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1、O(_)O 第五章定积分 (A 层次) 1 2 0 3 cossinxdxx；2 a dxxax 0 222 ；3 3 122 1xx dx ； 4 1 1 45x xdx ；5 4 1 1x dx ；6 1 4 3 11x dx ； 7 2 1 ln1 e xx dx ；8 0 2 2 22xx dx ；9dxx 0 2cos1； 10dxxx sin 4 ；11dxx 2 2 4 cos4 ；12 5 5 24 23 12 sin dx xx xx ； 13 3 4 2 sin dx x x ；14 4 1 ln dx x x ；15 1 0 xarctgxdx； 16 2 0 2 cos
2、xdxe x ；17dxxx 0 2 sin；18dxx e 1 lnsin； 19 2 4 3 coscosdxxx；20 4 0 sin1 sin dx x x ； 21dx x xx 0 2 cos1 sin ； 22 2 1 0 1 1 lndx x x x；23dx x x 4 2 1 1 ；24 2 0 sinlnxdx； 25 0 2 11 dx xx dx 0。 (B 层次) 1求由0cos 00 xy t tdtdte所决定的隐函数y对x的导数 dx dy 。 2当x为何值时，函数 x t dttexI 0 2 有极值？ 3 x x dtt dx d cos sin 2 co
3、s。 4设 1, 2 1 1, 1 2 xx xx xf，求 2 0 dxxf。 O(_)O 5 1 lim 2 0 2 x dtarctgt x x 。 6设 其它,0 0,sin 2 1 xx xf，求 x dttfx 0 。 7设 时当 时当 0, 1 1 0, 1 1 x e x x xf x ，求 2 0 1 dxxf。 8 2 2 2 1 limnnn n n 。 9求 n k n k n k n nen e 1 2 lim。 10设xf是连续函数，且 1 0 2dttfxxf，求xf。 11若 2ln2 6 1 xt e dt ，求x。 12证明： 2 1 2 1 2 1 22
4、2 dxee x 。 13已知 a x x x dxex ax ax22 4lim，求常数 a。 14设 0, 0,1 2 xe xx xf x ，求 3 1 2 dxxf 。 15设xf有一个原函数为x 2 sin1，求 2 0 2dxxfx。 16设xbaxxfln，在3, 1上0 xf，求出常数a，b 使 3 1 dxxf最 小。 17已知 2 x exf，求 1 0 dxxfxf。 18设 1 0 2 0 2 2dxxfdxxfxxxf，求xf。 19 0 2 sincoscoscosdxxxfxxf。 O(_)O 20设0 x时，dttftxxF x 0 22 的导数与 2 x是等价
5、无穷小，试求 0f。 (C 层次) 1 设xf是 任 意 的 二 次 多 项 式 ，xg是 某 个 二 次 多 项 式 ， 已 知 1 2 1 40 6 1 1 0 fffdxxf，求dxxg b a 。 2设函数xf在闭区间ba,上具有连续的二阶导数，则在ba,内存在， 使得fab ba fabdxxf b a 3 24 1 2 。 3 xf在ba,上 二 次 可 微 ， 且0 xf，0 xf。 试 证 2 afbf abdxxfafab b a 。 4 设函数xf在ba,上连续，xf在ba,上存在且可积，0bfaf， 试证dxxfxf b a 2 1 (bxa)。 5设xf在1 ,0上连续
6、，0 1 0 dxxf，1 1 0 dxxxf，求证存在一点x， 10 x，使4xf。 6设xf可微，00f，10f，dttxtfxF x 0 22 ，求 4 0 lim x xF x 。 7 设xf在ba,上 连 续 可 微 ， 若0bfaf， 则 xfdxxf ab bxa b a max 4 2 。 8设xf在BA,上连 续，BbaA， 求证dx k xfkxf b ak0 lim afbf。 9 设xf为奇函数，在,内连续且单调增加，dttftxxF x 0 3， 证明： (1)xF为奇函数； (2)xF在,0上单调减少。 O(_)O 10设xf可微且积分dtxtxfxf 1 0 的结
7、果与x无关，试求xf。 11若xf在,0连续，20f，1f，证明： 0 3sin xdxxfxf。 12求曲线 x dttty 0 21 在点(0,0)处的切线方程。 13 设xf为 连 续 函 数 ， 对 任 意 实 数a有 a a dxxxf0sin， 求 证 xfxf 2。 14设方程 yx tdtyxtgx 0 2 sec2，求 2 2 dx yd 。 15设xf在ba,上连续，求证： afxfdttfhtf h x a h 1 lim 0 (bxa) 16当0 x时，xf连续，且满足xdttf xx1 0 2 ，求2f。 17设xf在1 ,0连续且递减，证明 0 1 0 dxxfdx
8、xf，其中1 ,0。 18设xf连续，dttaftfxF x 2 0 ，00f，1af，试证： 122aFaF。 19设xg是ba,上的连续函数，dttgxf x a ，试证在ba,内方程 0 ab bf xg至少有一个根。 20设xf在ba,连续，且0 xf，又dt tf dttfxF x b x a 1 ，证明： (1)2xF(2)0 xF在ba,内有且仅有一个根。 21设xf在a2,0上连续，则 aa dxxafxfdxxf 0 2 0 2。 22设xf是以为周期的连续函数，证明： 0 2 0 2sindxxfxdxxfxx。 O(_)O 23设xf在ba,上正值，连续，则在ba,内至少
