《《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)圆锥曲线的综合问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)圆锥曲线的综合问题（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、圆锥曲线的综合问题(文视情况知识能否忆起1直线与圆锥曲线的位置关系判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y(或 x)得关于变量 x(或 y)的方程： ax2bxc0(或 ay2 byc0)若 a0，可考虑一元二次方程的判别式 ，有：0直线与圆锥曲线相交；0 直线与圆锥曲线 相切； b0)的一个顶点为 A(2,0)，离心率x2a2 y2b2为 .直线 yk(x 1)与椭圆 C 交于不同的两点 M，N .22(1)求椭圆 C 的方程；(2)当AMN 的面积为 时，求 k 的值103自主解答 (1)由题意得Error!解得 b ，2所以椭圆 C的方程为 1.x24
2、y22(2)由Error!得(12k 2)x24k 2x2k 240.设点 M，N的坐标分别为(x 1，y1)，(x2，y2)，则y1k(x 11)，y 2k(x 21) ，x1x 2 ，4k21 2k2x1x2 ，2k2 41 2k2所以|MN | x2 x12 y2 y12 1 k2x1 x22 4x1x2 .21 k24 6k21 2k2又因为点 A(2,0)到直线 yk (x1)的距离 d ，|k|1 k2所以AMN 的面积为S |MN| d .12 |k| 4 6k21 2k2由 ，解得 k1.|k| 4 6k21 2k2 103由题悟法研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为研究
3、其直线方程与圆锥方程组成的方程组解的个数，但对于选择、填空题也可以利用几何条件，用数形结合的方法求解以题试法1(2012信阳模拟)设抛物线 y28x 的准线与 x 轴交于点 Q，若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是 ()A. B2,2 12，12C1,1 D 4,4解析：选 C易知抛物线 y28x 的准线 x2 与 x 轴的交点为 Q(2,0) ，于是，可设过点 Q(2,0) 的直线 l 的方程为 yk (x2)( 由题可知 k 是存在的)，联立Error!k 2x2(4k 28)x4k 20.当 k0 时，易知符合题意；当 k0 时，其判别式为 (4k 2
4、8)216k 464 k2640，可解得1k1.最值与范围问题典题导入例 2(2012浙江高考)如图，椭圆 C： 1(ab0) 的离x2a2 y2b2心率为 ，其左焦点到点 P(2,1)的距离为 .不过原点 O 的直线 l 与12 10C 相交于 A，B 两点，且线段 AB 被直线 OP 平分(1)求椭圆 C 的方程；(2)求ABP 面积取最大值时直线 l 的方程自主解答 (1)设椭圆左焦点为 F(c,0)，则由题意得Error!得Error!所以椭圆方程为 1.x24 y23(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段 AB的中点为 M.当直线 AB与 x 轴垂直时，直线 AB的方程为
5、 x0，与不过原点的条件不符，舍去故可设直线 AB的方程为 ykxm(m 0)，由Error!消去 y，整理得(34k 2)x28kmx4m 2120， 则 64 k2m24(34k 2)(4m212)0，Error!所以线段 AB的中点为 M .( 4km3 4k2，3m3 4k2)因为 M在直线 OP：y x上，所以 .12 3m3 4k2 2km3 4k2得 m0(舍去)或 k .32此时方程 为 3x23mx m 230， 则3(12m 2) 0，Error!所以|AB| |x1x 2| ，1 k2396 12 m2设点 P到直线 AB的距离为 d，则d .|8 2m|32 22 2|
6、m 4|13设ABP 的面积为 S，则S |AB|d .12 36 m 4212 m2其中 m(2 ，0)(0,2 )3 3令 u(m)(12 m2)(m4) 2，m2 ，2 ，3 3u(m)4( m4)( m22m 6)4(m4)(m1 )(m1 )7 7所以当且仅当 m1 时，u(m) 取到最大值7故当且仅当 m1 时，S 取到最大值7综上，所求直线 l的方程为 3x2y2 20.7由题悟法1解决圆锥曲线的最值与范围问题常见的解法有两种：几何法和代数法(1)若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法；(2)若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，
7、则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法2在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：(1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用基本不等式求出参数的取值范围；(5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围以题试法2(2012东莞模拟)已知抛物线 y22px( p0)上存在关于直线 xy1 对称的相异两点，则实数 p 的取值范围为( )A. B.( 23，0) (0，23)C. D.( 32，0
