多元回归分析培训资料

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1、第八章 SPSS的相关分析和 回归分析（三）,多元线性回归分析,多元线性回归分析的主要问题 回归方程的检验 自变量筛选 多重共线性问题,多元线性回归分析应用举例,根据10个市场区在特定周内某产品的销售额、广告费、人口密度数据,建立销售额的预测模型,多元线性回归方程的检验,(一)拟和优度检验: (1)判定系数R2: R是y和xi的复相关系数(或观察值与预测值的相关系数),测定了因变量y与所有自变量全体之间线性相关程度 (2)调整的R2: 考虑的是平均的剩余平方和,克服了因自变量增加而造成R2也增大的弱点 在某个自变量引入回归方程后，如果该自变量是理想的且对因变量变差的解释说明是有意义的，那么必然

2、使得均方误差减少，从而使调整的R2得到提高；反之，如果某个自变量对因变量的解释说明没有意义，那么引入它不会造成均方误差减少，从而调整的R2也不会提高。,多元线性回归方程的检验,(二)回归方程的显著性检验： (1)目的:检验所有自变量与因变量之间的线性关系是否显著，是否可用线性模型来表示. (2)H0: 1 = 2 = k =0 即:所有回归系数同时与0无显著差异 (3)利用F检验,构造F统计量: F=平均的回归平方和/平均的剩余平方和F(k,n-k-1) 如果F值较大，则说明自变量造成的因变量的线性变动大于随机因素对因变量的影响,自变量于因变量之间的线性关系较显著 (4)计算F统计量的值和相伴

3、概率p (5)判断 p=a:拒绝H0,即:所有回归系数与0有显著差异，自变量与因变量之间存在显著的线性关系。反之，不能拒绝H0,多元线性回归方程的检验,(三)回归系数的显著性检验 (1)目的:检验每个自变量对因变量的线性影响是否显著. (2)H0:i=0 即:第i个回归系数与0无显著差异 (3)利用t检验,构造t统计量： 其中:Sy是回归方程标准误差(Standard Error)的估计值，由均方误差开方后得到，反映了回归方程无法解释样本数据点的程度或偏离样本数据点的程度 如果某个回归系数的标准误差较小，必然得到一个相对较大的t值，表明该自变量xi解释因变量线性变化的能力较强。 (4)逐个计算

4、t统计量的值和相伴概率p (5)判断,多元线性回归分析应用举例,根据若干年国民收入和其他相关数据，对国民收入的影响因素进行分析,多元线性回归分析中的自变量筛选,(一)自变量筛选的目的 多元回归分析引入多个自变量. 如果引入的自变量个数较少,则不能很好的说明因变量的变化; 并非自变量引入越多越好.原因: 有些自变量可能对因变量的解释没有贡献 自变量间可能存在较强的线性关系,即:多重共线性. 因而不能全部引入回归方程.,多元线性回归分析中的自变量筛选,(二)自变量向前筛选法(forward): 即:自变量不断进入回归方程的过程. 首先,选择与因变量具有最高相关系数的自变量进入方程,并进行各种检验;

5、 其次,在剩余的自变量中寻找偏相关系数最高的变量进入回归方程,并进行检验; 默认:回归系数检验的概率值小于PIN(0.05)才可以进入方程. 反复上述步骤,直到没有可进入方程的自变量为止.,多元线性回归分析中的自变量筛选,(三)自变量向后筛选法(backward): 即:自变量不断剔除出回归方程的过程. 首先,将所有自变量全部引入回归方程； 其次,在一个或多个t值不显著的自变量中将t值最小的那个变量剔除出去,并重新拟和方程和进行检验; 默认:回归系数检验值大于POUT(0.10),则剔除出方程 如果新方程中所有变量的回归系数t值都是显著的,则变量筛选过程结束. 否则,重复上述过程,直到无变量可

6、剔除为止.,多元线性回归分析中的自变量筛选,(四)自变量逐步筛选法(stepwise): 即:是“向前法”和“向后法”的结合。 向前法只对进入方程的变量的回归系数进行显著性检验，而对已经进入方程的其他变量的回归系数不再进行显著性检验，即：变量一旦进入方程就不回被剔除 随着变量的逐个引进，由于变量之间存在着一定程度的相关性，使得已经进入方程的变量其回归系数不再显著，因此会造成最后的回归方程可能包含不显著的变量。 逐步筛选法则在变量的每一个阶段都考虑的剔除一个变量的可能性。,SPSS操作：options选项: stepping method criteria:逐步筛选法参数设置. use prob

7、ability of F:以F值相伴概率作为变量进入和剔除方程的标准.一个变量的F值显著性水平小于entry(0.05)则进入方程;大于removal(0.1)则剔除出方程.因此:Entryremoval use F value:以F值作为变量进入(3.84)和剔除(2.71)方程的标准,多元线性回归分析中的自变量筛选,多元线性回归中的共线性检测,(一)共线性带来的主要问题 高度的多重共线会使回归系数的标准差随自变量相关性的增大而增大,至使回归系数的置信区间不断增大,造成估计值精度减低.有时表现出符号与实际情况不符。 (二)共线性诊断 自变量的容忍度(tolerance)和方差膨胀因子 容忍度