9、存在一点，使 b a b a dxxfdxxfdxxf 2 1 。 24证明 1 00 1 0 ln 1 lnlnduufdu uf uf dttxf x 。 25设xf在ba,上连续且严格单调增加， 则 b a b a dxxxfdxxfba2。 26 设xf在ba,上可导，且Mxf，0af， 则 2 2 ab M dxxf b a 。 27设xf处处二阶可导，且0 xf，又tu为任一连续函数，则 aa dttu a fdttuf a 00 11 ，0a。 28设xf在ba,上二阶可导，且0 xf，则 2 ba fabdxxf b a 。 29设xf在ba,上连续，且0 xf，0 b a d
10、xxf，证明在ba,上必有 0 xf。 30 xf在ba,上 连 续 ， 且 对 任 何 区 间ba,有 不 等 式 1 Mdxxf(M ，为正常数 )，试证在ba,上0 xf。 第五章定积分 (A) 1 2 0 3 cossinxdxx 解：原式 4 1 cos 4 1 cos 2 0 4 2 0 3 xxdx 2 a dxxax 0 222 解：令taxsin ，则tdtadxcos 当0 x时0t，当ax时 2 t 原式 2 0 22 coscossintdtatata O(_)O 2 0 4 2 0 2 4 4cos1 8 2sin 4 dtt a tdt a 4 2 0 44 16
11、4sin 4 1 828 at aa 3 3 122 1xx dx 解：令tgx，则ddx 2 sec 当1x，3时分别为 4 ， 3 原式d tg 3 4 2 2 sec sec 3 4 2 sinsind 3 3 2 2 4 1 1 45x xdx 解：令ux45，则 2 4 1 4 5 ux，ududx 2 1 当1x，1 时，1 , 3u 原式 6 1 5 8 1 1 3 2 duu 5 4 1 1x dx 解：令tx，tdtdx2 当1x时，1t；当4x时，2t 原式 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 t dt dt t tdt 3 2 ln221ln2 2 1 2 1 tt
12、6 1 4 3 11x dx O(_)O 解：令ux1，则 2 1ux，ududx2 当1 , 4 3 x时0 , 2 1 u 原式2ln21 1 11 2 1 2 2 1 0 0 2 1 du u u du u u 7 2 1 ln1 e xx dx 解：原式 22 11 ln1 ln1 1 ln ln1 1 ee xd x xd x 232ln12 2 1 e x 8 0 2 2 22xx dx 解：原式 0 2 0 22 1 11 xarctg x dx 244 11arctgarctg 9dxx 0 2cos1 解：原式 00 2 cos2cos2dxxdxx 2 2 0 cos2co
13、s2dxxxdx 22sinsin2 2 2 0 xx 10dxxx sin 4 解：xx sin 4 为奇函数 0sin 4 xdxx 11dxx 2 2 4 cos4 解：原式 2 0 2 2 2 0 4 cos22cos24dxxxdx O(_)O 2 0 2 2 0 2 2cos2cos2122cos12dxxxdxx 2 0 2 0 2 0 4cos12cos22dxxxdxx 2 0 2 0 44cos 4 1 2 2sin2xxdx 2 3 4sin 4 1 2 3 2 0 x 12 5 5 24 23 12 sin dx xx xx 解： 12 sin 24 23 xx xx
14、为奇函数 0 12 sin 5 5 24 23 dx xx xx 13 3 4 2 sin dx x x 解：原式 3 4 xdctgx 3 4 3 4 ctgxdxxctgx 3 4 sinln 9 3 4 1 x 2 2 ln 2 3 ln 9 3 4 1 2 3 ln 2 1 9 3 4 1 14 4 1 ln dx x x 解：原式 4 1 ln2xxd O(_)O 4 1 4 1 lnln2xdxxx 4 1 1 2ln42dx x x 4 1 2 1 22ln8dxx 42ln8 15 1 0 xarctgxdx 解：原式 1 0 2 2 1 arctgxdx 1 0 2 2 1
15、0 2 12 1 dx x x arctgxx 1 0 2 1 0 12 1 2 1 8x dx dx 1 0 1 0 2 1 2 1 8 arctgxx 2 1 4 16 2 0 2 cosxdxe x 解：原式 2 0 2 sin xde x 2 0 2 2 0 2 2sinsindxexxe xx 2 0 2 cos2xdee x 2 0 2 2 0 2 2cos2cos2dxexxee xx 2 0 2 cos42xdxee x 故2 5 1 cos 2 0 2 exdxe x 17dxxx 0 2 sin O(_)O 解：原式 0 2 0 2 2 2cos1 sindx x xdxx
16、x 0 2 0 2 2cos 2 1 2 1 xdxxdxx 0 2 0 3 2sin 4 1 6 1 xdxx 00 2 3 22sin2sin 4 1 6 xdxxxx 0 3 2cos 4 1 6 xxd 46 2cos2cos 4 1 6 3 0 0 3 xdxxx 18 dxx e 1 lnsin 解：原式 e e dx x xxxx 1 1 1 lncoslnsin e dxxe 1 lncos1sin e e dx x xxxxe 1 1 1 lnsinlncos1sin e dxxee 1 lnsin11cos1sin 故11cos1sin 2 lnsin 1 e dxx e 19 2 4 3 coscosdxxx 解：原式 2 4 2 cos1cosdxxx 2 0 0 4 sincossincosxdxxdxxx 2 0 2 3 0 4 2 3 cos 3 2 cos 3 2 xx 3 2 3 4 4 O(_)O 20 4 0 sin1 sin dx x x 解：原式 4 0 2 sin1 sin1sin d
