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1、微分方程的应用.,几何与物理应用,微分方程的应用分几何与物理应用，几何应用主要 是根据所满足的几何条件列出微分方程，再根据方 程所属类型求解；物理应用题型常有两种类型： 其一根据题所涉及的物理意义直接给出方程.所涉及 的物理知识主要是物体的受力分析及牛顿运动定律 等；其二是需要应用元素法来建立微分方程的应用 题，这类问题是微分方程的难点；此外还有一类综 合应用题既要用到几何知识又要用到物理知识；下 面我们分类通过例题讲解。,一。几何应用题,例1.设曲线L过点（1,1）曲线上任一 点p(x,y)处的切线交x轴于点T，若 pT= oT求曲线L的方程。,（,解为：,例2.光滑曲线L过原点与点（2,3
2、），任取曲线上任一点p(x,y)过p点作两 坐标轴的平行线pA，pB，pA与x轴和曲线L围成的面积等于pB与y轴和L围成面积的2倍，求曲线L的方程,解得：,（抛物线）,（复习分离变量型及齐次方程解法）,例3.在上半平面求一条凹弧，其上任一点p(x,y) 处的曲率等于此曲线在该点法线段PQ长度的倒 数（Q为曲线与x轴的交点），且曲线在点（1,1） 处的切线与x轴平行。,解：曲线在点P处的曲率为：,因,过该点法线方程为：,（双曲正弦线）,，初值：,依题意得初值问题：,，,此方程是不显含x的二阶方程，解之并带入初 值得：,复习二阶方程的两种特殊形式及解法。,例4（考研真题）,设L是一条平面曲线，其上
3、任一点P(x,y)（x0） 到坐标原点的距离恒等于该点处切线在y轴上的 截距，且L经过（1/2,0）点， （1）试求曲线L的方程 （2）求L位于第一象限的一条切线使该切线与 L及两坐标轴所围成的图形的面积最小。,解（1）,为最小值点,于是所求切线方程,例5.（考研题） 求微分方程：xdy+（x-2y）dx=0的一个 解y=y(x)使得由曲线y=y(x)与直线：x=1，x=2 以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋 转体体积最大。,解：方程为：,为最小值点，所以解为：,例6（考研题）设函数y(x)(x0)二阶可导，且,过曲线y=y(x)上任一点,，区间【0，x】上以y=y(x)为曲边的曲边梯
4、 形面积记为,，并设,，求此曲线的方程。,P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两 直线及x轴所围成的三角形面积记为,解：切线方程：,与x轴的交点：,在x轴上的截距：,，因,由题知：,，由,具体解法可用1）降阶法；2）凑导数法解得：,注：微分方程两端乘,可凑成：,得初值问题：,例7 .求与抛物线族,中每条曲线均,正交的的曲线（即交点处切线相互垂直） 正交轨线。（椭圆族）,解：,即为抛物线上任一点处切线斜率，故正交轨 线上任一点处切线斜率为：,正交轨线满足的微分方程,解之得：,（椭圆族）,二。物理应用 （一）利用物理意义直接列方程,例8 设一物体的温度为100，将其放置在空 气温度为20的
5、环境中冷却. 试求物体温度随 时间的变化规律.（冷却定理：物体冷却速度 与温差成正比）,例9在一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的 按照牛顿冷却定律开始下降假设两个小 时后尸体温度变为 并且假定周围空气的温 度保持 不变，试求出尸体温度随时间的变 化规律又如果尸体被发现时的温度是 时 间是下午4点整，那么谋杀是何时发生的？,即谋杀大约在上午7时36分发生,例10设降落伞从跳伞塔下落后,所受空气 阻力与速度成正比, 并设降落伞离开跳伞 塔时速度为零, 求降落伞下落速度与时间 的关系.,例11（考研题）在某一人群中推广新技术是通 过其中已掌握新技术的人进行的。设该人群的 总人数为N，在t=0时刻已掌
