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1、转帖 第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动-正态分布教学设计(湖南省常德市 廖华 ) 1 / 10 普通高中课程标准实验教科书 数学选修 2-3 正态分布 湖南省常德市安乡县第一中学廖 华 转帖 第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动-正态分布教学设计(湖南省常德市 廖华 ) 2 / 10 一、教学目标 一、知识与技能 1、结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解； 2、通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质 二、过程与方法 讲授法与引导发现法 通过教师先讲， 师生再共同探究的方式，让 学生深刻理解相关概念，领会数形结合的数学思想方法，体会数学知 识的形成 三、情感态度与价值观 通过教
2、学中一系列的探究过程使学生体验发现的快乐，形成积极的 情感，培养学生的进取意识和科学精神 二、教学重点与难点 重点：正态分布曲线的特点及其所表示的意义； 难点：了解在实际中什么样的随机变量服从正态分布，并掌握正态分布 曲线所表示的意义 三、教学方法 讲授法与引导发现法 四、教具准备 黑板，多媒体，高尔顿试验板 转帖 第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动-正态分布教学设计(湖南省常德市 廖华 ) 3 / 10 五、教学过程设计 教 学 环 节 教 学 内 容师 生 互 动设 计 意 图 创 设 情 境 学生上台演示高尔顿板试验 创设情境，为导入 新知做准备 学生感悟体验，对 试验的结果进行定
3、向思 考 学生经过观察小球 在 槽 中 的 堆 积 形 状 发 现：下落的小球在槽中 的分布是有规律的 让 学 生 演 示 试 验，能提高学生的学 习积极性，提高学习 数学的兴趣让学生 体验“正态分布曲线 “ 的 生 成 和 发 现 历 程 建 构 概 念 1 用频率分布直方图从频率角度研究 小球的分布规律 将球槽编号，算出各个球槽内 的小球个数，作出频率分布表 以球槽的编号为横坐标，以小 球落入各个球槽内的频率与组距的比 值为纵坐标，画出频率分布直方图。 连接各个长方形上端的中点得到频率 分布折线图 引 导 学 生 思 考 回 顾，教师通过课件演示 作图过程 在这里引导学生回 忆得到，此处的
4、纵坐标 为频率除以组距 教师提出问题：这 里每个长方形的面积的 含义是什么？ 学生经过回忆，易 得：长方形面积代表相 应区间内数据的频率 通过把与新内容 有关的旧知识抽出来 作为新知识的“生长 点” ， 为引入新知搭桥 铺路，形成正迁移 通过这里的思考 回忆，加深对频率分 布直方图的理解 转帖 第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动-正态分布教学设计(湖南省常德市 廖华 ) 4 / 10 教 学 环 节 教 学 内 容 师 生 互 动 设 计 意 图 建 构 概 念 （3）随着试验次数增多，折线图 就越来越接近于一条光滑的曲线 从描述曲线形状的角度自然引入 了正态密度函数的表达式： , 2
5、1 2 2 2 , xex x 分析表达式特点： 解析式中前有一个系数 2 1 ，后面是一个以 e为底数的指数形式， 幂指数为2 2 2 )( x ， 解 析式中含两个常数和 e，还含有两个参数 和，分别指总体随机 变 量 的 平 均 数 和 标 准 差，可用样本平均数和 标准差去估计 与旧教材不同的 是，该处在学生从形 的角度直观认识了正 态曲线之后才给出曲 线对应的表达式，这 样处理能更直观，学 生更易理解正态曲线 的来源 2.继续探究：当我们去掉高尔顿 板试验最下边的球槽，并沿其底部建 立一个水平坐标轴，其刻度单位为球 槽的宽度， 用X表示落下的小球第一 次与高尔顿板底部接触时的坐标 提
