《【精编版】等差数列知识点总结及练习(学生版)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【精编版】等差数列知识点总结及练习(学生版)（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 等差数列知识点总结 一、等差数列知识点回顾与技巧点拨 1等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列， 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示 2等差数列的通项公式 若等差数列 an的首项是a1，公差是d，则其通项公式为ana1(n1)d(nm)dp. 3等差中项 如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项，如果A是x和y的等差中项，则A xy 2 . 4等差数列的常用性质 (1) 通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN *) (2) 若an为等差数列，且mnpq， 则amanapaq(
2、m，n，p，qN *) (3) 若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak 2m，(k，mN *) 是公差为 md的等差数列 (4) 数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列 (5)S2n 1(2n1)an. (6) 若n为偶数，则S偶S奇 nd 2 ； 若n为奇数，则S奇S偶a中( 中间项 ) 5等差数列的前n项和公式 若已知首项a1和末项an，则Sn na1an 2 ，或等差数列 an 的首项是a1，公差是d，则其前n项和公式为Sn na1 nn1 2 d. 6等差数列的前n项和公式与函数的关系 Sn d 2n 2 a1d 2 n，数列 an是等差数列的充要条件是SnAn 2
3、 Bn(A，B为常数 ) 7最值问题 在等差数列 an中，a1 0，d0，则Sn存在最大值，若a1 0，d0，则Sn存在最小值 一个推导 利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式： Sna1a2a3an， Snanan1a1， 得：Sn na1an 2 . 两个技巧 已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元 (1) 若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为，a2d，ad，a，ad，a2d，. (2) 若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为，a3d，ad，ad，a3d，其余各项再依据等差数列 的定义进行对称设元 四种方法 等差数列的判断方法 (1) 定义法：对于n2 的任意自然数，验
4、证anan1为同一常数； (2) 等差中项法：验证2an1anan2(n3，n N * ) 都成立； (3) 通项公式法：验证anpnq； (4) 前n项和公式法：验证SnAn 2 Bn. 注：后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列 2 回顾： 1已知等差数列an中， a3=9，a9=3，则公差d 的值为（） AB1CD 1 2已知数列 an 的通项公式是an=2n+5，则此数列是（） A 以 7 为首项，公差为2 的等差数列B 以 7 为首项，公差为5 的等差数列 C 以 5 为首项，公差为2 的等差数列D不是等差数列 3在等差数列an中， a1=13，a3=12，若
5、an=2，则 n 等于（） A 23B24C25D 26 4两个数1 与 5 的等差中项是（） A 1B3C2D 5 （2005?黑龙江）如果数列an是等差数列，则（） A a1+a8a4+a5Ba1+a8=a4+a5Ca1+a8 a4+a5D a1a8=a4a5 考点 1: 等差数列的通项与前n 项和 题型 1：已知等差数列的某些项，求某项 【解题思路】 给项求项问题，先考虑利用等差数列的性质，再考虑基本量法 【例 1】已知 n a为等差数列，则 对应练习 ：1、已知 n a为等差数列，（互不相等），求. 2、已知个数成等差数列，它们的和为，平方和为，求这个数 . 题型 2：已知前项和及其某
6、项，求项数. 【解题思路】利用等差数列的通项公式求出及，代入可求项数； 利用等差数列的前4 项和及后 4 项和求出，代入可求项数. 【例 2】已知为等差数列 n a的前项和，求 对应练习： 3、若一个等差数列的前4 项和为 36，后 4 项和为 124，且所有项的和为780，求这个数列的项数. 20,8 6015 aa 75 a qapa nm ,knm, k a 551655 n n S dnaan)1( 11 ad n Sn n aa1 n Sn n Sn63, 6,9 94n Saan 7,663)1( 2 3 18 21 nnnnnSn n 3 4. 已知为等差数列 n a的前项和，则
7、 . 题型 3：求等差数列的前n 项和 【解题思路】（1）利用求出，把绝对值符号去掉转化为等差数列的求和问题. （2）含绝对值符号的数列求和问题，要注意分类讨论. 【例 3】已知为等差数列 n a的前项和，. （1） ； 求； 求. 对应练习： 5、已知为等差数列 na 的前项和，求. 考点 2 ：证明数列是等差数列 【名师指引】 判断或证明数列是等差数列的方法有： 1、定义法：（，是常数） n a是等差数列； 2、中项法：() n a是等差数列； 3、通项公式法：（是常数） n a是等差数列； 4、项和公式法：（是常数，） n a是等差数列 . 【例 4】已知为等差数列 n a的前项和，.
8、n Sn100,7,1 41n Saan nSna n Sn 2 12nnSn 321 aaa 10321 aaaa n aaaa 321 nS n10,100 10010SS110S daa nn 1 Nnd 21 2 nnn aaaNn bknanbk, BnAnSn 2 BA,0A n Sn)(Nn n S b n n 4 求证：数列是等差数列 . 解： 对应练习： 6、设为数列 n a的前项和， （1）常数的值； （2） 证：数列是等差数列 . 考点 3 : 等差数列的性质 【解题思路】 利用等差数列的有关性质求解. 【例 5】1、已知为等差数列 n a的前项和，则； 2、知为等差数列
9、 n a的前项和，则 . 对应练习： 7、含个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为（） 8. 设、分别是等差数列 n a、 n a的前项和，则 . 考点 4： 等差数列与其它知识的综合 【解题思路】 1、利用与的关系式及等差数列的通项公式可求； 2、求出后，判断的单调性 . 【例 6】已知为数列 n a的前项和，；数列满足：， ，其前项和为 n b n Sn)(NnpnaS nn . 21 aa p n a n Sn100 6 a 11 S n Sn)(,mnnSmS mnnm S 12n .A n n12 .B n n1 .C n n1 .D n n 2 1 n S n Tn 3 27
10、 n n T S n n 5 5 b a n a n S n T n T n SnnnSn 2 11 2 1 2 n b11 3 b nnn bbb 12 29.153 5 数列 n a、的通项公式； 设为数列的前项和， 求使不等式对都成立的最大正 整数的值 . 对应练习： 9. 已知为数列 n a的前项和，. 数列 n a的通项公式； 数列 n a中是否存在正整数，使得不等式对任意不小于的正整数都成立？若存在，求最小的正整数 ，若不存在，说明理由. 课后练习： 1.(2010 广雅中学 ) 设数列是等差数列，且，是数列的前项和，则 A B C D 2. 在等差数列 n a中，则 . 3. 数
11、列 n a中，当数列 n a的前项和取得最小值时， . 4. 已知等差数列 n a共有项，其奇数项之和为，偶数项之和为，则其公差是 . 5. 设数列中，则通项 . 6. 从正整数数列中删去所有的平方数，得到一个新数列，则这个新数列的第项是 . n b n T n cn )12)(112( 6 nn n ba c 57 k TnNn k n Sn3 1 a)2(2 1 naSS nnn k 1kk aak k n a 2 8a 15 5a n S n an 1011 SS 1011 SS 910 SS 910 SS 120 5 a 8642 aaaa 492nann n Sn 101030 n a 11 2,1 nn aaan n a , 5 ,4 , 3 ,2, 11964