8、:Toli=1-Ri2. 其中: Ri2是自变量xi与方程中其他自变量间的复相关系数的平方. 容忍度越大则与方程中其他自变量的共线性越低,应进入方程. (具有太小容忍度的变量不应进入方程,spss会给出警)(T0.1一般认为具有多重共线性) 方差膨胀因子(VIF):容忍度的倒数 SPSS在回归方程建立过程中不断计算待进入方程自变量的容忍度,并显示目前的最小容忍度,多元线性回归中的共线性检测,用特征根刻画自变量的方差 如果自变量间确实存在较强的相关关系，那么它们之间必然存在信息重叠，于是可从这些自变量中提取出既能反映自变量信息(方差)又相互独立的因素(成分)来. 从自变量的相关系数矩阵出发，计算

9、相关系数矩阵的特征根，得到相应的若干成分. 如果某个特征根既能够刻画某个自变量方差的较大部分比例(如大于0.7),同时又可以刻画另一个自变量方差的较大部分比例，则表明这两个自变量间存在较强的多重共线性。 条件指标 0=100 严重 SPSS操作 Statistics选项中的Collinearity dignostics,模型诊断,模型可靠性的诊断 模型是否对后续的样本具有较好的预测性？是否存在过度拟和(overfitting)现象 模型不仅反映了样本数据的信息，同时也包含了样本中的“噪音”，可能是一种非“一般化”的模型。表现出对样本有较高的拟和，但预测能力不高 “机会”也会给拟和优度带来贡献

10、例如：产生若干个正态分布的随机数作为x，一个作为y。根本不相关的数据也可以有较好的拟和。,模型诊断,交叉验证法(Cross- validation) 训练集和检验集：当样本量较小时，训练样本比例可较高；反之。 计算交叉诊断的收缩值 通常大于0.9则可靠性差，小于0.1可靠性强 SPSS的操作 Save选项中的Predictive Values Transform中的Compute菜单 例如：对随机的数据进行模拟,模型诊断,Jackknife 验证法(Jackknife validation) 适用于样本量不是很大时 利用n-1个样本进行参数估计，并根据所估计的参数计算剩余1个样本的预测值 计算

11、拟和优度，并与利用全部样本时的拟和优度进行比较。如果拟和优度降低，则说明该拟和优度可能是更客观的，原本的高拟和可能是“机会”引起的,多元回归分析中注意的问题,个案独立性限制 例如：研究学生成绩与所在地区经济之间的关系 数据情况： 学号 成绩 所在学校 学校所在地区 地区经济指标 计量经济中多元回归中的自变量的角色： 观测变量与控制变量 例如：分析收入对消费的影响时，控制变量年龄、性别、受教育程度 例如：外国投资对环境的影响以及检验库兹涅兹曲线（各省市数据） 二氧化碳排放量、外国直接投资额、人均GDP、人均GDP2、面积、产业结构,含虚拟自变量的回归,分析工龄、职位和学历对工资收入的影响 特点:

12、自变量中含定性变量. 方法:采用取值为0或1的虚拟变量 在模型中引入多个虚拟变量时，虚拟变量的个数应按下列原则来确定： 对于包含一个具有m 种特征或状态的定性变量的回归模型，如果回归模型不带常数项，则中需引入m 个虚拟变量；如果有常数项，则只需引入m-1 个虚拟变量,多元线性回归分析应用举例,分析工龄和职位对工资收入的影响 特点：包含一个定性变量，且只有两种分类或状态 建立的模型为 由于D只有1、0两种取值，则模型可以为： 部门经理 其他人员,两组的均值差，但在控制工龄的条件下,多元线性回归分析应用举例,分析职位、工龄对工资收入的影响 分析工龄和职位之间是否有交互影响 建立的模型为 由于D只有

13、1、0两种取值，则模型可以为： 部门经理 其他人员,多元线性回归分析应用举例,分析工龄和学历以及工龄、学历、职位对工资收入的影响,利用SPSS的Block功能尝试同时建立多个方程,曲线估计(curve estimate),(一)目的: 在一元回归分析或时间序列中,因变量与自变量(时间)之间的关系不呈线性关系,但通过适当处理,可以转化为线性模型.可进行曲线估计. (二)曲线估计的常用模型: y=b0+b1t(线性拟和linear) y=b0+b1t+b2t2(二次曲线quadratic) y=b0+b1t+b2t2+b3t3(三次曲线cubic) t为时间,也可为某一自变量.,曲线估计(curv

14、e estimate),(三)基本操作步骤 (1)绘制散点图,观察并确定模型. (2)菜单选项: analyze-regression-curve estimation (3) 选择因变量到dependent框 (4) 选择自变量到independent框或选time以时间作自变量 (5)选择模型 (R2最高拟和效果最好),曲线估计(curve estimate),(四)其他选项 (1)display ANOVA table:方差分析表 (2)plot models:绘制观察值和预测值的对比图. (3)save选项: predicted values:保存预测值. Residual:保存残差值. prediction interval:保存预测值的默认95%的可置信区间. Predict case:以time作自变量进行预测. Predict from estimation period through last case:计算保存所有预测值. Predict through :如果预测周期超过了数据文件的最后一个观测期,选择此项,并输入预测期数.,曲线估计应用举例,利用总产值和邮件量的样本数据,建立总产值关于邮件量的回归方程 二次曲线和三次曲线 趋势外推预测,