6、出问题：图中阴影部分面积有 什么意义？ 引导学生得到：此 时小球与底部接触时的 坐标X是一个连续型 随机变量 启发学生回忆：频 率分布直方图中面积对 应频率，不难理解，图 中阴影部分的面积，就 可以看成多个矩形面积 的和， 也就是X落在区 间,(ba的频率；再结合 定积分的意义,阴影部 这个步骤实现了 由离散型随机变量到 连续型随机变量的过 渡 通过设疑，引起 学生对问题的深入思 考，加深对定积分几 何意义的理解 直 接 问X落 在 区 间,(ba上 的 概 率，学生不容易反应 转帖 第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动-正态分布教学设计(湖南省常德市 廖华 ) 5 / 10 教 学 环
7、节 教 学 内 容 分面积就是正态密度函 数 在 该 区 间 上 的 积 分 值，这样，概率与积分 间就建立了一个等量关 系 师 生 互 动 过来，改为问面积的 意义后，便于学生理 解该问题 设 计 意 图 建 构 概 念 在前面分析的基础上，引出正态 分布概念：一般地，如果对于任何 实数ab，随机变量 X满足： dxxbXaP b a, ， 则 称X的 分 布 为 正 态 分 布 ， 常 记 作 2 ,N如果随机变量X服从正态 分布，则记作 2 , NX 教师在前面分析的 基础上引出正态分布的 概念，并说明记法。 引导学生分析得， X所落区间的端点能 否取值， 均不影响 X落 在该区间内的概
8、率 以旧引新，虽概 念较抽象，但这样处 理学生不会觉得太突 兀 ， 易 于 接 受 新 知 识同时培养学生把 前后知识联系起来进 行思维的习惯 列 举 实 例 请学生结合高尔顿板试验讨论提 出的问题，并尝试归纳服从或近似服 从正态分布的随机变量所具有的特 征： 1 小球落下的位置是随机的吗？ 2若没有上部的小木块，小球会 落在哪里？是什么影响了小球落下的 位置？ 3 前一个小球对下一个小球落下 的位置有影响吗？哪个小球对结果的 影响大？ 4 你能事先确定某个小球下落时 会与哪些小木块发生碰撞吗？ 学生通过讨论，教 师引导学生得出问题的 结果： 1它是随机的 2竖直落下 受众多次 碰撞的影响 3
9、 互不相干、不分主次 4不能，具有偶然性 然后归纳出特征： 一个随机变量如果是众 多的 、互不相干的 、不 分主次 的偶然 因素作用 之和，它就服从或近似 服从正态分布 教 师 列 举 实 例 分 析，帮助学生更加透彻 的理解 “什么样的随机 变量服从（或近似服 从）正态分布？”是 本节课的难点，采用 设置问题串的方式， 将复杂的问题分解成 几 个 容 易 解 决 的 问 题 ， 能 有 效 突 破 难 点同时采用小组讨 论的形式，加强学生 的合作意识，同时培 养他们的辩证观 通过举例，让学 生体会到生活中处处 有正态分布，感受到 数学的实际应用 O y x a b 转帖 第五届全国高中数学青
10、年教师观摩与评比活动-正态分布教学设计(湖南省常德市 廖华 ) 6 / 10 深 入 探 究 引导学生结合三幅图像及高尔顿 板试验，根据问题归纳正态曲线的性 质： (1)曲线在x轴的上方，与x轴不相交； (2) 曲 线 是 单 峰 的 ， 图 像 关 于 直 线 x对称； (3)曲线在x处达峰值 2 1 ； (4)曲线与x轴之间的面积为1； 引导学生联系三幅 图像，结合高尔顿板试 验思考以下问题： (1) 曲线在坐标平面的 什么位置？曲线为什么 与 x 轴不相交？ (2) 曲 线 有 没 有 对 称 轴？ (3) 曲 线 有 没 有 最 高 点？坐标是？ (4) 曲 线与x轴 围成 的 面积是
11、多少？ 该环节借助计算 机模拟及高尔顿板试 验试验结果呈现了教 学中难以呈现的课程 内容，能很好地锻炼 学 生 观 察 归 纳 的 能 力， 体现了归纳分类、 化难为易、数形结合 的思想 教 学 环 节 教 学 内 容师 生 互 动设 计 意 图 深 入 探 究 教师通过计算机绘出两组图像 （动画），让学生观察： 第一组：固定的值，取三个 不同的数； 第二组：固定的值，取三个 不同的数； 学生通过观察并结合 参 数与的 意 义可 得：当一定时，曲线 随的 变 化 而 沿x平 移；当一定时，影 响了曲线的形状 即： 越小，则曲线越瘦高， 表示总体分布越集中； 越大，则曲线越矮胖， 表示总体分布越
