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1、1,第九章导体和电介质中的静电场( Dielectrics and Conductors in Electrostatic Fields ),主要内容：,二有电介质时的静电场问题（9-4、9-5 、9-6 ） 电介质的极化、电位移矢量、极化电荷、电介质存在时的高斯定理等；,一有导体存在时的静电问题 （9-1、 9-2 ） 导体的平衡条件、导体的电荷分布、导体内外的场强、电势的求解问题等；,三电容器的电容 （9-3 ） 由电容的定义式 求电容 C ；,四. 静电场的能量 （9-3 ） ：,利用公式 求静电场的能量。,2,1. 导体的静电平衡 (electrostatic equilibrium
2、of conductor）,静电平衡,导体内部和表面上任何一部分都没有宏观电荷运动，我们就说导体处于静电平衡状态。,导体静电平衡的条件, 导体表面,静电平衡导体的电势,导体静电平衡时，导体上各点电势相等，即导体是等势体，表面是等势面。,9-1 静电场中的导体,3,由导体的静电平衡条件和静电场的基本 性质，可以得出导体上的电荷分布。,(1) 静电平衡导体的内部处处不带电,证明：在导体内任取体积元,由高斯定理,体积元任取,2.导体上电荷的分布,导体中各处, 如果有空腔且空腔中无电荷,可证明电荷只分布在外表面。, 如果有空腔且空腔中有电荷,则在内外表面都有电荷分布，内表面电荷与 q 等值异号。,+q
3、,5,(3) 导体表面附近的 与 的关系： ；,高斯：,证明：做一个圆柱面为高斯面 S ，其中一个底面在导体内，一个底面在导体外，两底面与导体表面非常接近，并且互相平行，侧面与导体表面相垂直。,又,6,导体表面附近的 与 的关系： ；,（4）尖端放电（point discharge）,在导体的尖端处 r 很小， 很大，因此， E 很大。强大的 E 使导体尖端附近的空气电离成导体而出现放电的现象。,对于孤立导体，曲率半径 r 小处 大，r 大处 小；, 导体空腔：,若空腔内有 q，则内表面带-q，外表面带 q。,（5）静电屏蔽（electrostatic shielding）,若空腔内没有电荷，
4、则内表面不带电，电荷只分布在外表；,静电屏蔽,a. 用空腔将仪器、人屏蔽，使之不受 腔外 q 的影响。,b. 将 q 产生的 E 屏蔽在空腔内，外界不受影响，空腔要接地。,7,例1: 两导体薄板彼此平行放置，导体各表面的面积均为 S，带电量分别为 Q1、Q2 。求电荷分布情况（设导体板可看作无限大平板）。,解：设导体四个表面上电荷密度分别为,联合解得：,又,由导体内部电荷处处为零和无限大均匀带电平板的电场分布得：,A、B 两板内部的场强分别为 、 。,各自产生的场强分别为 、 、 、 。,8,例2：半径为 a 的金属球导体A 带电量 q ，把一原来不带电的金属球壳 B 同心地罩在 A 的外面，
5、B 的内、外半径分别为 b 和 c。求（1）A 和 A、B 间的电势；（2）用导线将 a、b 相联又如何？,解：（1）由于静电感应，B 的内表面带 - q，外表带 q 。,由导体的静电平衡条件得导体 A、B 内的场强为 0 。,设四个区域的场强分别为 、 、 、 。,在导体 A、B 之间，作半径为 r 高斯面 S ，则,同理，在导体 B 之外区域,9,求导体球 A 中 的电势（在A 中 任找一点P，距球心为r）；,也可以看成是三个均匀带电球面上的电荷，在各自球面内所产生的电势之和。,10,导体球 A 与 B 之间一点（到球心为 r，a r b）的电势,也可以看成是三个均匀带电球面上的电荷，各自
6、在场点所产生的电势之和。其中两个（带电量为 q、- q ，半径分别为 b 和 c）的场点是在球面内，一个（带电量为 p）的场点是在球面外 。,11,当用导线将 A、B 相连，则 A、B 变成一个导体，A 为导体之内，电荷 q 只分布在外表面，即 B 的外表面上。,( r c ),根据高斯定理求得 E 的分布为：,( r c ),（2）用导线将 a、b 相联又如何？,在导体球 A 与球壳 B 之间任找一点P，到球心为 r，a r b。,12,9-2 有电介质时的静电场问题,1电介质和电介质的极化,（1）电介质,其内部没有自由运动的电荷，在静电场中可以认为电介质即绝缘体。根据其分子电结构，电介质分
7、为两类：,无外场时（热运动）,整体对外 不显电性,(无极分子电介质),(有极分子电介质),13,（2）电介质的极化,在外场作用下，电介质出现宏观电偶极矩的现象，叫极化(polarization)。,(分子) 位移极化,(分子) 取向极化,束缚电荷,束缚电荷, 无极分子电介质, 有极分子电介质,14,2电介质极化的规律,（1）电极化强度矢量,单位体积内分子电矩的矢量和称为电极化强度矢量。,电极化强度矢量是描述电介质被极化程度的物理量。单位是 C/m2,未极化时 ， ，,对各向同性介质，实验表明，当电场不太强时，极化强度与场强成正比。,其中，V是宏观小、微观大的体积。,15,（2）电介质极化的规律
