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1、1 / 9 三角函数模块专题复习任意角的三角函数及诱导公式 二要点精讲 1任意角的概念 旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫的顶点。 规定 :按逆时针方向旋转所形成的角叫正角, 按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。 如果一条射 线没有做任何旋转 , 我们称它形成了一个零角。 2终边相同的角、区间角与象限角 3弧度制 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1 弧度角， 记作 1rad，或 1 弧度， 或 1( 单位可以省 略不写 ) 。角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分. 角的弧度数的绝对值是： r l ，其中， l是圆心 角所对的弧长，r是半径。 角度制与弧
2、度制的换算主要抓住180rad 。 弧度与角度互换公式：1rad 180 1 180 （rad ） 。 弧长公式：rl|（是圆心角的弧度数） ， 扇形面积公式： 2 | 2 1 2 1 rrlS。 4三角函数定义 利用单位圆定义任意角的三角函数，设是一个任意角, 它的终边与单位圆交于点( , )P x y, 那么 : (1) y叫做 的正弦 ,记做sin,即siny； （2）x叫做的余弦 , 记做cos, 即cosx； （3） y x 叫做的正切 , 记做tan, 即tan(0) y x x 。 5三角函数线 6同角三角函数关系式 （1）平方关系： 222222 sincos1,1tansec
3、,1cotcsc （2）倒数关系：sincsc=1,cossec=1,tancot=1, （3）商数关系： sincos tan,cot cossin 几个常用关系式：sin+cos， sin-cos， sin cos； (三式之间可以互相表示) a的终边 P(x,y O x y 2 / 9 7诱导公式 可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限”。 诱导公式一：sin(2)sink，cos(2)cosk，其中kZ 诱导公式二：sin(180) o sin； cos(180) o cos 诱导公式三：sin()sin；cos()cos 诱导公式四：sin(180)sin o ；cos(180)c
4、os o 诱导公式五：sin(360)sin o ；cos(360)cos o 2Zkk2 2 sin sinsin sin sinsincos cos cos cos coscoscossin （1）要化的角的形式为180k o （k为常整数）； （2）记忆方法： “函数名不变，符号看象限”； （3）sin(k +)=(1)ksin； cos(k+)=(1)kcos (kZ)； （4）sincoscos 444 xxx ；cossin 44 xx 。 三思维总结 1几种终边在特殊位置时对应角的集合为： 角的终边所在位置角的集合 X 轴正半轴Zkk,360| Y 轴正半轴Zkk,90360|
5、X 轴负半轴Zkk,180360| Y 轴负半轴Zkk,270360| 3 / 9 X 轴 Zkk,180| Y 轴Zkk,90180| 坐标轴 Zkk,90| 2、 2 、2之间的关系。 若终边在第一象限则 2 终边在第一或第三象限；2终边在第一或第二象限或y 轴正半轴。 若终边在第二象限则 2 终边在第一或第三象限；2终边在第三或第四象限或y 轴负半轴。 若终边在第三象限则 2 终边在第二或第四象限；2终边在第一或第二象限或y 轴正半轴。 若终边在第四象限则 2 终边在第二或第四象限；2终边在第三或第四象限或y 轴负半轴。 3学习本节内容时要注意如下几点：（1）熟练地掌握常用的方法与技巧，
6、在使用三角代换求 解有关问题时要注意有关范围的限制；（2）要注意差异分析，又要活用公式，要善于瞄准解题目标 进行有效的变形，其解题一般思维模式为：发现差异，寻找联系，合理转化。 三角函数的值与点 P在终边上的位置无关，仅与角的大小有关 . 我们只需计算点到原点的距离 22 rxy, 那么 22 sin y xy , 22 cos x xy , tan y x 。 三角函数的图象与性质 二要点精讲 1正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 1 -1 y=sinx -3 2 -5 2 -7 2 7 2 5 2 3 2 2 - 2 -4 -3-243 2 - o y x 1 -1 y=cosx -3 2
7、 -5 2 -7 2 7 2 5 2 3 2 2 - 2 -4 -3 -24 3 2 - o y x 4 / 9 y=tanx 3 2 2 -3 2 - -2 o y x y=cotx 3 2 2 2 - - 2 o y x 2三角函数的单调区间： xysin的递增区间是 2 2 2 2kk， )(Zk， 递减区间是 2 3 2 2 2kk， )(Zk； xycos的递增区间是kk22，)(Zk， 递减区间是kk22，)(Zk， xytan的递增区间是 22 kk，)(Zk， 3函数BxAy)sin(），（其中00A 最大值是BA，最小值是AB，周期是 2 T ，频率是 2 f ，相位是x，初
8、相是 ； 其图象的对称轴是直线 )( 2 Zkkx ，凡是该图象与直线By的交点都是该图象的 对称中心。 4由 ysinx 的图象变换出y sin(x)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径， 才能灵活进行图象变换。 利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请 切记每一个变换总是对字母x 而言， 即图象变换要看 “变量” 起多大变化， 而不是 “角变化” 多少。 途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换 ) 先将 ysinx 的图象向左 (0)或向右 (0平移个单位， 再将图象上各点的横坐标 变为原来的 1 倍(0)，便得 ysin(x)的图象。 途径