12、分散 针对解析式中含 有两个参数，学生较 难独立分析参数对曲 线的影响，这里通过 固定一个参数，讨论 另一个参数对图象的 影响，这样的处理大 大降低了难度，并能 很好地突出重点 自 我 例 1、下列函数是正态密度函数的 是（B ） )0(, 2 1 )(. 2 2 2 )(x exfA 都是实数 2 2 2 2 )(. x exfB 4 )1( 2 22 1 )(. x exfC 2 2 2 1 )(. x exfD 学生通过观察解析 式的结构特征可知只有 B 选项符合正态密度函 数解析式的特点 设计这一题主要 为了加强学生对正态 密度函数的理解 转帖 第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动
13、-正态分布教学设计(湖南省常德市 廖华 ) 7 / 10 尝 试 教 学 环 节 例 2、把一条正态曲线a 沿横轴向 右平移2 个单位 ,得到一条新的曲线 b下列说法中不正确的是( D ) A. 曲线 b 仍然是正态曲线 B. 曲线 a和曲线 b的最高点的纵坐 标相同 C. 以曲线b 为概率密度曲线的总 体的均值比以曲线a 为概率密度曲线 的总体的均值大2 D. 以曲线b 为概率密度曲线的总 体的方差比以曲线a 为概率密度曲线 的总体的方差大2 学生易分析知：正 态曲线a经过平移仍是 正态曲线，峰值不变。 而 曲 线 的 左 右 平 移 与 即均值有关 故 D 选 项的说法不正确 通 过 该
14、例 的 设 置，深化学生对正态 曲线的特点及正态分 布密度函数表达式中 参数与的理解 教 学 内 容师 生 互 动设 计 意 图 自 我 尝 试 例 3 、 某校某次数学考试的成绩 X服 从正态分布， 其密度函数曲线如下图： 写出 X的正态密度函数； 若参加考试的共1200人 （满分 100 分） ，你能估计及格人数吗？ 学 生 通 过 观 察 图 像 ， 可 知 对 称 轴 60，根据峰值可知 8， 代入正态曲线表 达式可得： 128 60 , 2 28 1 x ex 第二问根据图像利 用对称性知及格人数占 总参考人数一半 通过一个贴近生 活的实例，让学生体 会到数学在实际问题 中的应用，培
15、养学生 应用所学知识解决问 题的能力，激发学习 热情体现了数形结 合的思想 引 导 运 用 判断正误： 正态密度曲线)( , xy关于 直线0 x对称（） 正 态 总 体)43(N的 标 准 差 为 4（） 正态分布随机变量等于一个特定 实数的概率为0（） 若)3( 2 NX， 则)3(XP 3 1 （） 学生结合正态曲线 特点可知 由正态分布记法知 标准差为2 学生结合概率的几 何意义可知 结合正态曲线的对 称性可得到结果 通 过 一 组 判 断 题，进一步加深学生 对正态分布的认识 20 40 60 80 100 y 28 1 x O 转帖 第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动-正态分
16、布教学设计(湖南省常德市 廖华 ) 8 / 10 （为了更好地突出本节课重点，同时更好地突破难点， 考虑到本节课的课堂 容量及学生的认知情况，我将3原则放在了第二课时 ） 六、课后作业 1. （必做题）设随机变量 X 服从正态分布)92(N， 若)1(cXP)1(cXP, 求c的值并写出其正态密度函数解析式 2. （必做题）以学习小组（ 4 人）为单位，搜集某项数据资料（如某年级学生的 身高、体重等）仿照课本的方法，研究该数据是否服从（或近似服从）正态 分布？如果是，请估计参数的值 3. （选做题）在高尔顿板试验中，为什么落在中间球槽的小球最多？ 七、板书设计 正 态 分 布 课 堂 小 结 1. 知识归纳： 正态密度曲线正态分布的意义 正态密度曲线特点正态分布的实例 参数对正态曲线的影响 2. 思想方法：数形结合思想 教师引导学生从知 识内容和思想方法两方 面进行课堂小结 最 后教 师说 明 :正 态分布广泛存在于自然 现象、生产和生活实际 之中 ,我们研究它主要 还是希望它能服务于我 们的生活,那么它在实
