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1、,第十七章,多元函数微分学,*四、全微分在数值计算中的应用,应用,一元函数 y = f (x) 的微分,近似计算,估计误差,机动 目录 上页 下页 返回 结束,本节内容:,一、全微分的定义,第一节 可微性,二、偏导数,三、可微性条件,一、全微分的定义,定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y ),可表示成,其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，,称为函数,在点 (x, y) 的全微分, 记作,若函数在域 D 内各点都可微,则称函数,f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,处全增量
2、,则称此函数在D 内可微.,二、 偏导数定义及其计算法,引例:,研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 ,就是,中的 x 固定于,求,一阶导数与二阶导数.,x0 处,关于 t 的,机动 目录 上页 下页 返回 结束,将振幅,定义1.,在点,存在,的偏导数，记为,的某邻域内,则称此极限为函数,极限,设函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意:,同样可定义对 y 的偏导数,若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x,则该偏导数称为偏导函数,也简称为,偏导数 ,记为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,或 y 偏导数存在 ,警告各位！,偏导数的符号
3、,不能像一元函数那样将,是一个整体记号，,与,的商。,看成是,若函数,在点,于变量 x 和 y 的偏导数均存在，则称,在区域 内的任,处关,函数,在点,处可偏导。,若函数,一点处均可偏导，则称函数,在区域 内可偏导。,可以看出: 定义,时，,实际上 , 是对函数,变量 y 是不变的, 将 y 视为常,数 , 关于变量 x 按一元函数导数的定义,进行的。,多元函数的偏导数的计算方法，,没有任何技术性的新东西。,求偏导数时，只要将 n 个自变量,的求导方法进行计算。,自变量均视为常数，然后按一元函数,中的某一个看成变量 , 其余的 n1个,求偏导数时，只要将 n 个自变量,的求导方法进行计算。,自
4、变量均视为常数，然后按一元函数,中的某一个看成变量 , 其余的 n1个,求偏导数时，只要将 n 个自变量,中的某一个看成变量 , 其余的 n1个,自变量均视为常数，然后按一元函数,的求导方法进行计算。,例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的,偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,偏导数定义为,(请自己写出),函数在某点各偏导数都存在,显然,例如,注意：,但在该点不一定连续.,上节例 目录 上页 下页 返回 结束,在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!,二元函数偏导数的几何意义
5、:,是曲线,在点 M0 处的切线,对 x 轴的斜率.,在点M0 处的切线,斜率.,是曲线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对 y 轴的,例1 . 求,解法1:,解法2:,在点(1 , 2) 处的偏导数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 设,证:,例3. 求,的偏导数 .,解:,求证,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理1(必要条件),若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,则该函数在该点偏导数,同样可证,证: 由全增量公式,必存在,且有,得到对 x 的偏增量,因此有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、 可微性条件,例1. 计算函数,在点 (2,1)
6、 处的全微分.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,反例: 函数,易知,但,因此,函数在点 (0,0) 不可微 .,注意: 定理1 的逆定理不成立 .,偏导数存在函数 不一定可微 !,即:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理2 (充分条件),证：,若函数,的偏导数,则函数在该点可微分.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,所以函数,在点,可微.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意到, 故有,偏导数连续,函数可微,函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微,函数在该点连续,机动 目录 上页 下页 返回 结束,偏导数存在,函数可微,推广:,类似可讨论三元及三元以上函
7、数的可微性问题.,例如, 三元函数,习惯上把自变量的增量用微分表示,的全微分为,于是,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 计算函数,的全微分.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,可知当,*四、全微分在数值计算中的应用,1. 近似计算,由全微分定义,较小时,及,有近似等式:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(可用于近似计算; 误差分析),(可用于近似计算),半径由 20cm 增大,解: 已知,即受压后圆柱体体积减少了,例3. 有一圆柱体受压后发生形变,到 20.05cm ,则,高度由100cm 减少到 99cm ,体积的近似改变量.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求此圆
8、柱体,例4.计算,的近似值.,解: 设,则,取,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 利用公式,求计算面积时的绝对误差与相对误差.,解：,故绝对误差约为,又,所以 S 的相对误差约为,计算三角形面积.现测得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,分别表示 x , y , z 的绝对误差界,2. 误差估计,利用,令,z 的绝对误差界约为,z 的相对误差界约为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,例6.在直流电路中,测得电压 U = 24 伏 ,解: 由欧姆定律可知,( 欧),所以 R 的相对误差约为,0.3 + 0.5 ,R 的绝对误差约为,0.8 ,0.3;,定律计算电阻 R 时产
9、生的相对误差和绝对误差 .,相对误差为,测得电流 I = 6安, 相对误差为 0.5 ,= 0.032 ( 欧 ),= 0.8 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求用欧姆,内容小结,1. 微分定义:,2. 重要关系:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 微分应用, 近似计算, 估计误差,绝对误差,相对误差,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,函数,在,可微的充分条件是( ),的某邻域内存在 ;,时是无穷小量 ;,时是无穷小量 .,1. 选择题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 设,解:,利用轮换对称性 , 可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,( L. P245 例2 ),注意: x , y , z 具有 轮换对称性,答案:,3. 已知,第四节 目录 上页 下页 返回 结束,在点 (0,0) 可微 .,备用题,在点 (0,0) 连续且偏导数存在,续,证: 1),因,故函数在点 (0, 0) 连续 ;,但偏导数在点 (0,0) 不连,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证明函数,所以,同理,极限不存在 ,在点(0,0)不连续 ;,同理 ,在点(0,0)也不连续.,2),3),题目 目录 上页 下页 返回 结束,4) 下面证明,可微 :,说明: 此题表明, 偏导数连续只是可微的充分条件.,令,则,题目 目录 上页 下页 返回 结束,
