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1、课件,1,第6章 图,课件,2,第6章 图,6.1 图的基本概念 6.2 图的连通性 6.3 图的矩阵表示 6.4 几种特殊的图,课件,3,6.1 图的基本概念,6.1.1 无向图与有向图 6.1.2 顶点的度数与握手定理 6.1.3 简单图、完全图、正则图、圈图、 轮图、方体图 6.1.4 子图、补图 6.1.5 图的同构,课件,5,无向图,定义6.1 无向图G=, 其中V称为顶点集, 其元素称为 顶点或结点; E是VV的多重子集, 称为边集, 其元素称为 无向边，简称边. 有时用V(G)和E(G)分别表示V和E 例如, G=如图所示, 其中V=v1, v2, ,v5 E=(v1,v1),
2、(v1,v2), (v2,v3), (v2,v3), (v2,v5), (v1,v5), (v4,v5),课件,6,有向图,定义6.2 有向图D=, 其中V称为顶点集, 其元素称为 顶点或结点; E是VV的多重子集, 称为边集, 其元素称为有 向边，简称边. 有时用V(D)和E(D)分别表示V和E 有限图: V, E都是有穷集合的图 n 阶图: n个顶点的图 零图: E=的图 平凡图: 1 阶零图,课件,7,顶点和边的关联与相邻,设无向图G=, ek=(vi, vj)E, 称vi, vj为ek的端点, ek与vi ( vj)关联. 若vi = vj, 则称ek为环. 无边关联的顶点称作孤立 点
3、. 若vi vj, 则称ek与vi ( vj)的关联次数为1; 若vi = vj, 则称ek 与vi 的关联次数为2; 若vi不是边e的端点, 则称e与vi 的关联 次数为0. 设vi,vjV, ek,elE, 若(vi,vj)E, 则称vi,vj相邻; 若ek,el有一个 公共端点, 则称ek,el相邻. 对有向图有类似定义. 设ek=vi,vj是有向图的一条边, 又称 vi是ek的始点, vj是ek的终点, vi邻接到vj, vj邻接于vi,课件,8,顶点的度数,设G=为无向图, vV, v的度数(度) d(v): v作为边的端点次数之和 悬挂顶点: 度数为1的顶点 悬挂边: 与悬挂顶点关
4、联的边 G的最大度(G)=maxd(v)| vV G的最小度(G)=mind(v)| vV 例如 d(v5)=3, d(v2)=4, d(v1)=4, (G)=4, (G)=1, v4是悬挂顶点, e7是悬挂边, e1是环,课件,9,顶点的度数(续),设D=为有向图, vV, v的出度d+(v): v作为边的始点次数之和 v的入度d(v): v作为边的终点次数之和 v的度数(度) d(v): v作为边的端点次数之和 d(v)= d+(v)+ d-(v) +(D), +(D), (D), (D), (D), (D) 悬挂顶点, 悬挂边 例如 d+(a)=4, d-(a)=1, d(a)=5, d
5、+(b)=0, d-(b)=3, d(b)=3, +=4, +=0, =3, =1, =5, =3,课件,10,握手定理,定理6.1 任何图(无向图和有向图)的所有顶点度数之和都 等于边数的2倍. 证 图中每条边(包括环)均有两个端点, 所以在计算各顶点 度数之和时, 每条边均提供2度, m条边共提供2m度. 推论 任何图(无向图和有向图)都有偶数个奇度顶点 定理6.2 有向图所有顶点的入度之和等于出度之和等于边数 证 每条边恰好提供1个入度和1个出度,课件,11,图的度数列,设无向图G的顶点集V=v1, v2, , vn G的度数列: d(v1), d(v2), , d(vn) 如右图度数列
6、:4,4,2,1,3 设有向图D的顶点集V=v1, v2, , vn D的度数列: d(v1), d(v2), , d(vn) D的出度列: d+(v1), d+(v2), , d+(vn) D的入度列: d(v1), d(v2), , d(vn) 如右图度数列:5,3,3,3 出度列:4,0,2,1 入度列:1,3,1,2,课件,12,实例,(2) 能,例1 下述2组数能成为无向图的度数列吗? (1) 3,3,3,4; (2) 1,2,2,3,解 (1) 不可能. 有奇数个奇数.,课件,13,实例,例2 已知图G有10条边, 4个3度顶点, 其余顶点的度数均小 于等于2, 问G至少有多少个顶
