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1、1 1.2.1 任意角的三角函数 整体分析 教材分析 本节内容是数学4 第一章三角函数的重要内容，是在初中学过的，用直角三角形的比来刻画锐角三角 函数的基础上，利用任意角的基础，对三角函数进行重新定义。此外，本节还是三角函数的起始课，对后续 内容的学习起着奠基作用，本节课的重点是任意角的正弦、余弦、正切的定义，终边相同的角的同一三角函 数值相等；难点是用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数，三角函数符号，利用与单位圆有关的有向线段， 将对任意角的正弦、余弦、正切函数值用几何形式表示。通过对单位圆以及角的终边的探究，培养学生分 析问题、解决问题的能力，要求学生有意识的应用数学结合思想、转化和化归思
2、想，体会解决数学问题的一 般方法与思路。 课时分配 本节内容用2 课时的时间完成，本教案为第1课时，主要讲解任意角三角函数的定义及运用定义解决简 单的数学问题. 任意角的三角函数第一课时 教学目标 重点 : 任意角的正弦、余弦、正切的定义. 难点：用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数 知识点：任意角的三角函数定义. 能力点：利用角的终边和单位圆探寻任意角的三角函数的定义，数形结合的数学思想的运用. 教育点：经历由锐角的三角函数到任意角的三角函数，由特殊到一般的研究数学问题的过程，体会探究 的乐趣，激发学生的学习热情. 自主探究点：如何运用三角函数的定义求解任意角的三角函数. 考试点：用定义法求
3、证任意角的三角函数、解决简单的数学问题. 易错易混点：在求解交点坐标时，学生一般在“符号”上容易出错，在横、纵坐标与余、正弦的对应 关系上，学生容易混淆. 拓展点：如何利用角的终边上的点来求解任意角的三角函数值. 教具准备多媒体课件和三角板 课堂模式学案导学 一、复习回顾、引入新课 我们在初中通过直角三角形的边角关系，学习了锐角的正弦、余弦、正切三 个三角函数，请回想：这三个三角函数分别是怎样规定的？ 学生口述后在投影展示，教师根据投影进行强调： sin 对边 斜边 ，cos= 邻边 斜边 ，tan= 对边 邻边 。 我们现在已经把锐角推广到了任意角，那么锐角的三角函数，能不能推广到任意角呢？
4、同学们试试看，可 2 以独立思考和探索，也可以小组互相讨论！ 留时间让学生独立思考或者自由讨论，教师巡回对学生作启发引导。 针对刚才的问题点名让学生回答（学生一般会想到用直角坐标系来研究）。 【设计意图】学生已经在初中学习过锐角的三角函数，现在学习任意角的三角函数是一种推广和拓展的 过程。温故知新，让学生从现有的知识上，建构新知识，符合新课程的要求。 【师生活动 】 （学生口述，教师板书图形和比值） 把锐角安装（如何安装？角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴 重合）在直角坐标系中，在角终边上任取一点( , )P a b，他与原点的距离 22 0rab， 作PMx轴于M， 构造一个Rt
5、OMPV, 则=OMP（锐角）， 的邻边OMa，对边MPb。 根据锐角三角函数定义，我们有： sin MPb OPr ，cos OMa OPr ，tan MPb OMa 。 【设计意图】此处做法简单，思想重要。是理解任意角三角函数定义的关键，使学生能够很好的体会数 学发现的重要思想和方法。 二、探究新知 （一）归纳定义 思考 ：对于确定的角，这三个比值是否会随点P在的终边上的位置在改变而改变呢？ 显然，我们可以将点取在是线段 OP的长1r 的特殊位置上， 这样就可以得到用直 角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数。 sin MP b OP ，cos OM a OP ，tan MPb OMa 。
6、思考 ：上述锐角的三角函数值可以用终边上的一点的坐标表示。那么， 角的概念 推广之后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行推广到任意角呢？ 探究 ：结合上述锐角的三角函数值的求法，我们应如何求解任意角的三角函数值 呢？ 我们可以在角的终边上找到一个点，使这个点到原点的距离等于1，然后就可以类比锐角三角函数求出该 角的三角函数。 怎么样快速的找到与原点的距离等于1 的点呢？我们在此引入单位圆的定义。 单位圆的定义：在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆。 探究 ：如何利用单位圆定义任意角的三角函数？ 如右图，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点( , )P x y
7、，那么： （1）y叫做的正弦（ sine ） ，记作sin，即siny； （2）x叫做的余弦（ cosine ） ，记作cos，即cosx； （3） y x 叫做的正切（ tangent ） ，记作tan，即 tan(0) y x x 。 设计意图 利用学生对锐角三角函数的理解，从思维和形式上进行拓展，从认知结构上吧三角函数推广到 任意角使学生能够有效的增强对于函数的理解。 3 （二）探究定义域 函数的概念的三要素是什么？ 函数三要素：对应法则、定义域、值域。 那么什么是三角函数的定义域？填写课本13 页，表 1.2-1 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值
