 . (2) 如果知道变数, x y中的一个与参数t的关系 , 例如( )xf t, 把它代入普通方程, 求出另一个变数与参 数的关系( )yg t, 那么 ( ) ( ) xf t yg t 就是曲线的参数方程, 在参数方程与普通方程的互化中, 必须使 , x y的取值 范围保持一致. 注： 普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题
6、，关键在于适当地 设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。 3、圆的参数 圆心为( , )a b，半径为r的圆的普通方程是 222 ()()xaybr， 高考极坐标与参数方程常见题型 4 / 7 它的参数方程为： cos () sin xar ybr 为参数。 4、椭圆的参数方程 以 坐标原点 O为 中心 ，焦点 在x轴上的椭圆的标准方程为 22 22 1(0), xy ab ab 其参 数方程为 cos () sin xa yb 为参数 ， 其中参数称为离心角； 焦点在 y轴上的椭圆的标准方程是 22 22 1(0), yx ab ab 其参数方程为 cos ()
7、, sin xb ya 为参数其中参数仍为离心角，通常规定参数的范围为0 ，2） 。 5、双曲线的参数方程 以坐标原点O为中心，焦点在x轴上的双曲线的标准议程为 22 22 1(0,0), xy ab ab 其参数方程为 sec () tan xa yb 为参数，其中 3 0,2),. 22 且 焦 点在 y 轴上 的 双曲 线 的标 准 方程 是 22 22 1(0,0), yx ab ab 其参 数 方程 为 cot (0,2 ). csc xb e ya 为参数，其中且 二、 极坐标与参数方程历年高考题： 1、 在以 O 为极点的极坐标系中，圆4 和直线 a 相交于 A，B 两点若是等边
8、三角形，则 a 的值为 2、 以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度 单位已知直线l 的参数方程是 (t 为参数 )， 圆 C 的极坐标方程是 4 ， 则直线 l 被圆 C 截得的弦长为() B2D2 3、曲线， 2)(为参数 )的对称中心 () A在直线 y2x 上B在直线y 2x 上C在直线yx1 上D在直线y x1 上 高考极坐标与参数方程常见题型 5 / 7 4、在极坐标系中，点到直线 1 的距离是 5、在极坐标系中， 曲线 C1和 C2的方程分别为 2 和 1.以极点为平面直角坐标系的原点，极 轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标
9、系，则曲线C1和 C2交点的直角坐标为 6、已知曲线C1的参数方程是 (t 为参数 )以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程是 2，则 C1与 C2交点的直角坐标为 7、在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线l 与曲线 C：， 1)(为参数 )交于 A，B 两点，且 2.以坐标原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是 8、已知直线l 的参数方程为(t 为参数 )，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极 坐标方程为 24 0( 0，0 2)，则直线l 与曲线 C 的公共点的极径 9、在直角坐标系中，以坐标
10、原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为 2 ， . (1)求 C 的参数方程； (2)设点 D 在 C 上， C 在 D 处的切线与直线l：y x2 垂直，根据 (1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标 10、 已知直线 l 的参数方程为(t 为参数 )，圆 C 的参数方程为， 4 )( 为参数 ) (1)求直线 l 和圆 C 的普通方程； (2)若直线 l 与圆 C 有公共点，求实数a 的取值范围 高考极坐标与参数方程常见题型 6 / 7 11、已知直线的参数方程为 ty ta 4 2x ， （t 为参数），圆的参数方程为 sin4 cos4 y x ， （为常数） 求直线和圆的普通方程； 若直线与圆有公共点，求实数的取值范围 12、将圆1 22 yx上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C 写出 C 的参数方程； 设直线l:22=0 与 C 的交点为 21P ,P以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段 的中点且与垂直的直线的极坐标方程 13、已知曲线C： 1，直线 l：(t 为参数 ) (1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程； (2)过曲线 C 上任意一点P 作与 l 夹角为 30的直线，交l 于点 A，求的最大值与最小值 14、 高考极坐标与参数方程常见题型 7 / 7
