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1、圆的方程1考查根据所给的条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求出圆的方程2题型既有填空题，又有解答题突出小而巧，主要考查圆的方程；主观题往往在知识的交汇点处命题【复习指导】1本讲复习时，应熟练掌握圆的方程的各个要素，明确圆的标准方程，一般方程2能根据所给条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求出圆的方程，结合圆的几何性质解决与圆有关的问题基础梳理1圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆2圆的标准方程(1)方程(xa)2(yb)2r2(r0)表示圆心为(a，b)，半径为r的圆的标准方程(2)特别地，以原点为圆心，半径为r(r0)的圆的标准方程为x2y2r2.3圆的一般方程方程x2y
2、2DxEyF0可变形为22.故有：(1)当D2E24F0时，方程表示以为圆心，以为半径的圆；(2)当D2E24F0时，方程表示一个点；(3)当D2E24F0时，方程不表示任何图形4P(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2(r0)的位置关系(1)若(x0a)2(y0b)2r2，则点P在圆外；(2)若(x0a)2(y0b)2r2，则点P在圆上；(3)若(x0a)2(y0b)2r2，则点P在圆内一种方法确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程两
3、个防范(1)求圆的方程需要三个独立条件，所以不论设哪一种圆的方程都要列出关于系数的三个独立方程(2)过圆外一定点求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况三个性质确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线双基自测1若点(1,1)在圆(xa)2(ya)24的内部，则实数a的取值范围是_2在圆x2y22x6y0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为_3若直线与半圆相交于P、Q两点，且POQ150（其中O为原点），则k的
4、值为 .考向一求圆的方程【例1】1. 已知圆C与直线xy0及xy40都相切，圆心在直线xy0上，则圆C的方程为_2. 在平面直角坐标系xOy中，曲线yx26x1与坐标轴的交点都在圆C上(1)求圆C的方程；(2)若圆C与直线xya0交于A，B两点，且OAOB，求a的值3若与相交于、两点，且两圆在点处的切线互相垂直，则线段的长度是 .求具备一定条件的圆的方程时，其关键是寻找确定圆的两个几何要素，即圆心和半径，待定系数法也是经常使用的方法在一些问题中借助圆的平面几何中的知识可以简化计算，如已知一个圆经过两个点时，其圆心一定在这两点的垂直平分线上，解题时要注意平面几何知识的应用【训练1】 1. 经过点
5、A(5,2)，B(3,2)，圆心在直线2xy30上的圆的方程为_2. 过点A(4,1)的圆C与直线xy10相切于点B(2,1)，则圆C的方程为_3若方程x2y22mx(2m2)y2m20表示一个圆，且该圆的圆心位于第一象限，则实数m的取值范围为_4. 设平面直角坐标系xoy中，设二次函数的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C。求：（1）求实数b的取值范围（2）求圆C的方程（3）问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论。考向二与圆有关的最值问题【例2】1. 已知点P(x，y)在圆(x-3)2(y3)21上运动，(1)求的最大值与最小值；(2)求2xy的最大值与最小值(
6、3)求的取值范围与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：形如形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；形如taxby形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题2若实数x，y满足(x5)2(y12)2196，则x2y2的最小值是_3如果圆的方程为x2y2kx2yk20，那么当圆的面积最大时，圆心坐标是_4点P(x，y)是圆x2(y1)21上任意一点，若点P的坐标满足不等式xym0，则实数m的取值范围是_5. 设x，y均为正实数，且1，以点(x，y)为圆心，Rxy为半径的圆的面积最小时圆的标准方程为_【训练2
