《《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)圆锥曲线的综合问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)圆锥曲线的综合问题（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 Go the distance 圆锥曲线的综合问题 (文视情况 知识能否忆起 1 直线与圆锥曲线的位置关系 判定直线与圆锥曲线的位置关系时 ， 通常是将直线方程与曲线方程联立 ， 消去变量 y(或x)得关于变量 x(或 y)的方程 ： ax2 bx c 0(或 ay2 by c 0) 若 a 0， 可考虑一元二次方程的判别式 ， 有 ： 0 直线与圆锥曲线 相交 ； 0 直线与圆锥曲线 相切 ； b0)的一个顶点为 A(2,0)， 离心率为22 .直线 y k(x 1)与椭圆 C交于不同的两点 M， N. (1)求椭圆 C的方程 ； (2)当 AMN的面积为 103 时 ， 求 k的值 自主
2、解答 (1)由题意得 a 2，ca22 ，a2 b2 c2，解得 b 2， 所以椭圆 C的方程 为 x24y22 1. (2)由 y kx 1，x24y22 1，得 (1 2k2)x2 4k2x 2k2 4 0. 设点 M， N的坐标分别为 (x1， y1)， (x2， y2)，则 y1 k(x1 1)， y2 k(x2 1)， x1 x2 4k21 2k2， x1x2 2k2 41 2k2， 所以 |MN| x2 x12 y2 y12 1 k2x1 x22 4x1x2 2 1 k24 6k21 2k2 . 又因为点 A(2,0)到直线 y k(x 1)的距离 d |k|1 k2， 所以 AM
3、N的面积为 S 12|MN| d |k| 4 6k21 2k2 . 由 |k| 4 6k21 2k2 103 ，解得 k 1. 由题悟法 研究直线与圆锥曲线的位置关系时 ， 一般转化为研究其直线方程与圆锥方程组成的方程组解的个数 ， 但对于选择 、 填空题也可以利用几何条件 ， 用数形结合的方法求解 Go the distance 以题试法 1 (2012信阳模拟 )设抛物线 y2 8x的准线与 x轴交于点 Q， 若过点 Q的直线 l与抛物线有公共点 ， 则直线 l的斜率的取值范围是 ( ) A. 12， 12 B 2,2 C 1,1 D 4,4 解析： 选 C 易知抛物线 y2 8x 的准线
4、 x 2 与 x 轴的交点为 Q( 2,0)， 于是 ， 可设过点 Q( 2,0)的直线 l的方程为 y k(x 2)(由题可知 k是存在的 )， 联立 y2 8x，y kx 2 k2x2 (4k2 8)x 4k2 0. 当 k 0 时 ， 易知符合题意 ； 当 k 0 时 ， 其判别式为 (4k2 8)2 16k4 64k2 64 0， 可解得 1 k 1. 最值与范围问题 典题导入 例 2 (2012浙江高考 )如图 ， 椭圆 C： x2a2y2b2 1(a b 0)的离心率为 12， 其左焦点到点 P(2,1)的距离为 10.不过原点 O的直线 l与 C相交于 A， B两点 ， 且线段
5、AB 被直线 OP 平分 (1)求椭圆 C的方程 ； (2)求 ABP 面积取最大值时直线 l的方程 自主解答 (1)设椭圆左焦点为 F( c,0)，则由题意得 2 c2 1 10，ca12，得 c 1，a 2. 所以椭圆方程为 x24y23 1. (2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，线段 AB 的中点为 M. 当直线 AB 与 x轴垂直时，直线 AB的方程为 x 0，与不过原点的条件不符，舍去 故可设直线 AB的方程为 y kx m(m 0)， 由 y kx m，3x2 4y2 12 消去 y，整理得 (3 4k2)x2 8kmx 4m2 12 0， Go the dista
6、nce 则 64k2m2 4(3 4k2)(4m2 12) 0， x1 x2 8km3 4k2，x1x2 4m2 123 4k2 .所以线段 AB的中点为 M 4km3 4k2，3m3 4k2 . 因为 M在直线 OP： y 12x上，所以 3m3 4k2 2km3 4k2. 得 m 0(舍去 )或 k 32. 此时方程 为 3x2 3mx m2 3 0，则 3(12 m2) 0， x1 x2 m，x1x2 m2 33 .所以 |AB| 1 k2| x1 x2| 396 12 m2， 设点 P到直线 AB 的距离为 d，则 d |8 2m|32 22 2|m 4|13 . 设 ABP的面积为
7、S，则 S 12|AB|d 36 m 4212 m2. 其中 m ( 2 3， 0) (0,2 3) 令 u(m) (12 m2)(m 4)2， m 2 3， 2 3 ， u (m) 4(m 4)(m2 2m 6) 4(m 4)(m 1 7)(m 1 7) 所以当且仅当 m 1 7时， u(m)取到最大值 故当且仅当 m 1 7时， S取到最大值 综上，所求直线 l的方程为 3x 2y 2 7 2 0. 由题悟法 1 解决圆锥曲线的最值与范围问题常见的解法有两种 ： 几何法和代数法 (1)若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义 ， 则考虑利用图形性质来解决 ， 这就是 几何法 ； (2)若