8、,电介质在外场作用下极化，有：,实验发现， E不太强时，在各向同性介质内有：,其中 称为介质的电极化率(polarizability) 称为相对介电常数( relative permittivity） ，与介质性质有关。,16,3. 极化电荷面密度,对于一块均匀极化的电介质，沿 方向取一小体元，体积为,按电极化强度的定义，小体元中的分子偶极矩,若将小体元看成一电偶矩，电偶矩大小为,两者相等，即：,单位表面积的极化电荷称为极化电荷面密度。,17,例如，,极化电荷均匀分布,极化电荷非均匀分布,18,9-3 有电介质时的高斯定理,1有电介质时高斯定理,作高斯面如图，由高斯定理：,同样对此高斯面，求
9、通量：,19,或,令,由此两式得：,其中 称为电位移矢量（electric displacement） 。,这是有电介质存在时的高斯定理。它表明，静电场中通过任一闭合曲面的电位移通量，等于该曲面所包围的自由电荷的代数和。,对各向同性介质,称介质的介电常数（电容率）（permittivity）,20,2. 有介质存在情况下场强的计算,例1：两平行导体板间充满一均匀电介质 ，介电常数为 ，两导体板所带电荷分别为 ，板面积为 S 。求介质中的 、 、 。,解：,下底面,上底面,作高斯面 如图，由有电介质存在时的高斯定理。,极化强度：,极化电荷面密度：,21,例2：一半径为 a 的导体球，带电为 q
10、，在它的外面放一同心介质球壳，相对介电常数为 ，内外半径分别为 a 和 b ，介质球壳外为真空。求：（1）电场分布；（2）导体球和电介质内的电势；（3）介质内、外表面的极化电荷。,解： （1）求 E 分布。,由高斯定理：,（ r a ） 时，,( r b ) 时，,( a r b ) 时，,22,（2）求电势,电介质内（到球心的距离为 r）的电势,导体球内（到球心的距离为 r ）的电势,23,（3）介质内、外表面的极化电荷。,介质中的场强,内表面的极化电荷面密度：,外表面的极化电荷面密度：,( a r b ),24,例3：两个无限长直导体圆筒，半径分别为 a 和 b ，同轴放置。它们之间充满相
11、对介电常数为 的均匀电介质。内、外圆筒均匀带电，单位长度带电分别为 、 。求电介质中的 D、E、P 及其内外表面的 。,解：作圆柱面 S为高斯面,25,9-4 电容器的电容( The Capacitance of Capacitors ),1 . 孤立导体的的电容,例：一个孤立导体球，半径为R。它的电容为：,一个带电量为 q 的孤立导体，在静电平衡时，理论和实验都表明，它的电势 V 与 q 成正比。这说明, q 与 V 的比值,既与 q 无关,也与 V 无关，只与导体的大小和形状有关，此式被定义为孤立导体的电容。,电容的单位为法拉(Farad)，简称法(F)，也用微法( F)，皮法( pF)等
12、更小的单位。,26,通常，由彼此绝缘相距很近的两导体构成电容器。,极板,极板,使两导体极板带电,两导体极板的电势差,2. 电容器的电容,电容器的电容,电容器电容的大小取决于极板的形状、大小、相对位置以及极板间介质。,27,例1：平行板电容器。平行板电容器是由两块靠得很近的金属板组成，极板的面积为 S ，极板间距为 d ，两导体板之间是真空，求其电容。（可以将板看成无限大，板间场强是均匀的）,解： （1）令两导体板带电 q 、q ，,（2）求极板间的场强：,极板上的电荷面密度为：,（3）求极板间的电势差：,28,例2：球形电容器 由两个同心导体球壳组成，半径分别为 a 和 b ，两个导体球壳之间
13、为真空。求其电容。（两个导体球壳很薄，可忽路其厚度）,解：（1）令两导体球壳带电 q 、q ，,（2）求极板间的场强：,（3）求极板间的电势差：,29,3. 电介质对电容器的的影响,（1）可以使电容 C 增加；,（2）极板间其间充满均匀的电介质可以 增加电容器的耐压能力（与空气相比）。,物质 真空 空气 云母 玻璃 纸 钛酸钡 1 1 3.77.5 510 3.5,物质 空气 云母 玻璃 纸 钛酸钡 介电强度 3 80200 513 1640 （KV/mm）,其中 是电容器极板间为真空时的电容。,30,2.5 厘米,高压电容器(20kV 521F) (提高功率因数),聚丙烯电容器 (单相电机起
14、动和连续运转),陶瓷电容器 (20000V1000pF),涤纶电容 (250V0.47F),电解电容器 (160V470 F),12 厘米,2.5 厘米,70 厘米,31,4. 电容器的并联、串联,（1）电容器的并联,并联等效电容器的电容等于每个电容的电容之和。,（2）电容器的串联,串联等效电容器的电容的倒数等于每个电容的电容的倒数之和。,32,9-5 静电场的能量( Energy of Electrostatic Field ),我们可以根据电容器放电的整个过程中，电场力作了多少功来得出电容器所具有的能量。,设放电过程中某时刻，两极板带电量为+q、-q，两极板间电压为V，,现在考虑一微小放电过程 qq+dq（dq0）,电量（-dq）在电场力作用下沿导线从正极板经过灯泡与负极板的负电荷中和，电场力的功为,33,这也就是电容器的能量,用We表示,它本质上说，是电场力作的功,所以是电场的能量.也就是说电容器的能量是储藏在电容器的电场中的.,电场越强，电场的能量也越大。那么We与E是什么关系？我们以平行板电容器为例:,34,引入电场的能量密度（单位体积内的电场能量）:,知道了电场分布,就可以用下式求出整个电场的能量:,35,例：一个半径为 a ，带电量为 q 的导体球的静电能。,解：由高斯定律可求电场强度 E为,电荷 q 只分布在外表面，且外表电势处处相等。,另解：,