6、握新技术的人数为,，在任意时刻t已掌握新技术的人数为,（将,视为连续可微变量），其变化率与已掌,新技术的人及未掌握新技术的人的乘积成正比， 比例系数k0，求,解：,例12. （考研题） 从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要 求，需确定仪器的下沉深度y（从海平面算 起）与下沉速度v之间的函数关系，设仪器 在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下 沉，在下沉的过程中还受到阻力与浮力的作 用。设仪器的质量为m，体积为B海水密度为,仪器所受阻力与下沉速度成正比，比例系数为,k0，试建立y与v所满足的微分方程，并求出 函数关系式y=y(v).,解：取沉放点为原点O，y轴正向铅直向下， 由牛顿第二定律得：
7、,解法1.上式变为：,解此常系数二阶线,性微分方程得解；y=y(t),联立求出y=y(v).（以下略）,及v(t)=,注：本题也可按不显含x的特殊二阶方程求解,由初值,由初值得,得：,解法2.,代入原式化成微分方程：,解得：,复习分离变量方程求解方法,分离变量方程,例13（-考研题飞机降落问题）,某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离 在触地的瞬间飞机尾部张开降落伞以增大阻 力使飞机迅速减速并停下。现有一质量为 9000kg的飞机着陆时的水平速度为700km/h 经测试，减速伞打开后飞机所受的总阻力与 飞机的速度成正比（比例系数为k=,问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？,解：由题设，飞
8、机的质量为m=9000kg，飞机 着陆时的水平速度为,=700km/h，从着陆点,速度,解法I根据牛顿第二运动定理：,算起设t时刻飞机滑行的距离为,为,即飞机滑行的最长距离为1。05km 解法II根据牛顿第二运动定理：,解法III根据牛顿第二运动定理：,注：解法1）是转化为路程x与速度v之间 的一阶微分方程； 解法2）是转化为速度v与时间t之间的一 解微分方程； 3）是直接由牛顿公式建立路程x与时间之 间的二阶线性微分方程； 对于1）由末速度可直接算出所走路程，对 于2）则要由路程与速度的关系通过积分才 能求出所走路程，对于3）得出路程与时间 的关系后须令t趋于无穷才能求出所走路程。,例14（
9、子弹穿透木板问题）,子弹以,的速度射入厚度为,假设木板对子弹的阻力与其,h=10cm的木板，穿过木板后仍有速度,速度的平方成正比，求子弹通过木板所 需的时间。,解：设子弹的质量为m，其开始射入木板的 时刻为t=0，穿过木板的时刻为,，则在,的时间内，深度为h(t)，速度为v(t)，,依题意可得：,例15（食草鱼与食鱼鱼共存问题问题）,设在同一水域中生存着食草鱼与食鱼之鱼 （或同一环境中的两种生物）他们的数量 分别为,与,不妨设x，y是连续变化,，其中x受y的影响而减少（大鱼吃了小鱼） 减少的,受x的影响而减少（小鱼吃了大鱼的卵） 的速率与x(t)成正比；如果,试建立这一问题的数学模型，并求这两
10、种 鱼数量的变化规律。,速率与y(t)成正比；而鱼数y（t）,减少,解：设题中比例系数依次为,依题意此共生问题的数学模型为：,在上述方程组中消去,得,特征方程为：,故得原方程组的通解为：,代入初始条件得：,故两种鱼数量的变化规律为：,由（*）式分析得如下规律： （1）当,时鱼数,虽减少，但最终不会消失；而鱼数,在经过足够长的时间变化后最终会趋于消失；,（2）当,时鱼数,虽减少，但最终不会消失；而鱼数,在经过足够长的时间变化后最终会趋于消失； （3）,两种鱼在经过足够长的时间变化后最终都会 趋于消失；,例16有高为1米的半球形容器，水从它的底 部小孔流出，小孔横截面积为1平方厘米. 开 始时容器
11、内盛满了水, 求水从小孔流出过程 中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的 距离)随时间t的变化规律.（元素法）,（二）用元素法解微分方程应用问题：,解 由力学知识得，水从孔口流出的流量为,流量系数 孔口截面面积 重力加速度,设在微小的时间间隔,水面的高度由,降至,则,比较和得:,即为未知函数得微分方程.,以小孔出口o为坐标原点，h轴向上建立坐标系,所求规律为,例17（考研题） 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中含有 0.1%的 为了降低车间内空气中 的含量, 用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含0.03%的 新鲜空气,同时以同样的风量将混合均匀的空气排出问鼓风机开动6分钟后