9、二：先周期变换(伸缩变换 )再平移变换。 先将 ysinx 的图象上各点的横坐标变为原来的 1 倍(0)，再沿 x 轴向左 ( 0)或向右 ( 0平移 | 个单位，便得ysin(x)的图象。 5由 yAsin(x)的图象求其函数式： 5 / 9 给出图象确定解析式y=Asin（x+）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（，0）作 为突破口，要从图象的升降情况找准 第一个零点的位置。 6对称轴与对称中心： sinyx的对称轴为2xk，对称中心为(,0) kkZ； cosyx的对称轴为xk，对称中心为 2 (,0)k； 对于sin()yAx和cos()yAx来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最
10、值点联 系。 7求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、 的正负 利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间； 8求三角函数的周期的常用方法： 经过恒等变形化成“sin()yAx、cos()yAx”的形式，在利用周期公式，另 外还有图像法和定义法。 9五点法作y=Asin（x+）的简图： 五点取法是设x=x+，由x取 0、 2 、 2 3 、2来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。 三思维总结 1数形结合是数学中重要的思想方法，在中学阶段，对各类函数的研究都离不开图象，很多 函数的性质都是通过观察图象而得到的。 2作函数的图象时，首先要确
11、定函数的定义域 。 3对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周 期性作出整个函数的图象。 4求定义域时，若需先把式子化简，一定要注意变形时x 的取值范围不能发生变化。 5求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数，且三角函数的次数为 1 的形式，否则很容易出现错误。 6函数的单调性是在定义域或定义域的某个子区间上考虑的，要比较两三角函数值的大小一 般先将它们化归为同一单调区间的同名函数再由该函数的单调性来比较大小。 7判断 y=Asin（x+） （0）的单调区间，只需求y=Asin（x+）的相反区间即可， 一般常用数形结合而求 y=Asin
12、（x+） （0单调区间时，则需要先将x 的系数变为正 的，再设法求之。 三角恒等变形及应用 二要点精讲 1两角和与差的三角函数 sincoscossin)sin(； sinsincoscos)cos(； 6 / 9 tantan tan() 1tantanm 。 2二倍角公式 cossin22sin； 2222 sin211cos2sincos2cos； 2 2tan tan2 1tan 。 3三角函数式的化简 常用方法：直接应用公式进行降次、消项；切割化弦，异名化同名，异角化同角；三 角公式的逆用等。 （2）化简要求：能求出值的应求出值；使三角函数种数尽量少；使项数尽 量少；尽量使分母不含三
13、角函数；尽量使被开方数不含三角函数。 （1）降幂公式 2sin 2 1 cossin； 2 2cos1 sin 2 ； 2 2cos1 cos 2 。 （2）辅助角公式（万能公式） 22 sincossinaxbxabx， 2222 sincos ba abab 其中，。 4三角函数的求值类型有三类 （1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角 变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题； （2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在 于“变角” ，如2(),()()等，把所求角用含已知角的式子表示， 求解时要注
14、意角的范围的讨论； （3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范 围及函数的单调性求得角。 5三角等式的证明 （1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左 右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”； （2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、 消参法或分析法进行证明。 三思维总结 1两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式 在学习时应注 意以下几点： （1）不仅对公式的正用逆用要熟悉，而且对公式的变形应用也要熟悉； （2）善于拆角、拼角 7 / 9 如
15、，22，等； （3）对公式的逆用公式，变形式也要熟悉，如 。 ， ， ， tantantantantantan tantantantantantan tantantantan1tan cossinsincoscos （4）注意倍角的相对性 （5）要时时注意角的范围 （6）化简要求 熟悉常用的方法与技巧，如切化弦，异名化同名，异角化同角等。 2证明三角等式的思路和方法。 （1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。 （2）证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用 正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。 第三讲：
16、三角函数单元部分易错题解析 （1）终边与终边共线 (的终边在终边所在直线上)()kkZ. （2）终边与终边关于x轴对称2()kkZ. （3）终边与终边关于 y轴对称2()kkZ . （4）终边与终边关于原点对称2()kkZ. （ 5）终边在x轴上的角可表示为：,kkZ；终边在y轴上的角可表示为： , 2 kkZ；终边在坐标轴上的角可表示为：, 2 k kZ. 如的终边与 6 的终边 关于直线xy对称，则Zkk, 3 2 1. 特殊角的三角函数值： 3045600901802701575 sin 2 1 2 2 2 3 0 1 0 1 62 4 62 4 8 / 9 cos 2 3 2 2 2 1 1 0 1 0 62 4 62 4 tan 3 3 1 3 0 0 2-32+3 cot 31 3 3 0 0 2+32-3 2. 同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系： 222222 sincos1,1tansec,1cotcsc （2）倒数关系：sincsc=1,cossec=1,tancot=1, （3
