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1、1 / 8 新课标必修 3 概率部分知识点总结及典型例题解析 事件：随机事件 确定性事件 : 必然事件和不可能事件 ? 随机事件的概率(统计定义 )： 一般的，如果随机事件A在n次实验中发生了m次， 当实验的次数n很大时，我们称事件A 发生的概率为 n m AP 说明 ： 一个随机事件发生于具有随机性，但又存在统计的规律性，在进行大量的重复事 件时某个事件是否发生，具有频率的稳定性，而频率的稳定性又是必然的，因此偶然性和 必然性对立统一 不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况 随机事件的 频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附 近摆动， 且随着试
2、验次数的不断增多，这个摆动的幅度越来越小，而这个接近的某个常数， 我们称之为概事件发生的概率 概率是有巨大的数据统计后得出的结果，讲的是一种大 的整体的趋势， 而频率是具体的统计的结果概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值 概率必须满足三个基本要求： 对任意的一个随机事件A，有10AP 0, 1,PP则有可能事件分别表示必然事件和不和用如果事件 BPAPBAPBA:,则有互斥和 古典概率： 所有基本事件有限个每个基本事件发生的可能性都相等满足这两 个条件的概率模型成为古典概型 如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个n， 则每一个基本事件发生的概率都是 n 1 ，如果某个事件A包含了其中的m个
3、等可能的基本事件，则事件A发生的概率为 n m AP 几何概型： 一般地，一个几何区域D中随机地取一点，记事件“改点落在其内部的一个 区域d内”为事件A，则事件A发生的概率为 的侧度 的侧度 D d AP（ 这里要求D的侧度不为0，其中侧度的意义由D确定，一般地， 线段的侧度为该线段的长度；平面多变形的侧度为该图形的面积；立体图像的侧度为其 体积 ） 几何概型的基本特点： 基本事件等可性 基本事件无限多 颜老师说明：为了便于研究互斥事件，我们所研究的区域都是指的开区域，即不含边界， 在区域D内随机地取点，指的是该点落在区域D内任何一处都是等可能的，落在任何 部分的可能性大小只与该部分的侧度成正
4、比，而与其形状无关。 互斥事件 (exclusive events) ：不能同时发生的两个事件称为互斥事件 2 / 8 对立事件 （complementary events ） ：两个互斥事件中必有一个发生,则称两个事件为对立事 件，事件A的对立事件记为：A 独立事件的概率：BPAPAABP,B,则为相互独立的事件事件若， 若 n21n2121 A.AA.AAAP,.,PPPAAA n 则为两两独立的事件 说明： 若,B,B,中最多有一个发生则为互斥事件AA可能都不发生， 但不可能同时 发生 ，从集合的关来看两个事件互斥，即指两个事件的集合的交集是空集 对立事件是指的两个事件，而且必须有一个发
5、生，而互斥事件可能指的很多事件，但 最多只有一个发生，可能都不发生 对立事件一定是互斥事件 从集合论来看：表示互斥事件和对立事件的集合的交集都是空集，但两个对立事件的 并集是全集，而两个互斥事件的并集不一定是全集 两个对立事件的概率之和一定是1 ，而两个互斥事件的概率之和小于或者等于1 若事件BA,是互斥事件， 则有BPAPBAP一般地，如果 n AAA,., 21 两两互斥，则有 nn APAPAPAAAP. 2121 APAP1 在本教材中 n AAA. 21 指的是 n AAA,., 21 中至少发生一个在具体 做题中，一定要注意书写过程，设出事件来，利用哪种概型解题，就按照那种概型的书