8、) (0，32)解析：选 B设抛物线上关于直线 xy1 对称的两点是 M(x1，y 1)、N(x 2，y 2)，设直线 MN 的方程为 yx b.将 yxb 代入抛物线方程，得 x2(2b2p)xb 20，则x1x 22p2b，y 1y 2(x 1x 2)2b2p，则 MN 的中点 P 的坐标为( pb，p)因为点P 在直线 xy1 上，所以 2pb1，即 b2p1.又 (2 b2p) 24b 24p 28bp0，将 b2p1 代入得 4p28p(2 p1) 0，即 3p22p0，解得 0p .23定点定值问题典题导入例 3(2012辽宁高考)如图，椭圆C0： 1(a b0，a，b 为常数)
9、，动圆x2a2 y2b2C1：x 2 y2t ，bb0)，点 P 在椭圆上x2a2 y2b2 ( 55a，22a)(1)求椭圆的离心率；(2)设 A 为椭圆的左顶点，O 为坐标原点若点 Q 在椭圆上且满足|AQ| AO|，求直线OQ 的斜率的值解：(1)因为点 P 在 椭圆上，故 1，可得 .(55a，22a) a25a2 a22b2 b2a2 58于是 e2 1 ，所以椭圆的离心率 e .a2 b2a2 b2a2 38 64(2)设直线 OQ的斜率为 k，则 其方程为 ykx，设点 Q的坐 标为( x0，y0)由条件得Error!消去 y0并整理得x .20a2b2k2a2 b2由|AQ |
10、AO |，A(a,0) 及 y0kx 0，得(x 0 a)2k 2x a 2.20整理得(1k 2)x 2ax 00，而 x00，故 x0 ，代入 ，整理得(1k 2)24k 2 4.20 2a1 k2 a2b2由(1)知 ，故(1 k 2)2 k24，a2b2 85 325即 5k422k 2150，可得 k25.所以直线 OQ的斜率 k .520(12 分)(2012河南模拟)已知椭圆 1( ab0)的离心率为 ，短轴的一个x2a2 y2b2 22端点为 M(0,1)，直线 l：ykx 与椭圆相交于不同的两点 A，B.13(1)若|AB| ，求 k 的值；4269(2)求证：不论 k 取何
11、值，以 AB 为直径的圆恒过点 M.解：(1)由题意知 ，b1.ca 22由 a2b 2c 2可得 cb1，a ，2椭圆 的方程 为 y 21.x22由Error!得(2k 21)x 2 kx 0.43 169 k24(2k 21) 16k 2 0 恒成立，169 ( 169) 649设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x 2 ，x1x2 .4k32k2 1 1692k2 1|AB| |x1x 2| ，1 k2 1 k2 x1 x22 4x1x241 k29k2 432k2 1 4269化简得 23k413k 2100，即(k 21)(23k 210) 0，解得 k1.(2) ,(
12、 x1，y11)， ,(x 2，y21) ，MAB , ,x 1x2(y 11)(y 21) ，MAB(1k 2)x1x2 k(x1x 2)43 169 161 k292k2 1 16k292k2 1 1690.不 论 k取何值，以 AB 为直径的 圆恒过点 M.21 (2012广州模拟)设椭圆 M： 1( a )的右焦点为 F1，直线 l：x x2a2 y22 2与 x 轴交于点 A，若 ,2 ,0( 其中 O 为坐标原点)a2a2 2 1OF1(1)求椭圆 M 的方程；(2)设 P 是椭圆 M 上的任意一点， EF 为圆 N：x 2(y2) 21 的任意一条直径( E，F 为直径的两个端点
13、)，求 , ,的最大值EP解：(1)由题设知， A ，F1( ，0)，由 , 2 ,0，得 2(a2a2 2，0) a2 2 1OF1Aa2 2，(a2a2 2 a2 2)解得 a26.所以椭圆 M的方程为 1.x26 y22(2)设圆 N：x2(y2) 21 的圆心为 N，则 , ,( , ,)( , ,)PEFPF( , ,)( , ,) ,2 ,2 ,21.N从而将求 , ,的最大值转 化为求 NP , 2的最大值PEF因为 P是椭圆 M上的任意一点，设 P(x0，y0)，所以 1，即 x 63y .x206 y202 20 20因为点 N(0,2)，所以 ,2x ( y02) 22(y
14、 01) 212.20因为 y0 ， ，所以当 y01 时， ,2取得最大值 12.2 2 NP所以 , ,的最大值为 11.PEF22 (2012湖北模拟)如图，曲线 C1 是以原点 O 为中心，F 1，F 2 为焦点的椭圆的一部分曲线 C2 是以 O 为顶点，F 2 为焦点的抛物线的一部分，A 是曲线 C1 和 C2 的交点且AF 2F1 为钝角，若 |AF1| ，|AF 2| .72 52(1)求曲线 C1 和 C2 的方程；(2)设点 C 是 C2 上一点，若|CF 1| |CF2|，求CF 1F2 的面积2解：(1)设椭圆方程为 1( ab0)，x2a2 y2b2则 2a|AF 1| AF2| 6，得 a3.72 52设 A(x，y)，F1(c, 0)，F2(c,0)，则( xc) 2y 2 2，(xc )2y 2 2，两式相减得 xc .(72) (52) 32由抛物线的定义可知|AF 2|xc ，52则 c1，x 或 x1，