8、的函数，我们统称为三 角函数。 三角函数定义域 sinR cos R tan |, 2 kkZ 设计意图 定义域是函数三要素之一，研究函数必须指出其定义域。指导学生根据定义自主探究出三角函 数的定义域，有利于学生在理解的基础上记住它、应用它，也增进对三角函数定义的掌握。 三、例题讲解，理解新知 例 1：求 5 3 的正弦、余弦和正切值。 给学生一定的时间自学，让学生自己思考， 并试着总结解题步骤。然后老师讲评。 步骤：（1）画图，先画出直角坐标系和单位圆，再画出角的终边； （2）求角的终边与单位圆的交点坐标。 过交点向x轴作垂线，构造直角三角形； 利用勾股定理求出直角边的长度； 根据点的位置，
9、确定坐标的正负。 （3）写结论。利用定义，求解各三角函数的值。 练习：求 7 6 的三个三角函数值。 设计意图 及时讲解例题，归纳总结步骤，然后进行同类型题目的练习，巩固和加深对三角函数定义的理 解。 例 2：已知角的终边经过点 0( 3, 4) P, 求角的正弦、余弦和正切值。 留给学生一定的时间，仔细研究课本上的解法，让其思考并理解课本所用到的方法， 并尝试着自己完成一次例2的解答。 然后再思考例2 的方框中所给的三个式子的用 途，最后给予讲解。 教师要点拨学生画图，充分利用数形结合，但要提醒学生角的任意性。 推广定义 ：设角的终边上任意一点的坐标为( , )x y，它与原点的距离为 22
10、 0rxy，那么： （1） y r 叫做的正弦，记作sin，即sin y r ； （2）x叫做的余弦，记作cos，即cos x r ； （3） y x 叫做的正切，记作tan，即 tan(0) y x x 。 4 这样定义三角函数，突出了点 P的任意性，说明任意角的三角函数值只与 有关，而与点 P在终边上的 位置无关，教师要让学生充分理解这一点。 接着，让学利用上面的定义，再次完成例2，并总结步骤。 先利用坐标求出r的值； 再利用上面的公式直接写出结果。 练习：已知角的终边过点( 12,5)P，求角的三角函数值。 设计意图 利用给出的拓展定义，快速的解题，让学生体会到，收获的快乐，加深理解和记
11、忆。 四、运用新知、能力提升 例 3：已知角终边上的一点( 15 ,8 )Paa(0a) ，求角的正弦、余弦和正切值。 解： 2222 |( 15 )(8 )17|rOPxyaaa， 15 tan 8， 当 0时， 815 sin,cos 1717 ； 当0时， 815 sin,cos 1717 。 设计意图 利用这个例题，告诉学生在含有参数的时候，要对参数的各种情况进行分类讨论。 五、课堂小结 教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？学生作答： 1知识：任意角的三角函数的定义，及其推广定义。 2思想：数形结合的思想、分类讨论的思想、特殊与一般的思想 教师总结 : 对于定义
12、，我们要加强理解，对于例题的解题步骤，我们要在课后及时的总结和识记，还要加 强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用 设计意图 依据艾宾浩斯遗忘理论，回顾总结知识是必须的，在课堂内及时的总结主要内容，有利于学生， 巩固知识，建构知识网络，优化知识结构，培养良好的学习习惯 六、布置作业 1阅读教材P1213； 2.书面作业 必做题： P20 习题 1.2 A 组1.（2） 、 （4）,2 选做题： 1. 已知角的终边过点(3,)Pm，且 2 sin 4 m，求cos ,tan。 设计意图 设计作业1,2，是引导学生先复习，再作业，培养学生良好的学习习惯。书面作业的布置，必做 题是为了让学生能够运用
13、课堂上的知识，以及解题步骤，解决简单的数学问题；选做题是为学有余力的同学， 得到更高层次的发展。 七、教后反思 1.本教案的亮点是定义的引入，和例题的讲解。在例题的教学中，让学生先自学、再总结步骤，有一种豁 然开朗的感觉，有了具体的步骤，再按此步骤解决练习题，效率大增。在例3 的教学中，加入了参数，既注重 5 了与例 2 的联系，又在不知不觉中提高了难度，提高了学生的解题能力 2.本节课的课堂容量适中，主要是考虑学生们首次接受扩展后的三角函数，希望能够让他们得到充分的思 考和消化，练习时间，在课堂上给予他们充分的时间来思考和自学，充分利用学生的主观能动性，然后给予针 对性地诊断与分析，让学生能
14、力得到提升。 八、板书设计 1.2.1 任意角的三角函数（一） 一、复习回顾 sin 对边 斜边 ， cos= 邻边 斜边 ， tan= 对边 邻边 。 二、新知初探 sin MPb OPr ， cos OMa OPr ， tan MPb OMa 。 三、任意角的三角函数的定义 如右图，设是一个任意角， 它的终边与单位圆交于点 ( , )P x y ，那么： （1）siny； （2）cosx； （3） tan(0) y x x 。 四、例题讲解 推广定义 ： 设角的终边上任意一点的 坐标为( , )x y，它与原点的 距离为 22 0rxy ，那 么： （1）sin y r ； （2）cos x r ； （3） tan(0) y x x 。