6、 写格式，最重要的是要设出所求的事件来，具体的格式请参照我们课本上（新课标试 验教科书 - 苏教版）的例题 例题选讲： 例 1. 在大小相同的6 个球中， 4 个是红球，若从中任意选2 个，求所选的2 个球至少有 一个是红球的概率？ 【分析】 题目所给的6 个球中有4 个红球， 2 个其它颜色的球，我们可以根据不同的思路 有不同的解法 解法 1： （互斥事件）设事件 A 为“选取 2 个球至少有1 个是红球”，则其互斥事件为A 意义为“选取2 个球都是其它颜色球” 15 14 15 1 -1AP-1AP 15 1 2 )56( 1 AP 答：所选的2 个球至少有一个是红球的概率为 15 14
7、. 解法2： （古典概型）由题意知，所有的基本事件有15 2 56 种情况，设事件A为“选 取 2 个球至少有1 个是红球” ， 而事件 A所含有的基本事件数有14 2 34 24 3 / 8 所以 15 14 AP 答：所选的2 个球至少有一个是红球的概率为 15 14 . 解法 3： （独立事件概率）不妨把其它颜色的球设为白色求，设事件 A 为“选取2 个球至 少有 1 个是红球”，事件A有三种可能的情况：1 红 1 白； 1 白 1 红； 2 红，对应的概率分 别为： 5 3 6 4 , 5 4 6 2 , 5 2 6 4 ， 则有 15 14 5 3 6 4 5 4 6 2 5 2 6
8、 4 AP 答：所选的2 个球至少有一个是红球的概率为 15 14 . 评价： 本题重点考察我们对于概率基本知识的理解，综合所学的方法，根据自己的理解用 不同的方法，但是基本的解题步骤不能少! 变式训练1： 在大小相同的6 个球中， 2 个是红球， 4 个是白球，若从中任意选取3 个，求 至少有 1 个是红球的概率？ 解法 1： （互斥事件）设事件 A 为“选取3 个球至少有1 个是红球”，则其互斥事件为A， 意义为“选取3 个球都是白球” 5 4 5 1 -1AP-1AP 5 1 4 2 5 3 6 4 123 )456( 123 234 AP 3 6 3 4 C C 答：所选的3 个球至少
9、有一个是红球的概率为 5 4 . 解法 2： （古典概型）由题意知，所有的基本事件有20 123 4563 6 C种情况，设事件A 为 “ 选取3 个 球 至少有1 个是 红球 ”， 而事 件A所 含 有 的基 本事 件数 有 16 2 34 2412 2 4 C， 所以 5 4 20 16 AP 答：所选的3 个球至少有一个是红球的概率为 5 4 . 解法 3： （独立事件概率）设事件A为“选取 3 个球至少有1 个是红球”，则事件A的情 况如下： 红 白 白 5 1 4 3 5 4 6 2 1 红 2 白白 白 红 5 1 4 2 5 3 6 4 白 红 白 5 1 4 3 5 2 6 4
10、 红 红 白 15 1 4 4 5 1 6 2 2 红 1 白红 白 红 15 1 4 1 5 4 6 2 白红 红 15 1 4 1 5 2 6 4 4 / 8 所以 5 4 15 1 3 5 1 3AP 答：所选的3 个球至少有一个是红球的概率为 5 4 . 变式训练2：盒中有 6 只灯泡，其中2 只次品， 4 只正品，有放回的从中任抽2 次，每次 抽取 1 只，试求下列事件的概率： （ 1）第 1 次抽到的是次品 （ 2）抽到的2 次中，正品、次品各一次 解： 设事件A为“第 1 次抽到的是次品” ， 事件B为“抽到的2 次中，正品、次品各一次” 则 3 1 6 2 AP， 9 4 66
11、 4224 BP（或者 9 4 6 2 6 4 6 4 6 2 BP） 答： 第 1 次抽到的是次品的概率为 3 1 ，抽到的2 次中，正品、次品各一次的概率为 9 4 变式训练3：甲乙两人参加一次考试共有3 道选择题， 3 道填空题，每人抽一道题，抽到后 不放回， 求 （ 1） 甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率？（2） 求至少 1 人抽到选择题的概率？ 【分析 】 （1）由于是不放回的抽，且只抽两道题，甲抽到选择题而乙抽到填空题是独立的， 所以可以用独立事件的概率（2）事件“至少1 人抽到选择题”和事件“两人都抽到填空题” 时互斥事件，所以可以用互斥事件的概率来 解：设事件A为“甲抽到选择题