7、】 1. 圆x2y24x4y100上的点到直线xy140的最大距离与最小距离的差是_2已知实数x、y满足方程x2+y24x+1=0.求（1）的最大值和最小值；（2）yx的最小值；（3）x2+y2的最大值和最小值.3. 从直线上一点向圆引切线,为切点,则四边形的周长最小值为_. 考向三圆的综合应用【例3】1. 已知圆x2y2x6ym0和直线x2y30交于P，Q两点，且OPOQ(O为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径(1)在解决与圆有关的问题中，借助于圆的几何性质，往往会使得思路简捷明了，简化思路，简便运算(2)本题中两种解法都是用方程思想求m值，即两种解法围绕“列出m的方程”求m值2已知圆M：（
8、xcosq）2（ysinq）21，直线l：ykx，下面四个命题：（1）对任意实数k与q，直线l和圆M相切；（2）对任意实数k与q，直线l和圆M有公共点；（3）对任意实数q，必存在实数k，使得直线l与和圆M相切；（4）对任意实数k，必存在实数q，使得直线l与和圆M相切其中真命题的代号是_（写出所有真命题的代号）3设直线系,对于下列四个命题： 中所有直线均经过一个定点 存在定点不在中的任一条直线上 对于任意整数，存在正边形,其所有边均在中的直线上 中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）4. （变式多）已知P是直线上的动点，PA、PB是圆的两条切线，A、B是
9、切点，C是圆心，求四边形PACB面积的最小值。5. 已知圆的方程为，直线的方程为，点在直线上，过点作圆的切线，切点为（1）若，求线段AB的长；（2）当最大时，求点P的坐标；（3）求证：经过三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标 .【训练3】1. 在以O为原点的直角坐标系中，点A(4，3)为OAB的直角顶点，已知|AB|2|OA|，且点B的纵坐标大于0.(1)求的坐标；(2)求圆x26xy22y0关于直线OB对称的圆的方程2已知点P(a，b)关于直线l的对称点为P(b1，a1)，则圆C：x2y26x2y0关于直线l对称的圆C的方程为_3. 圆：上的点到直线的距离最小值是 。4若圆与圆的公共弦的长
10、为，则 . 5. 已知半径为5的动圆C的圆心在直线 上 (1) 若动圆C过点，求圆C的方程； (2) 是否存在正实数，使得动圆C中与圆O：相外切的圆有且只有一个？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由6 在平面直角坐标系中，设直线和圆相切，其中，若函数 的零点，则 .7. 已知：以点为圆心的圆与轴交于点，与轴交于点、，其中为原点。（1）求证：的面积为定值；（2）设直线与圆交于点，若，求圆的方程8. 如图，在平面直角坐标系中，已知，直线与线段、分别交于点、.(1)当时，求以为焦点，且过中点的椭圆的标准方程；第20题PAROF1QxyF2(2)过点作直线交于点，记的外接圆为圆.求证:圆心在定直线上
11、；圆是否恒过异于点的一个定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由双基自测：1.1a1 2. 10 3. 例1:1. (x1)2(y1)22.法一设出圆心坐标，根据该圆与两条直线都相切列方程即可设圆心坐标为(a，a)，则，即|a|a2|，解得a1，故圆心坐标为(1，1)，半径r，故圆的方程为(x1)2(y1)22.法二题目给出的圆的两条切线是平行线，故圆的直径就是这两条平行线之间的距离d2；圆心是直线xy0与这两条平行线交点的中点，直线xy0与直线xy0的交点坐标是(0,0)、与直线xy40的交点坐标是(2，2)，故所求的圆的圆心坐标是(1，1)，所求的圆的方程是(x1)2(y1)22.2
12、. (1)曲线yx26x1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(32，0)，(32，0)故可设C的圆心为(3，t)，则有32(t1)2(2)2t2，解得t1.则圆C的半径为3.所以圆C的方程为(x3)2(y1)29.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组：消去y，得到方程2x2(2a8)xa22a10.由已知可得，判别式5616a4a20.因此x1,2，从而x1x24a，x1x2. 由于OAOB，可得x1x2y1y20.又y1x1a，y2x2a，所以2x1x2a(x1x2)a20.由，得a1，满足0，故a1.3.4训练1 :1.(x4)2(y5)2102.由已知圆C过A(4,1)，B(2,1)两点，直线AB的垂直平分线x3过圆心C，又圆C与直线yx1相切于点B(2,1)，kBC1，直线BC的方程为y1(x2)，得yx3，由解得得圆心C的坐标为(3,0)，r|BC|，圆的方程为(x3)2y22.3. 0m0，m.又圆心(m,1m)在第一象限，0m1，综上，0m.4. （）令0，得抛物线与轴交点是（0，b）；令，由题意b0 且0，解得b1 且b0（）设所求圆的一般方程为令0 得这与0 是同一个方程，故D2，F令0 得0，此方程有一个根为b，代入得出E
