《2020九年级上册数学课件22.3 第2课时 商品利润最大问题》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2020九年级上册数学课件22.3 第2课时 商品利润最大问题(25页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.(重点) 2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围. (难点),导入新课,情境引入,在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.商品买卖过程中,作为商家追求利润最大化是永恒的追求.,如果你是商场经理,如何定价才能使商场获得最大利润呢?,讲授新课,某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件,已知商品的进价为每件40元,则每星期销售额是 元,销售利润 元.,探究交流,18000,6000,数量关系,(1)销售额= 售价销售量;,(2)利润= 销售额-总成本=单件利润销售量;,(3)单件利润=售价-进价.,例1
2、 某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件,市场调查反映:每涨价1元,每星期少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出18件,已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大?,涨价销售 每件涨价x元,则每星期售出商品的利润y元,填空:,20,300,20+x,300-10 x,y=(20+x)(300-10 x),建立函数关系式:y=(20+x)(300-10 x),即:y=-10 x2+100 x+6000.,6000,自变量x的取值范围如何确定?,营销规律是价格上涨,销量下降,因此只要考虑销售量就可以,故300-10 x 0,且x 0,因此自变量的取值范围是0 x 30.,涨价
3、多少元时,利润最大,最大利润是多少?,y=-10 x2+100 x+6000,,当 时,y=-1052+1005+6000=6250.,即定价65元时,最大利润是6250元.,降价销售 每件降价x元,则每星期售出商品的利润y元,填空:,20,300,20-x,300+18x,y=(20-x)(300+18x),建立函数关系式:y=(20-x)(300+18x),,即:y=-18x2+60 x+6000.,例1 某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件,市场调查反映:每涨价1元,每星期少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出18件,已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大?,
4、6000,综合可知,应定价65元时,才能使利润最大.,自变量x的取值范围如何确定?,营销规律是价格下降,销量上升,因此只要考虑单件利润就可以,故20-x 0,且x 0,因此自变量的取值范围是0 x 20.,涨价多少元时,利润最大,是多少?,当 时,即定价57.5元时,最大利润是6050元.,即:y=-18x2+60 x+6000,,由(1)(2)的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗?,例2 某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具,如果以单价30元出售,那么一个月内售出180件,根据销售经验,提高销售单价会导致销售量的下降,即销售单价每上涨1元,月销售量将相应减少10件
5、,当销售单价为多少元时,该店能在一个月内获得最大利润?,每件商品的销售单价上涨x元,一个月内获取的商品总利润为y元,填空:,10,180,10+x,180-10 x,y=(10+x)(180-10 x),1800,建立函数关系式:y=(10+x)(180-10 x),即:y=-10 x2+80 x+1800.,营销规律是价格上涨,销量下降,因此只要考虑销售量就可以,故180-10 x 0,因此自变量的取值范围是 x 18.,涨价多少元时,利润最大,最大利润是多少?,y=-10 x2+80 x+1800 =-10(x-4)2+1960.,当x=4时,即销售单价为34元时,y取最大值1960元.,
6、答:当销售单价为34元时,该店在一个月内能获得最 大利润1960元.,自变量x的取值范围如何确定?,知识要点,求解最大利润问题的一般步骤,(1)建立利润与价格之间的函数关系式: 运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润 销售量”,(2)结合实际意义,确定自变量的取值范围;,(3)在自变量的取值范围内确定最大利润: 可以利用配方法或公式求出最大利润;也可以画出函数的简图,利用简图和性质求出.,例3:某商店试销一种新商品,新商品的进价为30元/件,经过一段时间的试销发现,每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件,售价为x元/件,每月的总利润为Q元.,(1)当售价在4050元时