7、点?,解 设G有n个顶点. 由握手定理, 43+2(n-4)210 解得 n8,例3 已知5阶有向图的度数列和出度列分别为3,3,2,3,3和 1,2,1,2,1, 求它的入度列,解 2,1,1,1,2,课件,14,实例,例4 证明不存在具有奇数个面且每个面都具有奇数条棱的 多面体.,证 用反证法. 假设存在这样的多面体, 作无向图G=, 其中 V=v | v为多面体的面, E=(u,v) | u,vV u与v有公共的棱 uv. 根据假设, |V|为奇数且vV, d(v)为奇数. 这与握手定理的推论矛盾.,课件,15,实例,例5 设9阶无向图的每个顶点的度数为5或6, 证明它至少有 5个6度顶
8、点或者至少有6个5度顶点.,证 讨论所有可能的情况. 设有a个5度顶点和b个6度顶点,(1)a=0, b=9; (2)a=2, b=7; (3)a=4, b=5; (4)a=6, b=3; (5)a=8, b=1 (1)(3) 至少5个6度顶点, (4)和(5) 至少6个5度顶点,方法二 假设b9-5=4. 由握手定理的推论, a 6,课件,16,简单图,定义6.4 在无向图中, 关联同一对顶点的2条或2条以上的 边, 称为平行边, 平行边的条数称为重数 在有向图中, 具有相同始点和终点的2条或2条以上的边称 为有向平行边, 简称平行边, 平行边的条数称为重数 含平行边的图称为多重图 既无平行
9、边也无环的图称为简单图,课件,17,实例,e5和e6 是平行边 重数为2 不是简单图,e2和e3 是平行边,重数为2 e6和e7 不是平行边 不是简单图,课件,18,完全图与正则图,无向完全图: 每对顶点之间都有一条边的无向简单图. n阶无向完全图记作Kn, 顶点数n, 边数m=n(n-1)/2, =n-1 有向完全图: 每对顶点之间均有两条方向相反的边的有向简单图. 顶点数n, 边数m=n(n-1), +=+=-=-=n-1, =2(n-1) k-正则图: 每个顶点的度数均为k的无向简单图 顶点数n, 边数m=kn/2,课件,19,实例,K3,K5,3阶有向完全图,2正则图,4正则图,3正则
10、图 彼得松图,课件,20,圈图与轮图,无向圈图Cn=, 其中V=v1,v2,vn, E=(v1,v2),(v2,v3), ,(vn-1,vn),(vn,v1), n 3 有向圈图Cn=, 其中V=v1,v2,vn, E=, , n 3 轮图Wn:无向圈图Cn-1内放一个顶点, 且与圈图的每个顶点之间恰有一条边, n 4,课件,21,方体图,n方体图Qn=是2n阶无向简单图, 其中 V=v|v=a1a2an, ai=0,1, i=1,2,n E=(u,v)| u,vVu与v恰好有一位数字不同.,课件,22,子图,定义6.10 设G=, G=是2个图(同为无向图,或 同为有向图) 若VV且EE,
11、则称G为G的子图, G为G的母图, 记作 GG 若GG 且V=V, 则称G为G的生成子图 若VV或EE, 称G为G的真子图 设VV且V, 以V为顶点集, 以两端点都在V中的所有 边为边集的G的子图称作V的导出子图, 记作GV 设EE且E, 以E为边集, 以E中边关联的所有顶点为 顶点集的G的子图称作E的导出子图, 记作GE,课件,23,实例,(1),(2),(3)是(1)的子图, (2),(3)是真子图, (1)是母图. (1),(3)是(1)的生成子图. (2)是d,e,f 的导出子图, 也是e5, e6, e7导出子图. (3)是e1, e3, e5, e7的导出子图,课件,24,补图,定
12、义6.11 设G=为n阶无向简单图, 记 =VV -E, 称 为G的补图,课件,25,图的同构,定义6.12 设G1=, G2=为两个无向图(有向 图), 若存在双射函数 f: V1V2, 使得对于任意的vi,vjV1, (vi,vj)E1 (E1) 当且仅当 (f(vi), f(vj)E2 (E2) 并且 (vi,vj) () 与 (f(vi),f(vj) ()的重数相同， 则称G1与G2是同构的，记作G1G2.,课件,26,实例,课件,27,实例,例6 画出4阶3条边的所有非同构的无向简单图 解 总度数为6, 分配给4个顶点, 最大度为3, 且奇度顶点数 为偶数, 有下述3个度数列: (1) 1,1,1,3;(2)1,1,2,2;(3)0,2,2,2.,1,1,1,3,1,1,2,2,0,2,2,2,课件,28,实例,例7 画出3个以1,1,1,2,2,3为度数列的非同构的无向简单图,