12、而乙抽到填空题”，事件B为“至少 1 人抽到选择题” ，则B 为“两人都抽到填空题” （1） 10 3 56 33 10 3 5 3 6 3 2 6 1 3 1 3 P PP APAP或者 （ 2） 5 1 5 1 5 2 6 3 2 6 2 3 P P BPBP或者则 5 4 5 1 11BPBP 答： 甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率为 10 3 ，少 1 人抽到选择题的概率为 5 4 . 变式训练4：一只口袋里装有5 个大小形状相同的球，其中3 个红球， 2 个黄球，从中不放 回摸出 2 个球，球两个球颜色不同的概率？ 【分析 】先后抽出两个球颜色相同要么是1 红 1球，要么是1 黄 1
13、 球 略解 : 5 36 5 3 4 3 5 2 4 2 5 3 2 5 C APAP或者 变式训练5： 设盒子中有6 个球，其中4 个红球， 2 个白球，每次人抽一个，然后放回， 若连续抽两次，则抽到1 个红球 1 个白球的概率是多少？ 略解 : 9 4 66 42 66 24 6 4 6 2 6 2 6 4 AP 例 2. 急救飞机向一个边长为1 千米的正方形急救区域空头急救物品，在该区域内有一个长 宽分别为80 米和 50 米的水池，当急救物品落在水池及距离水池10 米的范围内时，物品会 失效，假设急救物品落在正方形区域内的任意一点是随机的（不考虑落在正方形区域范围之 外的），求发放急救
14、物品无效的概率？ 【分析 】为题属于几何概型，切是平面图形，其测度用面积来衡量 解： 如图，设急救物品投放的所有可能的区域，即边长为1 千米的正方形为区域D，事件 5 / 8 a a/6 F ED C1 C AB B1A1 “发放急救物品无效”为A，距离水池10 米范围为区域d，即为图中的阴影部分，则 有 测度 测度 D d AP 10001000 4 10 410502108025080 2 答： 略 颜老师说明：这种题目要看清题目意思，为了利用 几何概率，题目中一般都会有落在所给的大的区域 之外的不计的条件，但如果涉及到网格的现象是一 般则不需要这个条件，因为超出一个网格，就会进入另外一个
15、网格，分析是同样的 变式训练1：在地上画一正方形线框，其边长等于一枚 硬币的直径的2 倍，向方框中投掷硬币硬币完全落在正方形外的不计，求硬币完全落在正 方形内的概率？ 略解： 32 4 14144 2 22 2 测度 测度 D d AP 变式训练2：如图， 设有一个正方形网格，其中每个小正三角形的边长都是a, 现有一直径 等于 2 a 的硬币落在此网格上，求硬币落下后与网格有公共点的概率？ 【分析 】因为圆的位置由圆心确定，所以要与网格线有公共点 只要圆心到网格线的距离小于等于半径 解： 如图，正三角形ABC内有一正三角形 111 CBA，其中 tan30 DA BEAD, 6 1 FAEBD
16、A, 1 111 aaAB a 6 3 ，aaaADAB 3 3 1 3 3 2BA 11 当圆心落在三角形 111 CBA之外时，硬币与网格有公共点 111 CBA 111ABC CBA-S P S S 有公共点的概率 82. 0 4 3 3 3 1 4 3 4 3 2 2 2 2 a aa 答： 硬币落下后与网格有公共点的概率为0.82 . 6 / 8 B D C P A 变式训练3：如图，已知矩形 在正方形内，中,7AC,5ABABCD,P任取一点 90APB求的 概 率？ 略解： 56 5 75 2 5 2 1 2 AP 变式训练4：平面上画了彼此相距2a 的平行线把一枚半径r a 的 硬币，任意的抛在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率？ 解： 设事件A为“硬币不与任何一条平行线相碰”为了确定硬币 的位置，有硬币的中心向距离最近的平行线作垂线OM，垂足 为M， 线段OM的长度的取值范围为a,0，其长度就是 几何概型所有的可能性构成的区域 D的几何测度，只有当 aO