8、题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系 ， 则可首先建立起目标函数 ， 再求这个函数的最值 ， 这就是代数法 Go the distance 2 在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑 ： (1)利用判别式来构造不等关系 ， 从而确定参数的取值范围 ； (2)利用已知参数的范围 ， 求新参数的范围 ， 解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系 ； (3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式 ， 从而求出参数的取值范围 ； (4)利用基本不等式求出参数的取值范围 ； (5)利用函数的值域的求法 ， 确定参数的取值范围 以题试法 2 (2012东莞模拟 )已知抛物线 y2 2px
9、(p 0)上存在关于直线 x y 1 对称的相异两点 ，则实数 p的取值范围为 ( ) A. 23， 0 B. 0， 23 C. 32， 0 D. 0， 32 解析： 选 B 设抛物线上关于直线 x y 1 对称的两点是 M(x1， y1)、 N(x2， y2)， 设直线MN的方程为 y x b.将 y x b代入抛物线方程 ， 得 x2 (2b 2p)x b2 0， 则 x1 x2 2p 2b， y1 y2 (x1 x2) 2b 2p， 则 MN 的中点 P 的坐标为 (p b， p) 因为点 P 在直线 x y 1 上 ， 所以 2p b 1， 即 b 2p 1.又 (2b 2p)2 4b
10、2 4p2 8bp 0， 将 b 2p 1代入得 4p2 8p(2p 1) 0， 即 3p2 2p 0， 解得 0 p 23. 定点定值问题 典题导入 例 3 (2012辽宁高考 )如图 ， 椭圆 C0： x2a2y2b2 1(ab0，a， b 为常数 )， 动圆 C1： x2 y2 t21， bb0)， 点 P55 a，22 a 在椭圆上 (1)求椭圆的离心率 ； (2)设 A 为椭圆的左顶点 ， O 为坐标原点 若点 Q 在椭圆上且满足 |AQ| |AO|， 求直线OQ 的斜率的值 解： (1)因为点 P 55 a， 22 a 在椭圆上，故 a25a2a22b2 1，可得b2a258. 于
11、是 e2 a2 b2a2 1b2a238，所以椭圆的离心率 e64 . (2)设直线 OQ的斜率为 k，则其方程为 y kx，设点 Q的坐标为 (x0， y0) 由条件得 y0 kx0，x20a2y20b2 1，消去 y0并整理得 x20 a2b2k2a2 b2. 由 |AQ| |AO|， A( a,0)及 y0 kx0， 得 (x0 a)2 k2x20 a2. 整理得 (1 k2)x20 2ax0 0，而 x0 0，故 x0 2a1 k2，代入 ，整理得 (1 k2)2 4k2a2b24. 由 (1)知 a2b285，故 (1 k2)2 325 k2 4， 即 5k4 22k2 15 0，可
12、得 k2 5. 所以直线 OQ 的斜率 k 5. 20 (12 分 )(2012河南模拟 )已知椭圆 x2a2y2b2 1(a b 0)的离心率为22 ， 短轴的一个端点为 M(0,1)， 直线 l： y kx 13与椭圆相交于不同的两点 A， B. (1)若 |AB| 4 269 ， 求 k的值 ； (2)求证 ： 不论 k取何值 ， 以 AB 为直径的圆恒过点 M. 解： (1)由题意知 ca 22 ， b 1. 由 a2 b2 c2可得 c b 1， a 2， 椭圆的方程为 x22 y2 1. Go the distance 由 y kx 13，x22 y2 1得 (2k2 1)x2 4
13、3kx 169 0. 169 k2 4(2k2 1) 169 16k2 649 0 恒成立， 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则 x1 x2 4k32k2 1， x1x2 1692k2 1. |AB| 1 k2| x1 x2| 1 k2 x1 x22 4x1x2 4 1 k29k2 432k2 1 4 269 ， 化简得 23k4 13k2 10 0，即 (k2 1)(23k2 10) 0， 解得 k 1 . (2) MA , (x1， y1 1)， MB , (x2， y2 1)， MA ,MB , x1x2 (y1 1)(y2 1)， (1 k2)x1x2 43k(x1 x2) 169 161 k292k2 116k292k2 1169 0. 不论 k取何值，以 AB 为直径