7、,每月销售量都为60件,则此时每月的总利润最多是多少元?,解:由题意得:当40 x50时, Q = 60(x30)= 60 x1800 y = 60 0,Q随x的增大而增大 当x最大= 50时,Q最大= 1200 答:此时每月的总利润最多是1200元.,(2)当售价在5070元时,每月销售量与售价的关系如图所示,则此时当该商品售价x是多少元时,该商店每月获利最大,最大利润是多少元?,解:当50 x70时, 设y与x函数关系式为y=kx+b, 线段过(50,60)和(70,20).,50k+b=60 70k+b=20,y =2x +160(50 x70),解得:,k =2 b = 160,y =
8、2x +160(50 x70),Q=(x30)y =(x30)(2x + 160) =2x2 + 220 x 4800 =2(x55)2 +1250 (50 x70) a = 20,图象开口向下, 当x = 55时,Q最大= 1250 当售价在5070元时,售价x是55元时,获利最大, 最大利润是1250元.,解:当40 x50时, Q最大= 12001218 当50 x70时, Q最大= 12501218 售价x应在5070元之间. 令:2(x55)2 +1250=1218 解得:x1=51,x2=59 当x1=51时,y1=2x+160=251+160= 58(件) 当x2=59时,y2=
9、2x+160= 259+160= 42(件) 若4月份该商品销售后的总利润为1218元,则该商品售价为51元或59元,当月的销售量分别为58件或42件.,(3)若4月份该商品销售后的总利润为1218元,则该商品售价与当月的销售量各是多少?,变式:(1)若该商品售价在4070元之间变化,根据例题的分析、解答,直接写出每月总利润Q与售价x的函数关系式;并说明,当该商品售价x是多少元时,该商店每月获利最大,最大利润是多少元?,解:Q与x的函数关系式为:,60 x1800 (40 x50 ) 2(x55)2 + 1250 (50 x70),Q =,由例3可知: 若40 x50, 则当x=50时,Q最大
10、= 1200 若50 x70, 则当x=55时,Q最大= 1250 12001250 售价x是55元时,获利最大,最大利润是1250元.,(2)若该商店销售该商品所获利润不低于1218元,试确定该商品的售价x的取值范围;,解:当40 x50时, Q最大= 12001218, 此情况不存在.,当50 x70时, Q最大= 12501218, 令Q = 1218,得 2(x55)2 +1250=1218 解得:x1=51,x2=59 由Q = 2(x55)2 +1250的 图象和性质可知: 当51x59时,Q1218 若该商品所获利润不低于1218元, 则售价x的取值范围为51x59.,x,Q,0
11、,55,1218,59,51,1250,(3)在(2)的条件下,已知该商店采购这种新商品的进货款不低于1620元,则售价x为多少元时,利润最大,最大利润是多少元?,解:由题意得:,51x59 30 (2 x +160)1620,解得:51x53,Q=2(x55)2 +1250的顶点 不在51x53范围内, 又a =20, 当51x53时 , Q随x的增大而增大 当x最大 = 53时,Q最大= 1242 此时售价x应定为53元, 利润最大,最大利润是1242元.,x,Q,0,55,1242,53,51,1.某种商品每件的进价为20元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(20 x 30)出售,可卖
12、出(30020 x)件,使利润最大,则每件售价应定为 元.,25,当堂练习,2.进价为80元的某件定价100元时,每月可卖出2000件,价格每上涨1元,销售量便减少5件,那么每月售出衬衣的总件数y(件)与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为 .每月利润w(元)与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为 .(以上关系式只列式不化简).,y=2000-5(x-100),w=2000-5(x-100)(x-80),3.一工艺师生产的某种产品按质量分为9个档次.第1档次(最低档次)的产品一天能生产80件,每件可获利润12元.产品每提高一个档次,每件产品的利润增加2元,但一天产量减少4件.如果只从生产利润这一角
13、度考虑,他生产哪个档次的产品,可获得最大利润?,w=12+2(x1)804(x1) =(10+2x)(844x) =8x2+128x+840 =8(x8)2+1352.,解:设生产x档次的产品时,每天所获得的利润为w元, 则,当x=8时,w有最大值,且w最大=1352.,答:该工艺师生产第8档次产品,可使利润最大, 最大利润为1352.,4. 某种商品每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系:y=ax2+bx-75.其图象如图. (1)销售单价为多少元时,该种商品每天的销售利润最大?最大利润是多少元?,解:(1)由题中条件可求y=-x2+20 x-75,-10,对称轴x=10,当x=10时,y值最大,最大值为25. 即销售单价定为10元时,销售利润最 大,为25元;,