《【最新】(学)高中数学数列放缩专题：用放缩法处理数列和不等问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【最新】(学)高中数学数列放缩专题：用放缩法处理数列和不等问题（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、(学)高中数学数列放缩专题：用放缩法处理数列和不等问题 1 / 10 数列和不等问题（教师版） 一先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理） 例 1正数数列 n a的前n项的和 n S，满足12 nn aS，试求： （1）数列 n a的通项公式； （2）设 1 1 nn n aa b，数列 n b的前n项的和为 n B，求证： 2 1 n B 解：（ 1）由已知得 2 )1(4 nn aS，2n时， 2 11 )1(4 nn aS，作差得： 1 2 1 2 224 nnnnn aaaaa，所以0)2)( 11nnnn aaaa，又因为 n a为正数数列，所以 2 1nn aa，即 n a是公
2、差为 2 的等差数列，由12 11 aS，得1 1 a，所以12nan （2）) 12 1 12 1 ( 2 1 )12)(12( 11 1 nnnnaa b nn n ，所以 2 1 )12(2 1 2 1 ) 12 1 12 1 5 1 3 1 3 1 1( 2 1 nnn Bn 真题演练 1：(06 全国 1 卷理科 22 题)设数列 n a 的前n项的和 , 1 412 2 333 n nn Sa，1,2,3,n （）求首项 1 a与通项 n a；（）设 2 n n n T S ，1,2,3,n，证明： 1 3 2 n i i T . 解: ( ) 由 Sn=4 3a n1 32 n+
3、1 +2 3, n=1,2,3 ， , 得 a1=S1= 4 3a 1 1 34+ 2 3 所以 a1=2 再由有 Sn1= 4 3a n11 32 n+2 3, n=2,3 ，4, 将和相减得 : a n=SnSn 1= 4 3(a nan1) 1 3(2 n+12n),n=2,3, 整理得 : a n+2 n=4(a n1+2 n1),n=2,3, , 因而数列 a n+2 n 是首项为 a1+2=4, 公比为 4 的等比数列 , 即 : an+2 n =44 n1= 4n, n=1,2,3, , 因而 an=4 n2n, n=1,2,3, , ( ) 将 an=4 n2n 代入得 Sn=
4、 4 3(4 n2n)1 32 n+1 + 2 3 = 1 3(2 n+11)(2n+12) = 2 3(2 n+11)(2n1) Tn= 2 n Sn = 3 2 2 n (2 n+11)(2n1) = 3 2( 1 2 n1 1 2 n+1 1) 所以 , 1 n i i T = 3 2 1 ( n i 1 2 i 1 1 2 i+1 1) = 3 2( 1 2 11 1 1 21 n ) 1） 化简得： 1 1 22( 1) n nn aa 2 )1( 2 )1( 1 1 n n n n aa , 3 2 )1( 2 3 2 )1( 1 1 n n n n aa 故数列 3 2 )1(
5、n n a 是以 3 2 1 a为首项 , 公比为2的等比数列 . 故 1 )2)( 3 1 ( 3 2 )1( n n n a 2 2 2( 1) 3 nn n a 数列 n a 的通项公式为： 22 2( 1) 3 nn n a. 观察要证的不等式，左边很复杂，先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能够求和。而左边 = 232 45 1113111 2 21212( 1) mm m aaa ，如果我们把上式中的分母中的1去掉，就可利 用等比数列的前n 项公式求和，由于-1 与 1 交错出现，容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩， 尝试知： 3232 2 1 2 1 12 1 12
6、1 ， 4343 2 1 2 1 12 1 12 1 ，因此，可将 12 1 2 保留，再将后面的项两两组合后放缩，即可求和。这里需要对 m进行分类讨论，（1）当m为偶数)4(m时， m aaa 111 54 ) 11 () 11 ( 1 1654mm aaaaa ) 2 1 2 1 2 1 ( 2 3 2 1 243m ) 2 1 1( 4 1 2 3 2 1 4m 8 3 2 1 8 7 （2）当m是奇数)4(m时，1m为偶数， 8 711111111 165454mmm aaaaaaaa 所以对任意整数4m，有 m aaa 111 54 8 7 。 本题的关键是并项后进行适当的放缩。 (
