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函数的凹凸性,一、曲线的凹凸性与拐点,一、曲线的凹凸性与拐点,二、凹凸与拐点的定义,定义: 若曲线段向上（下）弯曲，则称之为凹（凸）的。,图形上任意弧段（ ） 位于所张弦的上方。,图形上任意弧段（ ）位于所张弦的下方。,问题: 如何用准确的数学语言描述曲线的凹凸性?,的中点,的中点,二、曲线的凹凸性与拐点,问题:如何研究曲线的弯曲方向?,图形上任意弧段位于所张弦的上方,图形上任意弧段位 于所张弦的下方,定义 . 设函数,在区间 I 上连续 ,(1) 若恒有,则称,图形是凹的;,(2) 若恒有,则称,连续曲线上有切线的凹凸分界点 称为拐点 .,图形是凸的 .,二、曲线的凹凸与拐点,1、指数函数,指数函数、对数函数、幂函数等基本初等函数的凹凸性。,2、对数函数,3、幂函数,6、双曲函数 由 构成.,奇函数.,偶函数.,奇函数,有界函数,奇函数,有界,双曲正切,定义域：,单调递增,双曲余切,奇函数,定义域：,双曲函数常用公式,例9 求函数 的反函数.,(舍去“-”),将字母 与 互换,得,即,