12、车间内 百分比降低到多少（用元素法求解）,解 设鼓风机开动后,时刻,的含量为,在,内，,的通入量,的通入量,的排出量=,的排出量,的改变量，即,由,故6分钟后，车间内,的百分比降低到,注：dx为二氧化碳浓度改变量，或单位体积二氧化 碳改变量，故12000dx即为整个车间在【t，t+dt】 时间段二氧化碳改变量或直接求法：t时刻二氧化碳 含量为12000 x，t+dt时刻二氧化碳含量为 12000（x+dx），故二氧化碳改变量为12000dx,例18（湖泊环境治理问题-考研题（元素法）,某湖泊的水量为V，每年排入湖泊内含污染物 A的污水量为V/6，流入湖泊内不含污染物A的 污水量为V/6，流出湖
13、泊的水量为V/3，已知 1999年底湖泊内含污染物A的含量为,超,过国家规定指标，为了治理污染，从2000年初 起规定排入湖泊内含污染物A的污水浓度不超过,问至少需要经过多少年湖泊内含污染物A的 含量降至,（设湖泊内含污染物A的浓度是均匀的）,以内。,解：设从2000年初开始（设此时t=0）第t年 湖泊内含污染物A的总量为m，浓度为,，则在时间间隔【t，t+dt】内排入湖泊内污 染物A的量为：,流出湖泊的水的A的量为，,则在该时间间隔【t，t+dt】内A的改变量为： dm=,（分离变量型）由分离变量法解得：,，代入初始条件：,即至多需要经过6ln3年湖泊内含污染物A的 含量降至,以内。,例19
14、. 在一个石油精炼厂，一个存储罐装 8000L的汽油，其中包含100g的添加剂. 为冬季准备，每升含2g添加剂的石油以 40L/min的速度注入存储罐. 充分混合的 溶液以45L/min的速度泵出. 在混合过程 开始后20分钟罐中的添加剂有多少？ （元素法）,解 令,是在时刻,. 易知,. 在时刻,罐中的溶液的,添加剂流出的量为,罐中的添加剂的总量,总量,因此，在【t，t+dt】时间内,添加剂流入的量为402 g dt,添加剂的改变量为：dy，故有,，得到微分方程,即,于是，所求通解为,dy=,由,确定C，得,，,， 故初值问题的解是,，所以注入开始后20分钟时的添加剂 总量是,g.,注：液体
15、溶液中（或散布在气体中）的一种化 学品流入装有液体（或气体）的容器中，容器 中可能还装有一定量的溶解了的该化学品. 把 混合物搅拌均匀并以一个已知的速率流出容器. 在这个过程中，知道在任何时刻容器中的该化 学品的浓度往往是重要的. 描述这个过程的微分 方程用下列公式表示： 容器中总量的变化率=化学品进入的速率化学 品离开的速率,例20（雪堆融化问题-考研题）,一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与 半球面面积S成正比，比例系数k0，假设在 融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半,径为 的雪堆在开始融化的3小时内融化了 其体积的7/8，问雪堆全部融化需要多少小时 ？,（三）几何物理综合应用题,解
16、：设雪堆在时刻t的体积,侧面积：,由题设知：,即雪堆全部融化需要6小时（注：此题也可 直接有不定积分求解）,例21（容器倒水问题-考研题）,有一平底容器，其内侧壁是由曲线,绕y轴旋转而成的旋转曲面，容器底面圆的 半径为2m，根据设计要求，当以,的速率向容器注入液体时，液面的面积将以,的速率均匀扩大（假设注入液体前）,容器内无液体,1根据t时刻液面的面积写出t与,之间的关系式；,2.求曲线的方程,解（1）设t时刻液面高度为y，则由题设知此时 液面的面积,（2）液面高度为y时液体体积为：,两端对y求导得：,例22设河边点o的正对岸为点A,河宽oA=h, 两 岸为平行直线, 水流速度为a, 有一鸭子从点A 游向点O, 设鸭子(在静水中)的游速为b , 且鸭 子游动方向始终朝着点O, 求鸭子游过的迹线 的方程.,解：以o为坐标原点，oA为y轴，建立坐标系,鸭子游的速度,设水流速度,鸭子实际游的速度,则,设t时刻位于点P(x,y)有：,(1),例23.*设有一高度为,过程中，其侧面满足方程,（设长度单位为厘米