7、学)高中数学数列放缩专题：用放缩法处理数列和不等问题 6 / 10 3. （07 武汉市模拟）定义数列如下： Nnaaaa nnn , 1, 2 2 11 求证：（ 1）对于 Nn恒有 nn aa 1 成立；（2）当 Nnn且2，有1 1211 aaaaa nnn 成立； （3）1 111 2 1 1 200621 2006 aaa 分析：（ 1）用数学归纳法易证。 （2）由1 2 1nnn aaa得：)1(1 1nnn aaa) 1(1 11nnn aaa )1(1 112 aaa 以上各式两边分别相乘得：)1(1 11211aaaaaannn ，又2 1 a 1 1211 aaaaa nn
8、n （3）要证不等式1 111 2 1 1 200621 2006 aaa ， 可先设法求和： 200621 111 aaa ，再进行适当的放缩。 )1(1 1nnn aaa nnn aaa 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1nnn aaa 200621 111 aaa ) 1 1 1 1 () 1 1 1 1 () 1 1 1 1 ( 200720063221 aaaaaa 1 1 1 1 20071 aa 200621 1 1 aaa 1又 2006 2006 1200621 2aaaa 2006 200621 2 1 1 1 1 aaa 原不等式得证。 本题的关键是根据题设条件
9、裂项求和。 数列和不等问题（学生版） 一先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理） 例 1正数数列 n a的前n项的和 n S，满足12 nn aS，试求： (学)高中数学数列放缩专题：用放缩法处理数列和不等问题 7 / 10 （1）数列 n a的通项公式； （2）设 1 1 nn n aa b，数列 n b的前n项的和为 n B，求证： 2 1 n B 真题演练 1：(06 全国 1 卷理科 22 题)设数列 n a的前n项的和 , 1412 2 333 n nn Sa，1,2,3,n （）求首项 1 a与通项 n a；（）设 2 n n n T S ，1,2,3,n，证明： 1 3 2
10、n i i T . 二先放缩再求和 1放缩后成等比数列，再求和 例 2等比数列 n a中， 1 1 2 a，前n项的和为 n S，且 798 ,S SS成等差数列 (学)高中数学数列放缩专题：用放缩法处理数列和不等问题 8 / 10 设 n n n a a b 1 2 ，数列 n b前n项的和为 n T，证明： 1 3 n T 真题演练 2：(06 福建卷理科22 题) 已知数列 n a满足 * 11 1,21(). nn aaanN （I ）求数列 n a 的通项公式； （II ）若数列 n b滿足 12 111* 444(1) () nn bbbb n anN，证明：数列 n b是等差数列
11、； （）证明： * 12 231 1 .() 232 n n aaann nN aaa . 2放缩后为“差比”数列，再求和 例 3已知数列 n a满足：1 1 a，)3, 2, 1() 2 1 ( 1 na n a n n n 求证： 1 1 2 1 3 n nn n aa (学)高中数学数列放缩专题：用放缩法处理数列和不等问题 9 / 10 3放缩后成等差数列，再求和 例 4已知各项均为正数的数列 n a的前n项和为 n S, 且 2 2 nnn aaS. (1) 求证： 22 1 4 nn n aa S； (2) 求证： 1 12 1 22 nn n SS SSS 练习： 1. （08 南
12、京一模 22 题）设函数 213 ( ) 44 fxxbx，已知不论,为何实数，恒有(cos)0f且 (2sin)0f. 对于正数列 n a，其前 n 项和() nn Sf a， * ()nN. (学)高中数学数列放缩专题：用放缩法处理数列和不等问题 10 / 10 ( ) 求实数 b 的值；（ II ）求数列 n a 的通项公式； （）若 1 , 1 n n cnN a ，且数列 n c的前 n 项和为 n T，试比较 n T和 1 6 的大小并证明之. 2. （04 全国）已知数列 n a的前n项和 n S满足： n nn aS)1(2，1n （1）写出数列 n a的前三项 1 a， 2 a， 3 a；（ 2）求数列 n a的通项公式； （3）证明：对任意的整数4m，有 8 7111 54m aaa 3. （07 武汉市模拟）定义数列如下： Nnaaaa nnn , 1, 2 2 11 求证：（ 1）对于Nn恒有 nn aa 1 成立；（2）当Nnn且2，有1 1211 aaaaa nnn 成立； （3）1 111 2 1 1 200621 2006 aaa
